国家重点实验室 循环码的构造 °GF(p)上的m维向量与GF()上的多项式之间有一一对应的关系 n-1 n-2 x+a n-2 x"-+∴+ (an1,an2,…a0),a1∈GF(p) 模n多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环FxJ/F(x),若 在环中再定义一个数乘运算,即 2 十anx 0 2 Car n-1+Cc1n-2 +…+caa,C∈GF 则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间,定义为剩余类结合代数
循环码的构造 GF(p)上的n维向量与GF(p)上的多项式之间有一一对应的关系 模n 多项式F(x)的剩余类构成一个多项式剩余类环Fp [x]/F(x)，若 在环中再定义一个数乘运算，即 则模F(x)的剩余类构成一个n维线性空间，定义为剩余类结合代数。 (a a a ) a GF(p) n−1 , n−2 , , 0 , i ( ) ca x ca x ca c GF(p) c a x a x a n n n n n n n n = + + + + + + − − − − − − − − , 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 a x a x a f (x) n n n n + + + = − − − − 0 2 2 1 1
State Key Laboratory of Integrated Serv ices Networks 国家重点实验室 问题一转化为 如何从模多项式x-1的剩余类结合 代数中寻找循环子空间?
State Key Laboratory of Integrated Services Networks 问题一转化为 如何从模多项式x n -1的剩余类结合 代数中寻找循环子空间？
国家重点实验室 循环码的构造 ●定理:以多项式w-1为模的剩余类线性结合代数 中,其一个子空间V为循环子空间(或循环码)的 充要条件是:Vnk是一个理想。 ●循环码是模x-1的剩余类线性结合代数中的一个 理想。反之,其中的一个理想必是循环码
循环码的构造 定理：以多项式x n -1为模的剩余类线性结合代数 中，其一个子空间Vn, k为循环子空间(或循环码)的 充要条件是：Vn,k是一个理想。 循环码是模x n -1的剩余类线性结合代数中的一个 理想。反之，其中的一个理想必是循环码
State Key Laboratory of Integrated serv ices Networks 国家重点实验室 问题二 如何从多项式剩余类环中 寻找理想?
State Key Laboratory of Integrated Services Networks 问题二 如何从多项式剩余类环中 寻找理想？
国家重点实验室 循环码的构造 多项式剩余类环中任何一个理想都是主理想 主理想中的所有元素可由某一个元素的倍式 构成 ●在主理想的所有元素中,至少可找到一个次数 最低的首一多项式g(x),即生成多项式
多项式剩余类环中任何一个理想都是主理想— —主理想中的所有元素可由某一个元素的倍式 构成 在主理想的所有元素中，至少可找到一个次数 最低的首一多项式g(x),即生成多项式 循环码的构造