二两个重要极限 sIna (D).lin x→)0 lm△(c0型,三统一)或mAc”三统) SIn 从而可求lim lim sin 3x lim sink 2x x→0 x→>02x sInx 证明因f(x) f(-x) 故只须讨论x>0的情形. 在如右图的单位圆中,设∠AOB=x(0<x 而△AOB面积<扇形AOB的面积<△AOD的面积 从而 sinx<=x<=tanx= sin x <x< tanx(0<x 2 2
6 二.两个重要极限 0 sin (1).lim 1 x x → x = 0 sin 0 lim (" " , ) → 0 型 三统一 或 1 sin 0 lim (" " , ) → 1 0 型 三统一 从而可求 0 0 0 sin sin3 sin3 lim ; lim ; lim . x x x 2 2 xxx → → → x x x 1 A o C B D ˘ ›x 证明 因 sin ( ) ( ) x f x f x x = = − 故只须讨论 x > 0 的情形. 在如右图的单位圆中, 设 (0 ) 2 AOB x x = 而ΔAOB的面积 < 扇形AOB的面积 < ΔAOD的面积 从而 1 1 1 sin tan 2 2 2 x x x sin tan (0 ) 2 x x x x
同除以sin得1 1→c0sx<smx<1 sInr cos x 故0<1- sInx <1-cosx=2sin2<2·()2=→>0 从而lim(1-x)=0→lim sInd x→0 x→)0 tan x 例16.求(1)lim 解limx= lim sinx.1 0C A→0 Cosx 1-cos x (2)im using SIn SIn cos x 解lim lim -lim lim x→0 x→0y 2x-0 2x->0x 2
7 从而 1 sin 1 cos 1 sin cos x x x x x x 2 sin 2 2 0 1 1 cos 2sin 2 ( ) 0 2 2 2 x x x x x x − − = = → 0 0 sin sin lim(1 ) 0 lim 1 x x x x → → x x − = = 例16. 求 0 tan (1).lim ; x x → x 同除以 sinx 得 故 2 0 1 cos (2).lim ; x x → x − 0 0 tan sin 1 . lim lim 1 x cos x x → → x x x 解 = = 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2sin sin sin 1 cos 1 1 1 2 2 2 lim lim lim [lim ] 2 2 2 ( ) 2 2 x x x x x x x x → → → → x x x x − 解 = = = =