定理414(伯恩斯坦( F. Bernstein)定理:设 A和B是两个集合,若A|B又围BA,则 AFB 由此定理知,基数集上的≡关系是偏序关 系,又由定理413知,任意两个集合的基数 都是可比较的,因此还是全序关系 利用存在A到B的内射和B到A的内射来 构造A与B之间的双射
定理4.14(伯恩斯坦(F.Bernstein)定理):设 A和B是两个集合,若|A|≦|B|,又|B|≦|A|,则 |A|=|B|。 由此定理知,基数集上的≦关系是偏序关 系,又由定理4.13知,任意两个集合的基数 都是可比较的,因此还是全序关系. 利用存在A到B的内射和B到A的内射来 构造A与B之间的双射
证明基数相同的方法有:构造双射;构 造内射FA→B,得到AB,再作内射 g:B→A,得到BsA,从而得到A|=Bl 例:利用伯恩斯坦定理证明(0,1)=0,1 例证明实数序列所组成集合E的基数为 C 定理415:设A是有限集,则<Ncf
证明基数相同的方法有：构造双射；构 造内射f:A→B, 得到|A|≦|B|,再作内射 g:B→A,得到|B|≦|A|,从而得到|A|=|B|。 例:利用伯恩斯坦定理证明|(0,1)|=|[0,1]|。 例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为 c。 定理4.15：设A是有限集, 则|A|<0<c<f
定理416(康托尔定理对于任何集合A, 必有AKP(A川 证明: 康托尔定理告诉我们任意给定一个集合 A,总存在基数比A便更大的集合,也就是 不存在最大基数的集合。 构造可列个无限基数的集合: N,P(N),P(P(N),… 且|N<|P(N)<P(P(ND)}2… 左方最开始的不等式表示P(N} 以后每一个都大于它前面的一个, P(N)是什么呢?
定理4.16(康托尔定理):对于任何集合A, 必有|A|<|P (A)|。 证明： 康托尔定理告诉我们:任意给定一个集合 A, 总存在基数比|A|更大的集合, 也就是 不存在最大基数的集合。 构造可列个无限基数的集合: N, P (N),P (P (N)),… 且|N|<|P (N)|<|P (P (N))},… 左方最开始的不等式表示0<|P(N)}, 以后每一个都大于它前面的一个, |P (N)|是什么呢?