国家重点实验室 生成矩阵 x2(x)x2g(x)…,g(x) n-k 81800 G= n-k gn-k-1 8180 n g28180 k×n
k n n k n k n k n k n k n k g g g g g g g g g g g g g G − − − − − − − − − = 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x g(x) x g(x) g(x) k k , , , −1 −2 生成矩阵
国家重点实验室 校验矩阵 h(x)=h0x+h1x+…+h x"kh(x)x”2h(x)…h'(x) H n-k Jxn
(n k ) n k k k k k k k h h h h h h h h h h h h h − − − − − = 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 H x h (x) x h (x) h (x) n k 1 * n k 2 * * , , , − − − − k k k h x = h x + h x + + h * ( ) 0 1 −1 校验矩阵
国家重点实验室 循环码的编码原理 基本步骤(n,k >1、分解多项式x=g(x)h(x) >2、选择其中的n-k次多项式g(x)为生成多项式 >3、由g(x)可得到k个多项式g(x),xgx)…x(x) >4、取上述k个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵 >5、取h(x)的互反多项式h(x,取h(x),xh*(x),xyk h(x)的系数即可构成相应的校验矩阵
循环码的编码原理 基本步骤([n,k]) ➢1、分解多项式x n-1=g(x)h(x) ➢2、选择其中的n-k次多项式g(x)为生成多项式 ➢3、由g(x)可得到k个多项式g(x), xg(x),…x k-1g(x) ➢4、取上述k个多项式的系数即可构成相应的生成矩阵 ➢5、取h(x)的互反多项式h*(x),取h*( x), xh*( x),… x n-k-1 h*( x)的系数即可构成相应的校验矩阵
国家重点实验室 Example 在GF(2)上,求[7,4] Hamming码 n-k=3; x-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) g(x)=x3+x2+1 101000 xg(x=x+x+x 0110100 x2g(x)=x3+x++x2 G 0011010 x'g(r=x+x'+x 000110
Example 在GF(2)上，求[7, 4]Hamming码 ➢n-k=3; 7 3 3 2 x x x x x x − = + + + + + 1 ( 1)( 1)( 1) 3 2 4 3 2 5 4 2 3 6 5 3 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) g x x x xg x x x x x g x x x x x g x x x x = + + = + + = + + = + + 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 = G
国家重点实验室 Example(Continued) h(x)=(x+1)(x3+x+1)=x2+x2+x2+ h(x)=x4+x2+x+1 h 6 (x)=x°+x2+x32+x 1100 H=0 00
Example (Continued) 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 = H 3 4 3 2 h x x x x x x x ( ) ( 1)( 1) 1 = + + + = + + + * 4 2 h x x x x ( ) 1 = + + + 3 1 * 6 4 3 2 x h x x x x x ( ) − = + + +