例9.3LR分联电路(见图9.1),K合上。前电路中没有电流,求K合上后电路中的电流 解根 Kirchhoff定为,可列出微分方程 L-+Ri= e i(0)=0 设it)=I(p),则 d=p(p)-i(0)=p/(m) 所以 E (Lp+R)I(p) E pI(p)+RI(p) 这样,经过 Laplace变换,求常微分方程的问题就,为求代数方程 件 P Lp+RRP Lp+R 从象函数证过来求原函数的问题存为证在 由 在这个中,将”数部分分式,可以用指数数、三角数数的 Laplace变换 公式,就所求出数 性质5原函数的积分的 Laplace变换.设f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件, UC r (Gdr ier)drs Meor dr = bo (eot -1) 所以/f(r)dr的 Laplace变换也存在, f(t)=F(P). f()dr=2 f()dr 但因为a()dr=f(),根解当质4,有 F(p)=p2/ f(r) 所以 f(r) F(P)
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 5 ✝ ♣ 9.3 LR ❫❴ ❵❛ (❜❝ 9.1) ✹ K ã✭❞❡ ❵❛ ➙❢❬ ❵❣✹ Ô K ã✭❤ ❵❛ ➙ ❋ ❵❣✚ ✠ ✐❥ Kirchhoff Ù❦✹❸❧❻♠❫♥♦ L di dt + Ri = E, i(0) = 0. ✶ i(t) ; I(p) ✹ õ di dt ; pI(p) − i(0) = pI(p). ❾❹ LpI(p) + RI(p) = E p , Lp + R I(p) = E p . ❉ ⑨✹♣q Laplace ❘▼✹Ô✕❯ ♠❫♥♦❋ ↔↕rst▲ Ô✕✓ ■♥♦✹ I(p) = E p 1 Lp + R = E R 1 p − L Lp + R . ❾❹ i(t) = E R h 1 − e −(R/L)t i . ✉✈✳✴✇①②③✲✳✴➌④⑤⑥❈✇⑦ ✚ ✛➸ö⑧⑨ ✪ ✹⑩❀✺✜❶ ✙✙❷✹❸❹✔➽✜✺✜✣❺ ❻✺✜❼✺✜ ✕ Laplace ☞✌ ❽ ❷✹✽❾✣ ❿✹✺✜ ✚ ðñ 5 ✲✳✴➌❄❅➌ Laplace ✿❀ ✚✶ f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ õ Z t 0 f(τ) dτ ≤ Z t 0 |f(τ)| dτ ≤ Z t 0 Me s0τ dτ = M s0 e s0t − 1 , ❾❹ Z t 0 f(τ) dτ ❋ Laplace ❘▼❪⑥⑦✹ f(t) ; F(p), Z t 0 f(τ) dτ ; ❳ Z t 0 f(τ) dτ. ➀ Ý▲ d dt Z t 0 f(τ) dτ = f(t) ✹✐❥➁➂ 4 ✹❬ F(p) = p❳ Z t 0 f(τ) dτ − 0. ❾❹ Z t 0 f(τ) dτ ; F(p) p
变换的基本 第6页 图9.2 例9.4LC串联电路(见图9.2) i(r)dr 所以 +收尝 这是关于未知函数i(t)的微分积分方程.设i(t)=I(p),则有 LpI(p)+ 1I(P) 所以求解微分积分方程的问题也转化为求解代数方程 I(p) 利用性质1中的结果求反演,即得 (b)=VIC Sin vic
§9.2 Laplace ✄☎★✩✪✫✬ ✆ 6 ✝ ❍ 9.2 ♣ 9.4 LC ❫❴ ❵❛ (❜❝ 9.2) q C = L di dt , q = − Z t 0 i(τ) dτ + q0. ❾❹ L di dt + 1 C Z t 0 i(τ) dτ = q0 C . ❉ ●➃❽➄➅❛ ■ i(t) ❋ ➆ ❅❄❅➇➈ ✚✶ i(t) ; I(p) ✹ õ ❬ L p I(p) + 1 C I(p) p = q0 C 1 p . ❾❹Ô✕ ♠❫①❫♥♦❋ ↔↕❪st▲ Ô✕✓ ■♥♦ I(p) = q0 LCp2 + 1 . ➉➊➁➂ 1 ➙ ❋➋ÖÔ➌➍✹⑩➎ i(t) = q0 √ LC sin t √ LC
89.3 Laplace变换的反演 象函数的导数的反演设∫(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)F(p),则F(p)在 ep≥s1>so的半平面中解析,因而可以在积分号下求导 dpn/ f(t)e-pt dt (t)"f(t)ep dt 所以 F(n)(p)=(-t)f(t) 根据这个公式,可以容易地得到 d 1 1d211 2 dn2 若F(p)是有理函数,则总可以通过部分分式求反演.例如 (+a)=a7-a严+ap-ap+a 1 +一t+ 象函数的积分的反演如果/F(q)dq存在①,且当t→0时,Jf(t)/t有界,则 F( dg= f) 证将F(q)的表达式代入,并交换积分次序 F(adq f(te dt f(t)dt/eqt dq a 关于交换积分次序的合法性的讨论,见参考书目[1].口 利用这个公式,又可以得到许多函数的 Laplace变换.例如 ①这里的积分上限应了解为Rep→+∞,并且积分路径在F(p)的解析区域内,因而积分与路径无关
✁✂ Laplace ✄ ☎ ✆ 7 ✝ §9.3 Laplace éêë➏➐ ✈ ✳✴➌✵✴➌✇⑦ ✶ f(t) ➛➜ Laplace ❘▼⑥⑦❋☛ ❫ st✹ f(t) ; F(p) ✹ õ F(p) ⑦ Re p ≥ s1 > s0 ❋✎✏✑ ➙ ✕✖✹Ý✍❸❹⑦①❫➑ äÔ➒ F (n) (p) = d n dp n Z ∞ 0 f(t) e−pt dt = Z ∞ 0 (−t) n f(t) e−pt dt. ❾❹ F (n) (p) : (−t) nf(t). ✐❥❉Ò➓ ◆✹❸❹➔→➣➎Ñ 1 p 2 = − d dp 1 p : t, 1 p 3 = 1 2 d 2 dp 2 1 p : 1 2 t 2 . ô F(p) ●❬✮❛ ■✹õ↔ ❸❹❚ q↕❫❫◆Ô➌➍✚ ❷Õ 1 p 3(p + α) = 1 α 1 p 3 − 1 α2 1 p 2 + 1 α3 1 p − 1 α3 1 p + α : 1 2α t 2 + 1 α2 t + 1 α3 − 1 α3 e −αt . ✈ ✳✴➌❄❅➌✇⑦ ÕÖ Z ∞ p F(q) dq ⑥⑦ ✯ ✹➙➁ t → 0 ❭✹ |f(t)/t| ❬ å ✹ õ Z ∞ p F(q) dq : f(t) t . (F) ✧ ➛ F(q) ❋✔➜◆ ✓➝✹Ú➞▼①❫➟➠ Z ∞ p F(q) dq = Z ∞ p dq Z ∞ 0 f(t) e−qt dt = Z ∞ 0 f(t) dt Z ∞ p e −qt dq = Z ∞ 0 f(t) t e −pt dt, ➃❽➞▼①❫➟➠❋ ã➡➁❋➢➤✹❜➥➦➧ ➨ [1] ✚ ➉➊❉Ò➓ ◆✹➩❸❹➎Ñ➫→ ❛ ■ ❋ Laplace ❘▼✚❷Õ sin ωt t ; Z ∞ p ω q 2 + ω2 dq = π 2 − arctan p ω . ✯ ➭➯❑➲❳❲➳➵➸➺➻ Re p → +∞ ❭➼➽➲❳➾➚❚ F(p) ❑➺➪❯➶▲❭➹➘➲❳➴➾➚➷➬➮