正交系统中的最小二乘法：离散三角级数 给定数据点，，其中写=-π+女j=012m-1 能否找到系数{a,b使得，j 罗+acos+∑(a cos k5+bx sin》 使用最小二乘法建模： ·思考：这里的变量是什么，线性关系是什么？ 记误差向量为 n-1 E(x)=f(x)- 2 an cosnxj+ (ak cos kxj+bk sin kxj) 。 考虑E(喔=1E(x)2 这里的离散三角级数也有正交性 因此也可以证明 1 ak= m yi cos kxj 2m-1 bk= yi sin kxj 13
正交系统中的最小二乘法：离散三角级数 给定数据点 �*, �* *)& !+#$ ，其中�! = −� + ! " �,� = 0,1, … , 2� − 1 能否找到系数{�%, �%}使得，∀� �* ≈ �& 2 + �' cos ��* + > ()$ '#$ �( cos ��* + �( sin ��* 使用最小二乘法建模： • 思考：这里的变量是什么，线性关系是什么？ • 记误差向量为 � �* ≔ � �* − �& 2 + �' cos ��* + > ()$ '#$ �( cos ��* + �( sin ��* • 考虑 � � & & = ∑#*$ &9+% � �# & • 这里的离散三角级数也有正交性 • 因此也可以证明 �# = 1 � ; !$% &"'( �! cos ��! �# = 1 � ; !$% &"'( �! sin ��! 13
离散三角级数的正交性 设中0=1， φk(x)=C0s(kx),k=1,2,…,n, 中n+k(x)=sin(kx),k=1,2,…,n-1 则函数族中o(x),中1(x),在[-兀，]上是正交的 正交性的离散版本： 考虑对[-π，π进行2m等分： x=-π+元，j=0,1,2m-1 m 则∑号21中k(x)中1(x)=0,k≠L 14
离散三角级数的正交性 设 �! = 1, �"(�) = cos(��) , � = 1,2, … , �, �#$" � = sin �� , � = 1,2, … , � − 1 则函数族�E � ,�! � , …在[−�, �]上是正交的 正交性的离散版本： 考虑对 [−�, �]进行2m等分： �F = −� + � � �,� = 0,1, … , 2� − 1 则 ∑!"# $%&'�( �! �)(�!) = 0, ∀� ≠ � 14