数学上，可以通过分离变量的方法将波函数分为两部分或三部分：(r,0,)=R(r)X Y(,β)或y(r,0,p)=R(r) X ①(O) X Φ(p)式中：R(r)称为波函数的径向部分；Y(0,β)称为波函数的角度部分。只要将R(r)、①(①)、Φ(β)分别解出后即可得到y的具体表达式。R(r)有许多个，其具体表达式与自然数n（n=1,2，3.）有关，即当n=1时有一个R(r)表达式，当n=2时又有一个R(r)表达式，：2026年1月14日3时54分
2026年1月14日3 时54分 数学上，可以通过分离变量的方法将波函数分为 两部分或三部分：ψ(r,θ,φ)=R(r)×Y(θ,φ) 或 ψ(r,θ,φ)=R(r)×Θ(θ)×Φ(φ) 式中：R(r)称为波函数的径向部分；Y(θ,φ)称为波函 数的角度部分。 只要将R(r)、Θ(θ)、Φ(φ)分别解出后即可得到ψ的 具体表达式。 R(r)有许多个，其具体表达式与自然数n（n=1， 2，3.）有关，即当n=1时有一个R(r)表达式，当 n=2时又有一个R(r)表达式
同理，(の)的具体表达式与l（=0，1，2，n-l，共n个）有关，Φ(o)的具体表达式与m（m=0，±1，2，….±l，共2+1个）有关。当n、l、m都有确定值时，R(r)、(の)、Φ(β)都有确定的数学表达式，即y(r,0,β)有确定的的数学表达式。n、1、m分别称为主量子数、角量子数和磁量子数。注意，的取值受n的限制，m的取值受的限制。如n取2时，1只能取0和1，当取0时，m只能取0，当取1时，m只能取0，士1。否则，解出的波函数在数学上没有意义。2026年1月14日3时54分
2026年1月14日3 时54分 同理，Θ(θ)的具体表达式与l（l=0，1，2，.， n-1，共n个）有关，Φ(φ)的具体表达式与m（m=0， ±1，±2，.±l，共2l+1个）有关。 当n、l、m都有确定值时，R(r)、Θ(θ)、Φ(φ)都有 确定的数学表达式，即ψ(r,θ,φ)有确定的的数学表 达式。 n、l、m分别称为主量子数、角量子数和磁量子 数。注意，l的取值受n的限制，m的取值受l的限制。 如n取2时，l只能取0和1，当l取0时，m只能取0， 当l取1时，m只能取0，±1。否则，解出的波函数 在数学上没有意义
对于氢原子，所有的原子轨道或波函数都有确定的数学函数式，如表4.1所示，轨道R(r)Y(0,)y(r,0,p)D1rla1a1sV4元aoTa112s2aV4元8元a4a2元aodo32pzcosor/2docos04元2.4aa2元aa3-Ta.sinconp)e-r/2aosincosp2px4元V24a4.12元a0ao2026年1月14日3时54分
2026年1月14日3 时54分 对于氢原子，所有的原子轨道或波函数都有确定 的数学函数式，如表4.1所示。 轨道 ψ(r,θ,φ) R(r) Y(θ,φ) 0 / 3 0 1 r a e a − 0 / 3 0 1 2 r a e a − 4 1 2 0 / 0 3 0 ( ) 2 1 4 1 r a e a r a − 0 / 0 3 0 (2 ) 8 1 r a e a r a − − 4 1 ( ) cos 2 1 4 1 2 0 / 0 3 0 r a e a r a − 0 / 0 3 0 (2 ) 2 4 1 r a e a r a − − cos 4 3 1s 2s 2pz 2px ( ) sin cos 2 1 4 1 0 / 2 0 3 0 r a e a r a − 0 / 0 3 0 (2 ) 2 4 1 r a e a r a − − sin con 4 3
2、波函数和原子轨道合理的波函数有数学意义但没有物理意义波函数的平方有明确的物理意义，它表示电子在核外单位体积内出现的几率大小。可以将波函数近似理解为电子在核外空间出现的范围。习惯上将波函数称为原子轨道，所谓的原子轨道并不是电子运动的轨迹，它只代表电子的某种运动状态。为便于理解，我们可以将核外的原子轨道理解成一层一层的，每一层都有若千个轨道。2026年1月14日3时54分
2026年1月14日3 时54分 合理的波函数有数学意义但没有物理意义。 波函数的平方有明确的物理意义，它表示电子 在核外单位体积内出现的几率大小。 可以将波函数近似理解为电子在核外空间出现 的范围。 习惯上将波函数称为原子轨道，所谓的原子轨 道并不是电子运动的轨迹，它只代表电子的某种 运动状态。 为便于理解，我们可以将核外的原子轨道理解 成一层一层的，每一层都有若干个轨道。 2、波函数和原子轨道
n=1时称为第一层，用符号K表示：n=2时称为第二层，用符号L表示：以下依次为M、N、O、P、Q...层。10时表示一种轨道，用符号s表示，即s轨道：[=1时，表示第二种轨道，用符号p表示，即p轨道；以下依次为d、f、g、h...轨道。m可取值的数目表示某种轨道的简并数目，即能量相等的轨道的数目。2026年1月14日3时54分
2026年1月14日3 时54分 n=1时称为第一层，用符号K表示；n=2时称为第 二层，用符号L表示；以下依次为M、N、O、P、 Q.层。 l=0时表示一种轨道，用符号s表示，即s轨道； l=1时，表示第二种轨道，用符号p表示，即p轨道； 以下依次为d、f、g、h.轨道。 m可取值的数目表示某种轨道的简并数目，即能 量相等的轨道的数目