第四讲 定积分的换元积分法 与分部积分法
第四讲 定积分的换元积分法 与分部积分法
定积分 二.复习引入 求dr 3引例1：∫d =(2反-2m1+VI 解： 令Vx=t,x=t2,dx=2tdt =2-2m3 原式=∫+2tdt 原式=142tdt =2生dt 换元需换限； =2t-2lm|1+t|+C X=4,t=2;x=9,t=3 =2vx-2lnl1+√x+C (2t 21nl1+ =(2-2ln) 无需回代
1 1+ 𝑥 引例1： 𝑑𝑥 令 𝑥 = 𝑡, 𝑥 = 𝑡 2 解： ,𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 =原式 1 1+𝑡 2𝑡𝑑𝑡 2= 𝑡+1−1 1+𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑡 − 2𝑙𝑛 |1 + 𝑡| + 𝐶 = 2 𝑥 − 2𝑙𝑛 |1 + 𝑥| + 𝐶 求4 9 1 1+ 𝑥 𝑑𝑥 原式 = 2 3 1 1+𝑡 2𝑡𝑑𝑡 = 2𝑡 − 2𝑙 𝑛 1 + 𝑡 | 3 2 = 2 − 2𝑙 𝑛 4 3 换元需换限； 𝑥 = 4,𝑡 = 2; 𝑥 = 9,𝑡 = 3 无需回代 = (2 𝑥 − 2𝑙𝑛 |1 + 𝑥|)|3 2 = 2 − 2𝑙𝑛 4 3 一. 复习引入
定积分 二.定积分的换元积分法 定理1设函数f(x)在区间[a,b]上连续，令x=p(t),且p(t)满足 (1)p(a)=a,p(B)=b (2)p(t)在[，B]上具有连续导数，且当te[a,B]或t∈[B,g 时p(t)∈[a,b],则有 f(x)dx-((t)dt 特点：1、换元需换限2、无需回代
定理1 设函数𝒇(𝒙)在区间[a,b]上连续，令𝒙 = 𝝋(𝒕),且𝝋(𝒕)满足 (1) 𝝋 𝜶 = 𝒂, 𝝋 𝜷 = 𝒃 (2) 𝝋 𝒕 在 𝜶,𝜷 上具有连续导数，且当𝒕𝛜 𝜶,𝜷 或𝒕 ∈ [𝜷,𝜶] 时 𝝋 𝒕 ∈ [𝒂, 𝒃],则有 �� 𝒃 �� = �𝒅� �� �� 𝜷 𝒇 𝝋 𝒕 𝝋′ 𝒕 𝒅𝒕 特点：1、换元需换限 2、无需回代 二. 定积分的换元积分法
定积分 例2 求后 解令v1+x=t,则x=t2-1,dx=2tdt, 且当x=0时t=1 x=3时，t=2 把它们都代入原式得： 6年dx=,2tdt =2财t2-1)dt=(-2t)12 =(传-2)月
例２ 求�� 𝟑 𝒙 𝟏+𝒙 𝒅𝒙 解 令 𝟏 + 𝒙 = 𝒕, 则𝒙 = 𝒕 𝟐 − 𝟏, 𝒅𝒙 = 𝟐𝒕𝒅𝒕, 且当𝒙 = 𝟎 时𝒕 = 𝟏 𝒙 = 𝟑时,𝒕 = 𝟐 把它们都代入原式得： �� 𝟑 𝒙 𝟏+𝒙 �� = �𝒅� 𝟐 (𝒕 𝟐−𝟏) 𝒕 𝟐𝒕𝒅𝒕 ��2= 𝟐 (𝒕 𝟐−𝟏)𝒅𝒕 = 𝟐 𝟑 𝒕 𝟑 − 2t | 2 1 = 𝟏𝟒 𝟑 − 2 = 8 3
定积分 例3 求xe苦d 解因为店ek=6e兰a号 所以，令-苦= 则当x=0时u=0 当x=1时，u=- 于是 6e号a-eau=e。1-e月 1 0
例3 求�� 𝟏 𝒙𝒆 − 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 解 因为�� 𝟏 𝒙𝒆 − 𝒙 𝟐 �� =�𝒅� �� 𝟏 𝒆 − 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅 𝒙 𝟐 𝟐 所以，令− 𝒙 𝟐 𝟐 = 𝒖 则当𝒙 = 𝟎 时𝒖 = 𝟎 于是 当𝒙 = 𝟏时，𝐮 = − 𝟏 𝟐 �� 𝟏 𝒆 − 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅 𝒙 𝟐 𝟐 0 −= − 1 2 𝑒 𝑢𝑑𝑢 = −𝑒 𝑢 | − 1 2 0 =1−𝑒 − 1 2