b lim sin lim cos b→)+ 元 Im cos--cOS b→ b 2 例3证明广义积分 d当P>1时收敛, 当p≤1时发散 证(1)p=1 dx dx=lInx Ha=+0 <1 d-p 7+ (2)p≠1, p> P
= − →+ b b x d x 2 1 1 lim sin b b x = →+ 2 1 lim cos = − →+ 2 cos 1 lim cos b b = 1. 例 3 证明广义积分 + 1 1 dx x p 当 p 1时收敛， 当 p 1时发散. 证 (1) p = 1, + 1 1 dx x p + = 1 1 dx x + = 1 ln x = +, (2) p 1, + 1 1 dx x p + − − = 1 1 1 p x p − + = , 1 1 1 , 1 p p p
因此当p>1时广义积分收敛,其值为 P 当P≤1时广义积分发散 例4证明广义积分当p>0时收敛, 当p<0时发散 证广←h=加m广h=hm四 pa b p>0 b→>+o 0,p<0 即当P>0时收敛,当p<0时发散
因此当p 1时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ； 当 p 1时广义积分发散. 例 4 证明广义积分 + − a p x e dx当 p 0时收敛， 当 p 0时发散. 证 + − a px e dx − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e = − − →+ lim = − − − →+ p e p e pa pb b lim = − , 0 , 0 p p p e ap 即当p 0时收敛，当p 0时发散
二、无界函数的广义积分 定义2设函数f(x)在区间a,b上连续,而在 点a的右邻域內无界.取E>0,如果极限 imf(x)存在,则称此极限为函数f(x) oca b 在区间(ab上的广义积分,记作,f(x)dbc f(x)d=lim f(x)dx a+e 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散
定义 2 设函数 f (x)在区间(a,b]上连续，而在 点a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限 →+ + b a f x dx lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数f (x) 在区间(a,b]上的广义积分，记作 b a f (x)dx. b a f (x)dx →+ + = b a f x dx lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. 二、无界函数的广义积分