7生活中的圆周运动 [目标定位]1.会分析火车转弯处、汽车过拱桥时向心力的来源,能解决生活中的圆周运动问 题2.了解航天器中的失重现象及原因3.了解离心运动及物体做离心运动的条件,知道离心运 动的应用及危害 铁路的弯道 ■知识梳理 1.火车在弯道上的运动特点:火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动,由于其 质量巨大,需要很大的向心力 2.向心力的来源及转弯速度 (1)铁路的弯道通常是外高内低,火车依据规定的行驶速度行驶,转弯时向心力几乎完全由重 力G和支持力F的合力提供 (2)转弯速度:如图1所示,mm图3 解得=√gRan规定速度) R 图1 【深度思考】 (1)火车通过转弯处要按照规定速度行驶.火车弯道处的规定速度与什么有关? (2)当行驶逸度过大或过小时,火车会对哪侧轨道有侧压力? 答案(1)大车转弯时,火车轮缘不受挤压力时,=,0,故=gmO其中R为弯 道半径,θ为轨道所在平面与水平面的夹角.故规定行驶速度由R及O决定 (2)当v=√ eRtan时,火车转弯所需向心力仅由重力和支持力的合力提供,此时火车对内、外 轨均无挤压作用,这是设计的限速状态 ①当火车转弯速度过大,即>gRan时,火车会对外轨有侧压力 ②当火车转弯速度过小,即n< eRtan(时,火车会对内轨有侧压力 ■典例精析
[目标定位] 1.会分析火车转弯处、汽车过拱桥时向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问 题.2.了解航天器中的失重现象及原因.3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运 动的应用及危害． 一、铁路的弯道 1．火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其 质量巨大，需要很大的向心力． 2．向心力的来源及转弯速度 (1)铁路的弯道通常是外高内低，火车依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重 力 G 和支持力 FN 的合力提供． (2)转弯速度：如图 1 所示，mgtan_θ＝m v 2 0 R ，解得 v0＝ gRtan θ(规定速度)． 图 1 深度思考 (1)火车通过转弯处要按照规定速度行驶．火车弯道处的规定速度与什么有关？ (2)当行驶速度过大或过小时，火车会对哪侧轨道有侧压力？ 答案 (1)火车转弯时，火车轮缘不受挤压力时，mgtan θ＝m v 2 0 R ，故 v0＝ gRtan θ.其中 R 为弯 道半径，θ 为轨道所在平面与水平面的夹角．故规定行驶速度由 R 及 θ 决定． (2)当 v＝ gRtan θ时，火车转弯所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时火车对内、外 轨均无挤压作用，这是设计的限速状态． ①当火车转弯速度过大，即 v＞ gRtan θ时，火车会对外轨有侧压力． ②当火车转弯速度过小，即 v＜ gRtan θ时，火车会对内轨有侧压力．
【例1】有一列重为100t的火车,以72km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道,轨道 半径为400m.(g取10m/s) (1)试计算铁轨受到的侧压力大小; (2)若要使火车以此速率通过弯道,且使铁轨受到的侧压力为零,试计算路基倾斜角度θ的正 切值 答案(1)1×105N(2)0.1 解析(1)=72km/h=20m/s,外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力,所以有 2105×202 F N=1×105N 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105N. (2)火车过弯道,重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力,如图所示, 则 mgtan 6=m 由此可得tanO=-=0.1 总结提升 (1)解决这类题目首先要明确物体转弯做的是圆周运动,其次要找准物体做圆周运动的平面及 圆心,理解向心力的来源是物体所受的合力 (2)火车在弯道处规定限速= voRtan此时火车对轮缘无挤压力 当> GrOan时,火车对外轨有挤压力 当< NaTan时,火车对内轨有挤压力 二、拱形桥 ■知识梳理 分析汽车过桥这类问题时应把握以下两点 (1)汽车在拱桥上的运动是竖直面内的圆周运动 (2)向心力来源(最高点和最低点):重力和桥面的支持力的合力提供向心力 2.汽车过凸形桥(如图2甲) 汽车在凸形桥最高点时,加速度向下,合力向下,此时满足级=E=mR,FN=ng一DF,车 对桥面的压力小于汽车的重力,汽车处于失重状态
例 1 有一列重为 100 t 的火车，以 72 km/h 的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道 半径为 400 m．(g 取 10 m/s 2 ) (1)试计算铁轨受到的侧压力大小； (2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，试计算路基倾斜角度 θ 的正 切值． 答案 (1)1×105 N (2)0.1 解析 (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有： FN＝m v 2 r ＝ 105×202 400 N＝1×105 N. 由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于 1×105 N. (2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示， 则 mgtan θ＝m v 2 r . 由此可得 tan θ＝ v 2 rg ＝0.1. (1)解决这类题目首先要明确物体转弯做的是圆周运动，其次要找准物体做圆周运动的平面及 圆心，理解向心力的来源是物体所受的合力． (2)火车在弯道处规定限速 v＝ gRtan θ此时火车对轮缘无挤压力． 当 v＞ gRtan θ时，火车对外轨有挤压力． 当 v＜ gRtan θ时，火车对内轨有挤压力． 二、拱形桥 1．分析汽车过桥这类问题时应把握以下两点： (1)汽车在拱桥上的运动是竖直面内的圆周运动． (2)向心力来源(最高点和最低点)：重力和桥面的支持力的合力提供向心力． 2．汽车过凸形桥(如图 2 甲)： 汽车在凸形桥最高点时，加速度向下，合力向下，此时满足 mg－FN＝m v 2 R ，FN＝mg－m v 2 R ，车 对桥面的压力小于汽车的重力，汽车处于失重状态．
图2 3.汽车过凹形桥(如图2乙) 汽车在凹形桥最低点时,加速度向上,合力向上,此时满足EN=mg=m,FN=mg+mp,车 对桥面压力大于汽车重力,汽车处于超重状态 注意:凸形桥对汽车只能施加向上的支持力,故在桥的最高点,当汽车受到的支持力FN=0 时,向心力mg=m,此时汽车的临界最大速度a=VgR(达到临界速度时,从最高点将做平 抛运动) 典例精析 【例2】如图3所示,质量m=20×10kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面, 两桥面的圆弧半径均为20m.如果桥面受到的压力不得超过3.0×105N,则 图3 (1)汽车允许的最大速度是多少? (2)若以(1)中所求速度行驶,汽车对桥面的最小压力是多少?(g取10m/s3) 答案(1)10m/s(2)105N 解析(1)汽车在凹形桥底部时,由牛顿第二定律得: F 代入数据解得=10m/s. (2)汽车在凸形桥顶部时,由牛顿第二定律得: 代入数据解得FN′=105N 由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105N 总结提升 在圆周运动最高点和最低点应用牛顿第二定律列方程时,要以加速度a的方向为正方向,所 以在拱桥的最高点有mg-FN 在凹形桥的最低点有FN
图 2 3．汽车过凹形桥(如图 2 乙)： 汽车在凹形桥最低点时，加速度向上，合力向上，此时满足 FN－mg＝m v 2 R ，FN＝mg＋m v 2 R ，车 对桥面压力大于汽车重力，汽车处于超重状态． 注意：凸形桥对汽车只能施加向上的支持力，故在桥的最高点，当汽车受到的支持力 FN＝0 时，向心力 mg＝m v 2 R ，此时汽车的临界最大速度 v 临＝ gR.(达到临界速度时，从最高点将做平 抛运动) 例 2 如图 3 所示，质量 m＝2.0×104 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面， 两桥面的圆弧半径均为 20 m．如果桥面受到的压力不得超过 3.0×105 N，则： 图 3 (1)汽车允许的最大速度是多少？ (2)若以(1)中所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g 取 10 m/s2 ) 答案 (1)10 m/s (2)105 N 解析 (1)汽车在凹形桥底部时，由牛顿第二定律得： FN－mg＝m v 2 r 代入数据解得 v＝10 m/s. (2)汽车在凸形桥顶部时，由牛顿第二定律得： mg－FN′＝ mv 2 r 代入数据解得 FN′＝105 N 由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于 105 N. 在圆周运动最高点和最低点应用牛顿第二定律列方程时，要以加速度 a 的方向为正方向，所 以在拱桥的最高点有 mg－FN＝m v 2 r ，在凹形桥的最低点有 FN－mg＝m v 2 R
三、竖直面内的绳、杆模型问题 ■知识梳理 1.轻绳模型(最高点,如图4所示 的6 图4 (1)绳(外轨道施力特点 只能施加向下的拉力(或压力) (2)动力学方程:F1+mg=m 临界条件:F1=0,此时mg=m,则v=gr ①=√gr时,拉力或压力为零 ②>gr时,物体受向工的拉力或压力 ③x<gr时,物体不能(填“能”或“不能”)到达最高点 2.轻杆模型(最高点,如图5所示): 图5 (1)杆(双轨道)施力特点: 既能施加向玉的拉(压)力,也能施加向上的支持力 (2)动力学方程: 当ω√gr时,E+mg=m一,杆对球有向玉的拉力,且随增大而增大 当v=√gr时,mg=m,杆对球无作用力 当agr时,四一E=m,杆对球有向上的支持力,且随速度减小而增大:当0=0时,F mg(临界情况). (3)杆类的临界速度为乙临=0 典例精析 【例3】长度为0.5m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动,A端连着一个质量m=2kg
三、竖直面内的绳、杆模型问题 1．轻绳模型(最高点，如图 4 所示)： 图 4 (1)绳(外轨道)施力特点： 只能施加向下的拉力(或压力) (2)动力学方程：FT＋mg＝m v 2 r 临界条件：FT＝0，此时 mg＝m v 2 r ，则 v＝ gr ①v＝ gr时，拉力或压力为零． ②v> gr时，物体受向下的拉力或压力． ③v< gr时，物体不能(填“能”或“不能”)到达最高点． 2．轻杆模型(最高点，如图 5 所示)： 图 5 (1)杆(双轨道)施力特点： 既能施加向下的拉(压)力，也能施加向上的支持力． (2)动力学方程： 当 v> gr时，FN＋mg＝m v 2 r ，杆对球有向下的拉力，且随 v 增大而增大； 当 v＝ gr时，mg＝m v 2 r ，杆对球无作用力； 当 v< gr时，mg－FN＝m v 2 r ，杆对球有向上的支持力，且随速度减小而增大；当 v＝0 时，FN ＝mg(临界情况)． (3)杆类的临界速度为 v 临＝0. 例 3 长度为 0.5 m 的轻杆 OA 绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，A 端连着一个质量 m＝2 kg
的小球.求在下述的两种情况下,通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10ms2) (1)杆做匀速圆周运动的转速为20 (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 答案(1)小球对杆的拉力大小为138N,方向竖直向上 (2)小球对杆的压力大小为10N,方向竖直向下 解析小球在最高点的受力如图所示 (1)杆的转速为2.0r/s时,o=2rn=4xrad/s 由牛頓第二定律得:F+mg=mlo2 故小球所受杆的作用力 F=mL2-mg=2×(0.5×42×m2-10)N≈138N 即杆对小球提供了138N的拉力 由牛頓第三定律知,小球对杆的拉力大小为138N,方向竖直向上 (2)杆的转速为0.5r/s时,o′=2n’=πrad/ 同理可得小球所受杆的作用力 F=mLa′2-mg=2×(0.5×m2-10)N≈-10N 力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反,故小球对杆的压力大小为10N, 方向竖直向下 总结提升卜 (1)在最高点时,杆对球的弹力和球的重力的合力充当向心力 (2)杆对球可能提供支持力,也可能提供拉力,由球的加速度决定 针对训练一细绳与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动, 如图6所示,水的质量m=0.5kg,水的重心到转轴的距离l=50cm(g取10m/s2) 图6 (1)若在最高点水不流出来,求桶的最小速率 (2)若在最高点水桶的速率U=3m,求水对桶底的压力 答案(1)2.24m/s(2)4N 解析分别以水桶和桶中的水为研究对象,对它们进行受力分析,找出它们做圆周运动所需
的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g 取 10 m/s2 )： (1)杆做匀速圆周运动的转速为 2.0 r/s. (2)杆做匀速圆周运动的转速为 0.5 r/s. 答案 (1)小球对杆的拉力大小为 138 N，方向竖直向上． (2)小球对杆的压力大小为 10 N，方向竖直向下． 解析 小球在最高点的受力如图所示： (1)杆的转速为 2.0 r/s 时，ω＝2π·n＝4π rad/s 由牛顿第二定律得：F＋mg＝mLω2 故小球所受杆的作用力 F＝mLω2－mg＝2×(0.5×4 2×π 2－10) N≈138 N 即杆对小球提供了 138 N 的拉力． 由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为 138 N，方向竖直向上． (2)杆的转速为 0.5 r/s 时，ω′＝2π·n′＝π rad/s. 同理可得小球所受杆的作用力 F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π 2－10) N≈－10 N. 力 F 为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为 10 N， 方向竖直向下． (1)在最高点时，杆对球的弹力和球的重力的合力充当向心力． (2)杆对球可能提供支持力，也可能提供拉力，由球的加速度决定． 针对训练 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动， 如图 6 所示，水的质量 m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离 l＝50 cm.(g 取 10 m/s2 ) 图 6 (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率； (2)若在最高点水桶的速率 v＝3 m/s，求水对桶底的压力． 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N 解析 分别以水桶和桶中的水为研究对象，对它们进行受力分析，找出它们做圆周运动所需