假设P(x0)=f(x)k=12,…, n=f(x),1.a1=f(x,2a2=f"(x) 得ak=,f(x0)(k=0,1,2,…,n) ! 代入P(x)中得 P(x)=f(x)+f(x)(x-x)+(x0)(x-b)2+
假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 x0 a = f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 1 ( ), 1 0 a = f x 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( ) 0 ( ) n a f x n n =
三、泰勒( Taylor)中值定理 泰勒( Taylor)中值定理如果函数f(x)在含有x0的 某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数,则当 x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个 次多项式与一个余项Rn(x)之和: f(x)=f(x)+f(x0)(x-x)+ x- 0 X(n)(20(x-xo)+Rn(x) (n+1) 其中Rn(x)= () (n+1) (x-x0)f在x与之间)
三、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f (x) 在含有x0的 某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则当 x在(a,b)内 时, f (x) 可以表示为( ) x − x0 的一个n 次多项式与一个余项R (x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0与x 之间)
证明:由假设,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶 导数,且 R(NO=RGo=Rn(xo) R)(x0)=0 两函数Rn(x)及(x-x0)”在以x0及x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 R,(x) r(x)-r,(xo) 七n)4+ n+1 0 Rn(51) (在x与x之间) (n+1)(51-x0)
由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1)阶 导数,且 证明: 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在 以 0 x 及 x为端点的 区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( ) R x0 = R x0 = R x0 = = R x = n n n n n
两函数R(x)及(n+1)(x-x)”在以x及5为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 n(51) Rn(51)-R(x0) (n+1)(51-x0)"(n+1)(1-x)-0 (42在x0与与1之间 n(n+ 52 如此下去,经过(n+1)次后,得 R,(x) R (n+1 n+1 (n+1) (在x与5n之间,也在x1与x之间)
如此下去,经过(n + 1)次后,得 两函数R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以 x0及 1为端点 的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n (在x0与 n之 间,也在x0与x 之间) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 在 与 之间 x n n x R n n − + − =
n+1) (x)=0 R (n+1 n十 则由上式得 (n+1 (+)2(x-x)1(在x与x之间) R, () Pn(x)=∑ f(o) X-d 0k! 0 称为f(x)按(x-xn)的幂展开的n次近似多项式 f(x)=∑ 0(x-x0)+Rn(x) k=0k! 称为∫(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式
= = − n k k k n x x k f x P x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 次近似多项式 = = − + n k n k k x x R x k f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) 称为 f (x)按( ) x − x0 的幂展开的 n 阶泰勒公式 ( ) ( ) ( ) 1 ! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x 在x 与x之间 n f R x n n n + + − + = 则由上式得( ) 0, ( 1) = + P x n n ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + =