第五章第7节《生活中的圆周运动》导学案 学习目标: 1.能定性分析火车外轨比内轨高的原因。 2.能定量分析汽车过拱形桥最高点和凹形桥最低点的压力问题。 3.知道航天器中的失重现象的本质。 4.知道离心运动及其产生的条件,了解离心运动的应用和防止 5.会用牛顿第二定律分析圆周运动。 学习重点:理解向心力是一种效果力,会在具体问题中能找到向心力,并结合牛顿 动定律求解有关问题。 学习难点:具体问题中向心力的来源及关于对临界问题的讨论和分析。 高考前瞻 生活中的圓周运动已成为高考的热点内容之一,选择题、计算题均有,对理论联系实际 的能力要求较高。圆周运动与平抛运动、牛顿运动定律、能量守恒定律等综合起来考查是高 考中的热点,竖直平面内的圆周运动最高点和最低点的处理方法也是考查的重点.本考点常 与交通工具的运行(火车、汽车、自行车拐弯)、娱乐设施的运行(过山车、转转车)、节目 表演(水流星、摩托车)等实际问题綜合成计算题或压轴题 【学生课堂预习交流】知识问题化问题层次化 主题1:铁路的弯道 情景:仔细观察下面两幅图片,研究工程师们设计的铁路弯道有什么特点?并思考 为什么要这样设计? 阅读课本P26页第一段和P27页第一段,回答下列问题 1.火车在平直轨道上匀速行使时受几个力作用?这几个力的关系如何? 2.假设火车在平直轨道上转弯,火车是否具有向心加速度?谁提供向心力?请用受力 分析的方法分析此种情况火车转弯时向心力的来源(画图说明、注意轨道平面与水平面平 行),并回答这样做的危害 3.观察实际生活中铁道在拐弯处的铁轨和火车的车轮。假设火车按规定的速度行驶 请你确定火车作圆周运动的轨道平面,画出火车的受力分析图,找出圆心,并求出规定的速 度。(已知路面倾角和圆周半径R) 解答: 1.火车受重力、支持力、牵引力及摩擦力.这四个合力为零,其中重力和支持力是 对平衡力,牵引力和摩擦力是一对平衡力 2.火车在平直轨道上转弯时实际是在做圆周运动,因而具有向心加速度 这就需要提供向心力,而这个向心力只能由铁轨外轨的轮缘和铁轨之间互相挤压
第五章第 7 节《生活中的圆周运动》导学案 学习目标: 1．能定性分析火车外轨比内轨高的原因。 2．能定量分析汽车过拱形桥最高点和凹形桥最低点的压力问题。 3．知道航天器中的失重现象的本质。 4．知道离心运动及其产生的条件，了解离心运动的应用和防止。 5．会用牛顿第二定律分析圆周运动。 学习重点：理解向心力是一种效果力，会在具体问题中能找到向心力，并结合牛顿运 动定律求解有关问题。 学习难点：具体问题中向心力的来源及关于对临界问题的讨论和分析。 高考前瞻： 生活中的圆周运动已成为高考的热点内容之一，选择题、计算题均有，对理论联系实际 的能力要求较高。圆周运动与平抛运动、牛顿运动定律、能量守恒定律等综合起来考查是高 考中的热点，竖直平面内的圆周运动最高点和最低点的处理方法也是考查的重点．本考点常 与交通工具的运行（火车、汽车、自行车拐弯）、娱乐设施的运行（过山车、转转车）、节目 表演（水流星、摩托车）等实际问题综合成计算题或压轴题。 【学生课堂预习交流】知识问题化 问题层次化 主题 1：铁路的弯道 情景：仔细观察下面两幅图片，研究工程师们设计的铁路弯道有什么特点？并思考 为什么要这样设计？ 阅读课本 P26 页第一段和 P27 页第一段，回答下列问题： 1．火车在平直轨道上匀速行使时受几个力作用?这几个力的关系如何? 2．假设火车在平直轨道上转弯，火车是否具有向心加速度？谁提供向心力？ 请用受力 分析的方法分析此种情况火车转弯时向心力的来源（画图说明、注意轨道平面与水平面平 行），并回答这样做的危害。 3．观察实际生活中铁道在拐弯处的铁轨和火车的车轮。假设火车按规定的速度行驶， 请你确定火车作圆周运动的轨道平面，画出火车的受力分析图，找出圆心，并求出规定的速 度。（已知路面倾角 和圆周半径 R） 解答： 1．火车受重力、支持力、牵引力及摩擦力．这四个合力为零，其中重力和支持力是一 对平衡力，牵引力和摩擦力是一对平衡力 2．火车在平直轨道上转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度， 这就需要提供向心力，而这个向心力只能由铁轨外轨的轮缘和铁轨之间互相挤压
而产生的弹力提供.其受力分析如图所示。 由于火车质量、速度比较大,故所需向心力也很大,因此,轮缘和铁轨之间的挤压作用 力将很大,导致的后果是铁轨容易损坏,轨缘也容易损坏. 3.实际生活中铁道在拐弯处轨道是倾斜的,外轨比内轨高,使铁轨对火车的支持力不 再是竖直向上.此时,重力和支持力不再平衡,它们的合力指向“圆心”,其受力分析如图 所示 AFy 若火车按规定速度行驶,则火车所受重力和轨道对其支持力的合力恰好等于向心力,即 ngan=f’得y= vaRtan 当火车的速度v=√ eRtan 6时,内外轨对轮缘无侧压力 当火车的速度v>√ eRtan时,外轨对轮缘有向内的侧压力 当火车的速度v<√ gR tan 8时,内轨对轮缘有向外的侧压力。 主题2:拱形桥: 情景:一辆卡车在丘陵地区匀速率行驶,地形如图所示,由于轮通胎太旧,爆胎可能性 最大的地段应是哪里?为什么? 请你阅读课本P27页“拱形桥”标 题下面的内容,完成下 列问题: 1.我们见到的拱形桥都是两边低中间高的拱形,设计成这种形状有什么好处?在最高 点处车速与车对桥面的压力存在什么关系?(用牛顿运动定律加以证明) 2.如果桥造成两头高中间低的弧型,这样做有利于保护桥梁吗?为什么?在最低点处 车速与车对桥面的压力存在什么关系?(用牛顿运动定律加以证明) 3.我们曾经学习过超重和失重现象,请用“超、失重”的观点定性分析汽车在拱形桥 最高点,凹形桥的最低点分别处于哪种状态? 解答: 1.汽车过凸形拱桥的最高点时,汽车受到的重力与桥对汽车支持力的合力G-FN提供
而产生的弹力提供．其受力分析如图所示。 由于火车质量、速度比较大，故所需向心力也很大，因此，轮缘和铁轨之间的挤压作用 力将很大，导致的后果是铁轨容易损坏，轨缘也容易损坏． 3．实际生活中铁道在拐弯处轨道是倾斜的，外轨比内轨高，使铁轨对火车的支持力不 再是竖直向上．此时，重力和支持力不再平衡，它们的合力指向“圆心”， 其受力分析如图 所示。 若火车按规定速度行驶，则火车所受重力和轨道对其支持力的合力恰好等于向心力，即 R v mg m 2 tan = ，得 v = gRtan 。 当火车的速度 v = gRtan 时，内外轨对轮缘无侧压力。 当火车的速度 v gRtan 时，外轨对轮缘有向内的侧压力。 当火车的速度 v gRtan 时，内轨对轮缘有向外的侧压力。 主题 2：拱形桥： 情景：一辆卡车在丘陵地区匀速率行驶，地形如图所示，由于轮通胎太旧，爆胎可能性 最大的地段应是哪里？为什么？ 请你阅读课本 P27 页“拱形桥”标 题下面的内容，完成下 列问题： 1．我们见到的拱形桥都是两边低中间高的拱形，设计成这种形状有什么好处？在最高 点处车速与车对桥面的压力存在什么关系？（用牛顿运动定律加以证明） 2．如果桥造成两头高中间低的弧型，这样做有利于保护桥梁吗？为什么？在最低点处 车速与车对桥面的压力存在什么关系？（用牛顿运动定律加以证明） 3．我们曾经学习过超重和失重现象，请用“超、失重”的观点定性分析汽车在拱形桥 最高点，凹形桥的最低点分别处于哪种状态？ 解答： 1．汽车过凸形拱桥的最高点时，汽车受到的重力与桥对汽车支持力的合力 G－FN 提供
向心力;如图所示,所以汽车过凸形拱桥时F=G-m 汽车对桥的压力FN与桥对汽车的支持力FN是一对作用力与反作用力,大小相等,所以 压力的大小FN=G-mn。显然,汽车对桥的压力FN小于汽车的重量G,并且随车速增加 而减小,当车速度增加到四=G时FN=0,速度再增大,会出现飞车现象,这是很危险 2.汽车过凹形拱桥的最低点时,仍然是桥对汽车的支持力和重力的合力F=FN-G提 供向心力,如图所示 过凹形拱桥时,FN=G+m 同样汽车对凹形桥的压力FN=G+mR 车对桥的压力比汽车的重量大,并且随车速增加而压力会增大,汽车若超速行驶可能会 使桥面断裂。 3.车在拱形桥最高点时处于失重状态,在凹形桥的最低点时处于超重状态。 主题3:航天器中的失重现象 情景:如图所示是神七飞船进入预定轨道后拍摄的舱内的情形。当船箭分离,神七飞船 顺利进入预定轨道后,翟志刚将手中的小册子释放,小册子并没有下落?为什么? 阅读课本P28页“航天器中的失重现象”标题下的内容,回答下列问题 航天器(以绕地做匀速圆周运动的飞船为例)中的宇航员处于什么状态?要使宇航员处 于完全失重状态,航天器绕地球飞行的速度至少是多大?试证明之。(地球半径为R,航天 员受到的地球引力近似等于他在地面时的体重) 解答:航天器中的宇航员处于完全失重状态 对航天员重力和座椅的支持力提供向心力,满足的关系为mg一F=mR,也就是 FN=mg-m,由此可解出当v=√gR时座舱对航天员的支持力FN=0,航天员处于完 R 全失重状态,对座椅为有压力。 注意:航天器内的任何物体都处于完全失重状态,但并不是物体不受重力。正因为受到 重力作用才使航天器连同其中的乘员绕地球做匀速圆周运动
向心力；如图所示，所以汽车过凸形拱桥时 FN＝G－ mv2 R 汽车对桥的压力 FN′与桥对汽车的支持力 FN是一对作用力与反作用力，大小相等，所以 压力的大小 FN＝G－m v 2 R 。显然，汽车对桥的压力 FN′小于汽车的重量 G，并且随车速增加 而减小，当车速度增加到mv2 R ＝G 时 FN′＝0，速度再增大，会出现“飞车”现象，这是很危险 的． 2．汽车过凹形拱桥的最低点时，仍然是桥对汽车的支持力和重力的合力 F＝FN－G 提 供向心力，如图所示． 过凹形拱桥时，FN＝G＋m v 2 R 同样汽车对凹形桥的压力 FN′＝G＋m v 2 R 车对桥的压力比汽车的重量大，并且随车速增加而压力会增大，汽车若超速行驶可能会 使桥面断裂。 3．车在拱形桥最高点时处于失重状态，在凹形桥的最低点时处于超重状态。 主题 3：航天器中的失重现象 情景：如图所示是神七飞船进入预定轨道后拍摄的舱内的情形。当船箭分离，神七飞船 顺利进入预定轨道后，翟志刚将手中的小册子释放，小册子并没有下落？为什么？ 阅读课本 P28 页“航天器中的失重现象”标题下的内容，回答下列问题： 航天器（以绕地做匀速圆周运动的飞船为例）中的宇航员处于什么状态？要使宇航员处 于完全失重状态，航天器绕地球飞行的速度至少是多大？试证明之。（地球半径为 R，航天 员受到的地球引力近似等于他在地面时的体重） 解答：航天器中的宇航员处于完全失重状态。 对航天员重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为 R v mg FN m 2 − = ，也就是 R v FN mg m 2 = − ，由此可解出当 v = gR 时座舱对航天员的支持力 FN=0，航天员处于完 全失重状态，对座椅为有压力。 注意：航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受重力。正因为受到 重力作用才使航天器连同其中的乘员绕地球做匀速圆周运动
主题4:高心现象 情景:在超级摩托车比赛中,车手在进入弯道拐弯时常常发生赛车冲岀赛道的事故,如 图所示。为什么? 阅读课本P28页“离心运动”标题下面的内容,回答下列问题: 1.什么是离心运动?产生离心运动的原因是什么? 2.离心运动的应用有哪些?离心运动的危害有哪些?如何防止离心运动? 解答: 1.做圆周运动的物体,在合力突然消失或者合力不足以提供它做圆周运动所需的向心 力时,物体将做逐渐远离圆心的运动,这种运动叫离心运动.离心运动的受力特点:物体做 离心运动并不是物体受到离心力作用,而是由于外力不能提供足够的向心力.所谓“离心力” 也是由效果命名的,实际并不存在 离心运动的成因 做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向 当F=mr2时,物体做匀速圆周运动 当F=0时,物体沿切线方向飞出 当F<mr2时,物体逐渐远离圆心。 2.离心运动的应用和危害 ①利用离心运动制成离心机械.例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等. ②在水平公路上行驶的汽车,转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供 的.如果转弯时速度过大,所需向心力F很大,大于最大静摩擦力Fmax,汽车将做离心运 动而造成交通事故.因此,在转弯处,为防止离心运动造成危害:一是限定车辆的转弯速度 二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力 【教师课堂重点难点点拔】方法技巧归纳 、关于车转弯问题分析方法 【例1】铁路转弯处的圆弧半径是300m,轨距是1435m,规定火车通过这里的速度是 72km/h,内外轨的高度差应该是多大,才能使铁轨不受轮缘的挤压?保持内外轨的这个高度 差,如果车的速度大于或小于72km/h,会分别发生什么现象?说明理由 解析:火车在转弯时所需的向心力在“临界”状况时由火车所受的重力和轨道对火车的 支持力的合力提供.如图所示,图中h为内外轨高度差,L为轨距 F= mg tan 8=m-,tanb=一,由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小,可以
主题 4：离心现象 情景：在超级摩托车比赛中，车手在进入弯道拐弯时常常发生赛车冲出赛道的事故，如 图所示。为什么？ 阅读课本 P28 页“离心运动”标题下面的内容，回答下列问题： 1．什么是离心运动？产生离心运动的原因是什么？ 2．离心运动的应用有哪些？离心运动的危害有哪些？如何防止离心运动？ 解答： 1．做圆周运动的物体，在合力突然消失或者合力不足以提供它做圆周运动所需的向心 力时，物体将做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫离心运动．离心运动的受力特点：物体做 离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不能提供足够的向心力．所谓“离心力” 也是由效果命名的，实际并不存在． 离心运动的成因： 做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。 当 2 F mr = w 时，物体做匀速圆周运动； 当 F=0 时，物体沿切线方向飞出； 当 2 F mr < w 时，物体逐渐远离圆心。 2．离心运动的应用和危害 ①利用离心运动制成离心机械．例如离心干燥器、洗衣机的脱水筒和离心转速计等等． ②在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供 的．如果转弯时速度过大，所需向心力 F 很大，大于最大静摩擦力 Fmax，汽车将做离心运 动而造成交通事故．因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度； 二是把路面筑成外高内低的斜坡以增大向心力． 【教师课堂重点难点点拔】方法技巧归纳 一、关于车转弯问题分析方法 【例 1】铁路转弯处的圆弧半径是 300m，轨距是 1.435m，规定火车通过这里的速度是 72km/h，内外轨的高度差应该是多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压？保持内外轨的这个高度 差，如果车的速度大于或小于 72km/h，会分别发生什么现象？说明理由． 解析：火车在转弯时所需的向心力在“临界”状况时由火车所受的重力和轨道对火车的 支持力的合力提供．如图所示，图中 h 为内外轨高度差，L 为轨距． r v F mg m 2 = tan = , gr v 2 tan = ，由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，可以
近似地认为tnb=5m=b,代入上式得:h=”,所以内外轨的高度差为 h y2L202×1435 0.195m rg300×98 讨论 (1)如果车速v>72km/h(20m),F将小于需要的向心力,所差的力仍需由外轨对轮缘的 弹力来弥补.这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象 (2)如果车速v<72km/h,F将大于需要的向心力.超出的力则由内轨对内侧车轮缘的压 力来平衡,这样就出现了内侧车轮的轮缘向外挤压内轨的现象 点评:汽车与火车是我们日常生活中最常见的交通工具,而我们在乘车的时候经常遇到 车辆发生转弯的问题,对这类问题要先作出受力分析示意图,再确定物体做圆周运动的运动 轨迹平面,确定出向心力的方向,明确此方向的合力,最后由圆周运动向心力与其他物理的 关系式进行列方程求解 变式训练:随着经济的持续发展,人民生活水平的不断提高,近年来我国私家车数量快 速增长,高级和一级公路的建设也正加速进行.为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大 而发生侧滑,常将弯道部分设计成外高内低的斜面.如果某品牌汽车的质量为m,汽车行驶 时弯道部分的半径为r,汽车轮胎与路面的动摩擦因数为,路面设计的倾角为O,如图所 示.(重力加速度g取10m/) (1)为使汽车转弯时不打滑,汽车行驶的最大速度是多少? (2)若取sin0=Do,r=60m,汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数为不:工夏 u=0.3,则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少? F 解析:(1)受力分析如图所示 竖直方向: NCose=mg+Fsin6 水平方向: FNSin+Fosb=m 又F=F 可得v= (sin+ucos)gr (2)代入数据可得:=146m/s 答案:(1) (Sn 6+ u cos o)gi 2)14.6m/s cos8-usn 8 汽车在拱桥上运动的有关问题 【例2】如图所示,质量m=20×10kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形 桥面,两桥面的圆弧半径均为60m,如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N则:
近似地认为 L h tan = sin = ， 代 入 上 式 得： rg v L h 2 = ， 所 以 内 外 轨 的高 度 差 为 0.195 300 9.8 20 1.435 2 2 = = = rg v L h m 讨论： (1)如果车速 v＞72km/h(20m/s)，F 将小于需要的向心力，所差的力仍需由外轨对轮缘的 弹力来弥补．这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象． (2)如果车速 v＜72km/h，F 将大于需要的向心力．超出的力则由内轨对内侧车轮缘的压 力来平衡，这样就出现了内侧车轮的轮缘向外挤压内轨的现象． 点评：汽车与火车是我们日常生活中最常见的交通工具，而我们在乘车的时候经常遇到 车辆发生转弯的问题，对这类问题要先作出受力分析示意图，再确定物体做圆周运动的运动 轨迹平面，确定出向心力的方向，明确此方向的合力，最后由圆周运动向心力与其他物理的 关系式进行列方程求解. 变式训练：随着经济的持续发展，人民生活水平的不断提高，近年来我国私家车数量快 速增长，高级和一级公路的建设也正加速进行．为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大 而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面．如果某品牌汽车的质量为 m，汽车行驶 时弯道部分的半径为 r，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为 μ，路面设计的倾角为 θ，如图所 示．(重力加速度 g 取 10 m/s2 ) (1)为使汽车转弯时不打滑，汽车行驶的最大速度是多少？ (2)若取 sinθ＝ 1 20，r＝60 m，汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数为 μ＝0.3，则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少？ 解析：(1)受力分析如图所示， 竖直方向：FNcos =mg+Ffsin 水平方向：FNsin + Ffcos = r v m 2 又 Ff= FN， 可得 cos sin (sin cos ) − + = gr v . (2)代入数据可得：v=14.6 m/s. 答案：(1) cos sin (sin cos ) − + gr (2)14.6 m/s 二、汽车在拱桥上运动的有关问题 【例 2】如图所示，质量 m＝2.0×104kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形 桥面，两桥面的圆弧半径均为 60m，如果桥面承受的压力不得超过 3.0×105N 则：