庄定理如果数=在点P1)是可微分 的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都 存在,且有90 of al ax coS sin g, 其中为x轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 王f(x+4,y+)-f(y9-W+0p) ax ay 牛两边同除以,得到 上页
定理 如果函数z = f ( x, y)在点P( x, y)是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都 存在，且有 cos sin y f x f l f + = ， 其中 为x 轴到方向 L 的转角． 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o( ) y f x x f f x x y y f x y + + + + − = 两边同除以 , 得到
f(x+A, y+Ay)-f(x,y) af Ar af Ay o( ax O义 Oyap 故有方向导数 工工工 可=imnf(x+△x,y+Ay)-/(x,y a p-0 of of =c0S9+。Sm9 ax 上页
cos sin ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f + + = + + − 故有方向导数 ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f + = = l f
庄例1求函数x=x2在点P(处滑从点P 到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解这里方向即为PQ={1,1}, 故x轴到方向/的转角φ T z 1 2xe2=2 ax (1,0) O (1,0) (1,0) (1,0) 所求方向导数 = CoS(一 T、 )+2sin( 2 2 王页下
例 1 求函数 y z xe 2 = 在 点P(1,0)处沿从点P(1,0) 到 点Q(2,−1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向l 的转角 4 = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos( + − = − l z . 2 2 = − 这里方向l 即为PQ = {1,−1}
例2求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零? 解由方向导数的计算公式知 al f (1, 1)cosa+f (1,1)sina (1,1) (2x-y)an cos a+(2y-x) sIn a (1,1) 上页
例 2 求函数 2 2 f (x, y) = x − xy + y 在点（1，1） 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解 (1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = + 由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y + y − x
T =c0S+sino=√2sin(a+ 故 (1)、当a=4时,方向导数达到最大值2 (2)当5时,方向导数达到最小值-2; 3 (3)当=°和a=时,方向导数等于0 4 上页
= cos + sin ), 4 2sin( = + 故 （1）当 4 = 时， 方向导数达到最大值 2; （2）当 4 5 = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; （3）当 4 3 = 和 4 7 = 时， 方向导数等于 0