当且仅当D≠0，C=0B=0域A=0),平面(3.1-10)平行于z轴y轴或 x轴)：当且仅当D=0,C=0(B=0或4=0)，平面仔.1-10)通过z轴y轴或 x轴). 3°A,B,C中有两个为零的情况，我们由1°与2°立刻可得下面的结论 当且仅当D≠0，B=C=0(A=C=0或A=B=0),平面6.1-10)平行 于0z坐标平面(xOz面或Oy面)：当且仅当 D=0,B=C=0(A=C=0或A=B=0),平面(3.1-10)即为Oz坐标面 (xOz面或xO少面). 例2 求通过点M,(2,-,)与M,(3,-2,),且平行于z轴的平面的方 程 解 设平行于z轴的平面方程为 Ax+Bv+D=0, 因为它又要通过M,(2,-1,与4,3，-2，，所以有 2A-B+D=0, 3A-2B+D=0, 由上两式得 A:B:D= -111 2.2-1 -21133-2 =1:1:(-1) 所以所求的平面方程为 x+y-1=0. 3. 平面的法式方程 如果在空间给定一点M和一个非零向量n,那么通过点M,且与向量n 垂直的平面也唯一地被确定.我们把与平面垂直的非零向量n叫做平面的法向 量或简称平面的法矢。在空间直角坐标系{O,i,j,?下，设点M。的径矢为 OM。=0,平面元上的任意一点M的径矢为OM=r(图34)， 阁3-4
显然点M在平面π上的充要条件是向量M,M=I-6与n垂直，这个条件可 写成： n(r-)=0. (3.1-11) 如果设n={4,B,C,M(,bM(x,2),那么 %={xo,yo,2o},r={x,y,z}, P-%={x-xo,y-o,z-z0}, 于是3.1-10又可表示成： A(x-x)+B0y-y)+C(z-2)=0. (3.1-12) 方程(3.1-1)与3.1-12)都叫做平面的点法式方程 如果记D=-(M。+B+C2o),那么(6.1-12)即成为 Ax+By+Cz+D=0. 由此可见，在直角坐标系下，平面π的一般方程3.1-10)中一次项系数 A,B,C有简明的几何意义，它们是平面π的一个法向量n的分量。 如果平面上的点Mo特殊地取自原点0向平面π所引垂线的垂足P,而π 的法向量取单位法向量n°，当平面不过原点时，n°的正向取做与向量OP相 同（图3-5）： 图3-5 当平面通过原点时，n”的正向在垂直于平面的两个方向中任意取定一个，设 OP=p, 那么点P的径矢OP=pm°，因此根据仔.1-1山)，由点P和法向量n决定的 平面π的方程为： n°(r-pn)=0, 式中r是平面π上任意点M的径矢，因为n”n°=1，所以上式可写成
n°r-p=0 (3.1-13) (3.1-13)叫做平面的向量式法式方程。 如果设 r=fx,v,z,n=fcosa,cos B,cosy 那么由(3.1-13)得 xcosa+ycosB+zcosy-p=0. (3.1-14) (3.1-14叫做平面的坐标式法方程或简称法式方程. 平面的法式方程(3.1-14)是具有下列两个特征的一种一般方程：(1) 一次项的系数是单位法向量的分量，它们的平方和等于1：(2)因为P是原点 0到平面π的距离，所以常数项p≤0」 根据平面法式方程的两个特征，我们不难把平面的一般方程(3.1一10)， 即Ar+By+Cz+D=0化为平面的法式方程，事实上，n={A,B,C)是平面 的法向量，而r=OM={x,八，2，所以3.1-10)可写成 nr+D=0, (3.1-15) 把6.1-15)与3.1-13)比较可知，只要以 1 = ±n±√A2+B2+C2 乘(3.1-10)就可得法式方程 Ax By Cz D 十 =0, ±VA2+B2+C2±VA2+B2+C2±VA2+B2+C2±VA2+B2+C (3.1-16) 其中元的正负号选取一个，使它满足1D=-p≤0，或者说当D≠0时，取刀 的符号与D异号：当D=0时，元的符号可以任意选取（正的或负的） 我们在前面己指出，在直角坐标系下，平面的一般方程6.1-10)中一次 项的系数A,B,C为平面的一个法向量的分量，在这里我们又看到-D=卫 等于原点到这平面的距离.平面的一般方程3.1-10)乘上取定符号的入以 后，便可得到平面的法式方程(3.1-16)，通过我们称这个变形为方程 (3.1-10)的法式化，而因子 九= ±VA2+B2+C2(在取定符号后) 就叫做法式化因子 例3 已知两点M,仙，-2,3)与M,3,0,-),求线段MM的垂直平
分面兀的方程。 解 因为向量M,M,=2,2,-4=21,山，2}垂直于平面元，所以平面 π的一个法向量为 n={1,1,-2, 所求平面π又通过M,M2的中点M,(2,-),因此平面元的点法式方程 为 (x-2)+(y+1)-2(z-1)=0, 化简整理得所求平面π的方程为 x+y-2z+1=0 例4把平面π的方程3x-2y+6z+14=0化为法式方程，求得原点指向 平面π的单位法向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离. 解 因为A=3,B=-2,C=6,D=14>0. 以取法式化因子 1 九= -√4A2+B2+C2-V32+(-22+6 7 1 将已知的一般方程乘上7，即得法式方程： 326 7x+y- 77 2-2=0 °=326 原点指向平面π的单位法向量为 77 cosa=-3。 COS= 6 它的方向余弦为 7 7,原点0到平面π的距离 为P=2
3.2平面与点的相关位置 教学目的 1、掌握空间平面与点的相关位置情形。 2、掌握用向量法定义到平面的距离的条件和公式。 3、了解三元一次不等式的几何意义。 教学重点 空间平面与点的相关位置情形。 教学难点 用向量法定义到平面的距离的条件和公式。 教学内容 空间中平面与点的相关位置，有且只有两种情况，就是点在平面上，或点 不在平面上，点在平面上的条件是点的坐标满足平面的方程.下面我们在直角 坐标系下来讨论点不在平面上的情况. 1. 点与平面间的距离 在求点与平面间的距离之前，我们先引进点关于平面的离差的概念， 定义3.2.1如果自点M。到平面元引垂线，其垂足为Q,那么向量 2M在平面π的单位法向量n°上的射影叫做点M与平面π间的离差，记做 6=射影.OM (3.2-1) 容易看出，空间的点与平面间的离差，当且仅当点M0位于平面π的单位 向量n°所指向的一侧，M,与n°同向（图36），离差δ>0，在平面π的 另一侧，M。与n°方向相反（图37），离差6<0，当且仅当M在平面元 上时，离差δ=0 一 图36 图8-7 显然，离差的绝对值⊙，就是点M,与平面π之间的距离d 定理3.2.1 点M与平面(3.1-13)间的离差为