D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1991.0M.028 第13卷第4(【)期 北京科技大学学报 Vol.13No.4(I) 1991年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing July 1991 有限长悬板受力弯曲的解析法 罗 铭·朱孝禄 摘要：推导了有限长轻板在任套点受力弯曲的精确解计算公式，为悬版理论确定轮齿 齿根弯炬提供了较理想值。它可以取代传统的半经验方法一一矩象叠加法。 关键词：悬臂板，解析法，齿根弯矩，矩象叠加法 An Analytic Method to Determine the Bending Moment of Cantilever Plate Lo Ming·Zhu Xiaolu* ABSTRACT:This paper gives an analytic method to determine the bending moment at the root of the gear teeth which may be looked upon as a cantile- ver plate with finite length acted by a concentrated load at arbitrary point of the plate face.The analytic method consists of the superposition of six cases of plate-bending results which is more accurate than the traditional method--the moment-image method. KEY WORDS:the cantilever plate,the analytic method,method of superpo- sition,the moment at the root of the gear teeth,the moment-image method 悬板法分析齿轮轮齿的弯曲强度过程中，齿根处的弯矩确定方法非常重要。1960年E.J。 韦劳厄采用矩象叠加法，在无限长悬板研究的基础上，分析了轮齿在受力后的齿根弯矩分布状 1990-01-15收稿 ·机城系(Department of Mechanical Engineering) ··华东冶金学院(East China Institute of Metallurgy). 342
第 , s卷第 4 ( I ) 期 北 京 1。。 i 年 了 月 J o u r n a l o f U n i v e r s i t y 科 技 大 学 学 报 o f S e i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e i j i n g V o l 。 13 N o 。 4 ( I ) J u l y i , 9 1 有限长悬板受力弯曲的解析法 罗 铭” 朱 孝禄 ` 摘 要 : 推导 了有限长悬板 在任意 点受 力弯曲的精确解 计算公 式 , 为惫板理 论确定轮齿 齿根 弯矩提 供了 较理想值 。 它可以取代传统 的半经验 方法— 矩象叠加法 。 关健词: 悬 臂板 , 解析法 , 齿根 弯炬 , 矩象 叠加 祛 A n A n a l y t i e M e t h o d t o D e t e r m i n e t h e B e n d i n g M o m e n t o f C a n t i l e v e r P l a t e L o M i n 夕 二 Z h “ X i a o l u , A B S T R A C T : T 五1 5 p a p e r g i v e s a n a n a l j t i e tn e t h o d t o d e t e r m i n e t h e b e n d i n g m o m e n t a t t h e r o o t o f t h e g e a r t e e t h w h i e h m a y b e l o o k e d u p o n a s a e a n t i l e - v e r p l a t e w i t h f i n i t e l e n g t h a e t e d b y a e o n e e n t r a t e d l o a d a t a r b i t r a r y p o i n t o f t h e p l a t e f a e e · T h e a n a l v t i e m e t h o d e o n s i s t s o f t h e s u p e r p o s i t i o n o f s i x c a s e s o f p l a t e 一 b e n d i n g r e s u l t s w h i e h 1 5 m o r e a e e u r a t e t h a n t h e t r a d i t i o n a l m e t h o d 一一 t h e m o m e n t 一 i m a g e m e t h o d 。 K E Y W O RD S : t h e e a n t i l e v e r p l a t e , t h e a n a l y t i e m e t h o d , m e t h o d o f s u p e r p o - s i t i o n , t h e 功 o m e n t a t t h e r o o t o f t h e g e a r t e e t h , t h e m o m e n t 一 i m a g e m e t h o d 悬板法分析齿轮轮 齿的 弯曲强 度过程 中 , 齿根处的 弯矩 确定方法非常重 要 。 1 9 6 0年 E . J 。 韦劳厄采用矩象叠加法 , 在无 限长悬板研 究的基础上 , 分 析了轮齿在受力 后的齿根弯矩分布状 1 99 0 一 0 1 一 15 收稿 机械 系 ( D e P a r t m e n t o f M e e h a n i e a l E n g i n e e r i n g ) 华 东冶金学 院 ( E a s t C h i n a I n s t i t u t e o f M e t a l l u r g y ) 3 4 2 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1991. 04. 028
况，取得了与实验基本上一致的工程实用结果1门。然而矩象叠加法从数学观点看很不严密， 仅仅是一种半经验方法，且由于载荷的分布规律和处理分布载荷的方法不同，使其在应用上 存在不同程度的误差。本文从弹性力学经典理论入手，借助广义简支边概念，运用叠加法， 推导了有限长悬板弯曲问题的精确解计算公式，从而为悬板理论确定齿根弯矩提供了较理想 值。本文通过分析比较，核验了传统的矩象叠加法，指出了其适用范围。作者认为：在悬板 理论中用本文方法取代矩象叠加法，所确定的齿根弯矩分布状况将更切合于实际。 1悬板弯曲的解析法 设一有限长悬臂板（图1），y=0边固定，x=0、x=a及y=b三边自由，板面上任意点 (5,)作用有集中载荷P。 于是，板的挠度w需满足偏微分方程〔2)： +20”+8y四=P6,y 8w ax2ay2+ y= D (1) 式中 1x=5,y=0 6(x,y)=} D= Eh3 0其它 12(1-42) D为板的刚度；h为板厚； E为材料弹性模量；μ为泊松比。 板的边界条件需满足： (1)固定边斜度为零 ay-。=0 (2) 图1有限长悬臂矩形板 Fig.1 Cantilever rectangular plate with (2)自由边剪力为0 finite length =-D〔3+(2-e）2〕：-0 (3) ,）=-D〔+(2-)〕=0 (4) 板的自由角点支反力需满足： 0 载荷不作用在角点 (R)3=2D1-(axy）=p 02 (5) 载荷作用在角点 因此所讨论的问题归结为在满足上述微分方程、边界条件及角点条件的前提下，求解有 限长悬板受集中载荷作用的弯曲问题。 采用叠加法求解，叠加成分有6个： 343
况 , 取得了与实验 基本上 一致 的工程实用 结果“ ’ 。 然 而矩象叠加法从数学观 点看很不严密 , 仅 仅是一种半经验方法 , 且 由于载 荷的分布规律和处 理分布载荷的 方法 不同 , 使其在应用上 存 在不同程度的误差 。 本文从弹性力学经典理 论人手 , 借助 广义简支边概念 , 运 用叠加法 , 推导了 有限 长悬板 弯曲 问题的 精确解计算公式 , 从而 为悬板理论确定齿 根弯矩提供了较理想 值 。 本 文通过分 析 比较 , 核验了 传统的 矩象叠 加法 , 指 出了 其适用 范围 。 作者 认 为 : 在悬板 理论 中用本文 方法取代矩象叠加 法 , 所确定 的齿 根弯矩分 布状况将更切 合于 实际 。 1 悬板弯曲 的解析法 设 一有限长悬 臂板 ( 图 1 ) , 夕 二 0边固定 , 二 = O 、 x 二 a 及 y 二 b三边 自由 , 板面上 任意点 ( 右 , , ) 作用 有集 中载荷尸 。 于 是 , 板的 挠度 。 需满足偏微 分 方程 〔 “ 〕 : 3 峨切 _ a 4功 a 4 功 丽 ` + “ 淤石歹乏 与歹犷 二 P d (义 , y ) D ( 1 ) 式 中 J ( 劣 , y ) 二 x = 言 , y = 叩 D 二 其它 E h 3 1 2 ( l 一 声 “ ) 刀为板的刚 度 ; h 为板 厚 ; E 为材料弹性模 量; 拼为 泊 松比 。 板的 边界 条件需满 足 : l( ) 固定 边斜度为零 (等) , . 。 一 。 ( 2 , ( 2) 自由边剪力 为 。 图 1 有限长悬 臂矩 形板 F 19 . 1 C a n t i l e v e r r e e t a 众 g u l a r P l a t e w i t h f i n i t e l e n g t h ( F 二 一 。 〔鄂 + ` 2 一 “ ’ a 3切 a二 a y Z 〕 二 一 。 = 0 ( 3 ) (犷 二 一 D r 卫迎 气 a V 3 y 3 + ( 2 一 声 ) a s 功 a y a戈 2 〕 , . ` “ ” ( 4 ) 间ù 户净 板 的 自由角点支反 力需满足 : ( R ) 歇急; 。 , _ 一 、 , 0 = 2 。 (卜 ; , (嵌毒 ~ 一 从、 . 。 = l , 载荷不作 用在 角点 载 荷作 用在角点 ( 5 ) 因此所讨论 的 问题归 结 为在满足 上述微分方程 、 边界条件及 角点条件的 前提 下 , 求 解有 限长悬板受集 中载荷作 用的 弯 曲问题 。 采 用叠 加 法求解 , 叠加成 分 有 6 个 : 3 4 3
(1)矩形板（图1），4边简支，板上任意点(5，)作用集中载荷P。 这时板的挠度w可表示为双重级数形式 πG π0 m元￥. 1πy 元abt32. w=p sin- bsin a sinb ,m2i2 (6) a+6）2 (2)矩形板（图1），3边简支，而y=边广义简支。广义简支概念3：该边挠度ω卡 0,而弯矩M=0。故设y=b边挠度为： 式中a.为待定系数。 这时板面挠度w可表示为： -月。〔(1品a+a)h-罗ch学〕n (7) (3)矩形板（图1），3边简支，而x=a边广义简支。设x=a边挠度为： w..in 式中b,为待定系数。 这时板面挠度w可表示为： =l名.〔(+8hA,)shg-gch〕sin (8) (4)矩形板（图1），3边简支，而×=0边广义简支。设x=Q边挠度为： ().=c,sia 式中c,为待定系数。 这时板面挠度w可表示为： =e〔(12是，-ch,）sg-答h6 +ch+,"ch,ch〕sinizy (9) 2 (5)矩形板（图1），4边简支，沿y=0边作用分布力矩。设y=0边分布力矩为： 344
1( ) 矩形板 (图 1 ) , 4 边简支 , 板上任意点 ( 亏 , 劝 作用集 中载荷 P 。 这时板的挠度 功可表示 为双重级 数形式 4尸 汀 ` a b 口 . 爪军 言 . 1万 专 5 I n 一万一 “ I n 一下 ~ m 汀 x . 口 汀少 s ` n 一云一 “ i n l 厂 ( 6 ) 。 习ù “ 名ō ( 2) 矩形板 ( 图 1 ) , 3 边简支 , 而 y = b边广 义简支 。 广义简支 概念 〔 “ “ : 该边 挠度 。 斗 o , 而 弯矩 M = 0 。 故设 夕 = b边挠度 为 : ` “ 一 习 优 汀 X 口 . S i n — Q 式 中 。 。 为待定系数 。 这时 板面 挠度 。 可表示 为 : 刀 = 甲 a 。 ( 1 一 群 ) Z s h a 〔 2 1 一 那 \ , 川 汀 V m 万 V . 优 汀 V 、 . m 万 劣 + “ . c l a . 夕s n 一下二 一 一一 ; 了一 c n 一一下万一 ! s l n — I 口 口 O 口 . 户 a ( 7 ) (3 ) 矩形 板 ( 图 1 ) , 3 边简支 , 而x = a 边广义简支 。 设 , 二 a 边挠 度 为 : * / 一 烈 “ ` 5 , · 竿 式 中b ` 为待定系数 。 这时板面挠度 , 可表示 为 : ? 二 平客命以青 · “ , 。 h ” ` ) s h竿 一 孚 · h等〕 5` · (4 ) 矩形 板 ( 图 l ) , 3 边简支 , 而 x = 。边广义简支 。 设 x = Q边挠度为 : b ( 8 ) ( 。 ) 二 。 = 云 c ` s ` n 匹卫 b 式 中 c , 为待定 系数 。 这时板面挠度 。 可 表示为 : = 郭 〔( 一 寻 韶拭一 hct “ ` )sn 竿 一 号 竿 h等 + · h `丫一 孚 一 子 · t h刀“竿 。 h 兰竿〕 · ` · 竿 - ( 9 ) (5 ) 矩形 板 ( 图 1 ) , 4 边简支 , 沿 y 二 0边作用分布力矩 。 设夕 二 0 边分 布力矩 为 : 3 4 4
M(x)=∑E.sinm* 式中E.为待定系数。 这时板面挠度四可表示为： ws、 (- 4。 Dx2 。一shmy_may shmay sh2a a cha mzy chmay sinmzx (10) a a (6)由于上述5部分均为角点被支承状态，要使叠加结果与悬板完全相同，则必须保证 两角点(a,b)及(0，b)为自由状态，故需要叠加第6部分：假设板面有一刚性位移。 这时板面挠度w可表示为： w=k1y+k2xy=y(k +k2x) (11) 式中k:,k2为待定系数。 2叠加求解过程 上述6种矩形板的叠加结果与矩形板悬臂支承的弯曲问题完全等效。通过叠加式(6)、 (7)、(8)、(9)、(10)及式(11)，可以得到悬板板面任意点(x,y)的挠度四的表达式。于是 (1)根据边界条件 (）-0=0,有 -贤(aa）-gwm2C2 (m+) 28)+安品（品.） 6 _cosm-1 k1a cosm k2a2 m2 m2 sha.6-》sinm5 -(合)〔ha.-.-0ha-2〕n a 6 m3sha。 (12) 345
M ( “ ) = 习 E , s , n 沉汀 义 a 式 中E 。 为待定系数 。 这时板面 挠度 。 可 表示为 : a 么 、 , 功 二 下万下一下厂 2 , 乙 夕了 “ 二丁 . 异 ( - J` . 、 a . s h Z a 。 , h竺匹里- a 塑三艺 s h竺竺兰 Q a m 军 y , m 军 y 、 . 幼 了工 译 c n “ 。 — c n — 夕 5 I n — 一 口 a I a ( 1 0 ) ( 6) 由于上 述 5 部分均为 角点被支承状态 , 要使叠 加 结果与 悬板完全相同 , 则 必须 保证 两角点 ( a , 的 及 ( 0 , 的 为 自由状态 , 故需要叠加第 6 部分 : 假设板面有一刚 性位 移 。 这时板面挠度 。 可 表示 为 : 。 二 k l y + k Z x y = y ( k , + k Z x ) ( 1 1 ) 式 中k , 、 k : 为待定 系数 。 2 盈加求解过程 上述 6 种矩形 板的 叠加结果与矩形板 悬 臂支承的 弯曲问题完全等效 。 通过叠加 式 ( 6 ) 、 ( 7 ) 、 ( 8 ) 、 ( g ) 、 ( 1 0 ) 及式 ( 1 1 ) , 可 以得到 悬板板面任 意点 ( 二 , 夕 ) 的挠度。 的 表达式 。 于是 ( 1 ) 根据边界条件 l a 功 、 _ 一 气丽 ) 一 。 二 ” , 月 , 、 万 a . 1 1 十 封 . , 、 a 又1 一 拼 ) — 一二产 , 一一 砚二, 一一一 一 + a o c t n a . l 一 -丁一 c o s m 万 4 s n a 。 \ 1 一 产 , O “ ` 〔荟 + ( 2 一 川 子〕 . J , , ’ 气万万一 十 下厂 ) 习 a 、 , 、 C ; 十 丁自了 尸 m Z _ 、 a Z 、 L -了厂 , 十 ( 艺 一 声 少丽J (荟+ 矛 ~ 1 a Z E . -t 一 — 一 4 汀 D 典 ( 爪 “ \ e t h a 。 一 a 。 s h Z a 。 e o s m 万 一 l m 2 k z a C O S 协 万 阴 2 k : a Z 万 尸a Z 汀 Z D a 二 ( 6 一 刀) _ , _ 拼 万 雪 , 、 一 _ _ 矛 l _ 、 , , 、 _ S U 一一 — ~ 面一— - 一 5 1 1 — I _ 1 、 r , _ , L ~ “ . L o 一 1 ) _ , ` 。 . 仁O 一 即少 、 o 。 . 一 — , . 吸币 ~ L ` l i l j 一 — — L ` 1 1 一 . 一 \ 2 , 、 ’ ` 二 O 吞 尸 m 3 s h a . ( 1 2 ) 3 4 5
式中：m=1,2,3… (2)根据边界条件 ),=-D〔+(2-=0，有： 1-)rg(+ctha..+品a。） -r(告）a2 cosin -1兰52ma.(1+i+片a.cha.） 2T D -a-(a.a.学g+品。） Pa2 m3sham (13) 式中：m=1,2,3… (3)根据边界条件 (,=-D〔3四+(3-0-】=0，有： a.cosm (1-u)"cosi)cthm +牙-(8)'，(*ch6,+a.） +牙a-w(8）'e(++B.h8,）, 会管台8哈 器（传（等华）管学 (14) 346
式中 : m = 1 , 2 , .3 “ ’ ” ( 2 ) 根据边 界条件 ( 。 户 , . 。 一 ” 〔 a 3 功 a 乡 , 3 + ( 2 一 产 ) a 3切 a y a x Z〕 二 0 , 有 : 少 . 6 ( 1 一 川 : 。 李 ( 乙 、 3 + P e t h a , + 0 . 1 声 产 s h Z a , ) 一 2 ( 1 一 川 么 3 。 。 s m , 云 。 C O S 忿汀 . 1 + 2 ( 1 一 声 ) 艺 3 分 C O S I万 、、.2 ` a 、、1. 一。 a 一 `了.、、Z 、 1 一 产 1 + 产 a 。 e t h a 。 ) 十 , 1 .J、了 , 1 十 产 衅 E 二 1 2 万 D 沉 “ s h a 。 碑一b P a Z 一 汀 Z D `’ 一 “ , ( ( a . e t h a 一 口 , 刀 6 e t h 玉竺 + b 2 1 一 产 ) s h 竺 . m 万 毋 S l n 一 a 沉 3 s h a 。 ( 1 3 ) 式中 : m 二 1 , 2 , .3 · … ( 3 ) 根据边界 条 件 . 盆 、尸. ( F 二 ) = 一 D 十 ( 2 一 拼 ) = 0 , 有 : 苦 曰 . 口 〔 J 3功 a 劣 3 a 3脚 a x a y Z 一 ( 1 一 。 ) , 。 。 , `二 名 a , c o s 爪 万 价 一 1 ( b 2 . ~ - ~~~ ~~ 目 . . , . . , , ~ , ~ 目, . . , , 人 2 ` 2 、 2 a 2 f Z 、 十 吧一不产 , 功 ` I e t h m + 斗 ( l 一 。 ) , 4 3 ” ! ( 一 了杏箭 · ` h ” ` 十 一 釜厂 ) ” 一 (号 + ” ! · , h” ` ) 一渝 - 、 口. 了f 、 a 产、夕 一。 z 。 口.、 ` 加`、了. + 粤 ( i 一 。 ) ’ 住 + 口 2 D E , e o s m 汀 尸 6 忍 了一 升 一 下不厂 十 “ ` 、 口 “ ` 2 ( 黑 十 共 ) 习ù 一执 ( 2 一 拼) 而了 〕 1一í P a “ 1 一 拼 i a \ l 。 一 , : n 一 甲, 下尸 于犷一 — t ~ , r 一 夕 t 尸 官 “ 1 1 尸 汀 妇 2少 么 、 O / 、 一 卫道 。 t h 刀 ` 右 . 2 、 一 十 — . a l 一 拼 , , 刀 ` 右 . 1二 , s h 仁二 2 ` s i a J n 二二于上 “ ` b 1 3 s h月 ` ( 1 4 ) 3 4 6