第3章几率损幅 25 而你！想要知道它在某个晚一些的时刻到达某个位置，警如说在的振幅.这可用符号表示 成箱T1,=1P,=0》,显然，这个识福将依赖于T和.如果你们把标则器放在不同的 位隆并在不同的时刻进行测量，你们就会得到不同的结果.一般地说，这个？和舌的函数满 足一徽分方程，这微分方程是一个波动方程.例如在非相对论的情况下，它就是膨定浮方 程。于是人们就得到一个与电磁波或者气体中声波的方程式相类似的波动方程。然而必须 强湖指出，满是这个方程式的波函数与空间的真实的波动并不相同，我们不能像对声波那样 用一种实在的东西来描绘这种波动 虽然人们在处理一个粒子的问题的时候，很想用“粒于波”这个词来进行思考，但这并不 是一个恰当的概念.因为，如果有两个粒子，那么在1发现一个粒子并且在发现另一个 粒子的振幅并不是一个筒单的三维空间的波，面是取决于六个空间变量r1和”，作为一个 例子，如桌我们处迎两个（或者更多的）粒子，我们还需要有下面的附加原理：假如两个粒子 不相互作用， 一个粒子做一件事并且另一个粒子做另一件事的振幅是两个粒子分别做这两 件事的两个振幅之乘积.例如，倘若<s>是粒子1从s1到a的振幅，<亿is2>是粒子2从5 到的猿幅，则两者将一起发生的振幅是： (a1s>(b8n> 还要强调一个问题，假定在图32中，我们不知道粒子到达第-一指喷的小孔1和2之前 是从什么地方来的，但是只要知道到达1的振相和到达2的振幅这两个数据，我们仍旧可以 对在墙的后面将会发生些什么（例如到达：的振幅）作出预言.换鞋之，由于接连发生的事 件损幅相乘这一事实，如(3.6)式所示，你要继续分析对所必须知道的只是两个数字 这里的特殊情形来说就是4>和2).有了这两个复数，就足够预言未来的一切了，这就 是真正使得量子力学容易的地方.结果在以后的儿章垦当我们用两个（或少数几个）数宇详 细地说明初始状态后，我们所要做的就是用它来预言未来。当然，这些数字取决丁拉子源的 位置，并且可能还取决于仪器的其他细节.但是，这两个数学给定后我们就不再需要知道这 种细节。 §32双缝干涉图样 现在我们要考感一个在第一章中已经较详细讨论过的问题.这一次我们将要运用振幅 概念的金部光辉成就来向你们说明这些绪果是怎样得出 的，我们采用与图3-1所示相同的实验，但现在两个小 孔后那上一个光源，如图33所示在第一章里，我 们曾经得到下面的有趣结果，如果我们在狭缝1后面观 察，并且看见光子从该处散射，那么所得到的与这些光 电子松 子对应的电于的分布和狭缝2关闭着是相同的，在获缝 1或在独缝2处“看到”的电子钓总分布是单独打开狭 1或2时的分布之和，并且和光源袍灭时的分布完全不 同.这个结朵至少在我们采用足够短的波长的光线时是 图33确定电子走过哪一个小孔的实验 正确的.如果波长变长，以致我们无法确定散射过程发生在哪一个小孔附近，电千的分布 就变得比较像光源炮灭时的分布了 我们用新的符号和振幅组合原理来仔细考虑下会出现些什么情形.为使书写筒单
26 费曼物理学讲义（第三卷） 化，我们仍然令中代表电子通过小孔1到达：的振幅，即 1■《1>1I 同样，我们令中，代表电子经小孔2到达探测器的振幅， 中9-<2>(2s) 这些是没有光时通过两个小孔到达的振幅。现在如果有了光，我们要问自已：电子从出 发，光子从光源工发出，最后电子到达：而光子在狭缝1后面放观察到，这一个过程的振幅 是什么？假定我们用一个探测器D来观察狭缝1后面的光子，如图3-3所示，并用一个同 样的探测器D,来对小孔2后面被散射的光子计数，对于一个光子到达D2以及一个电子到 达x的情形，将有一个振幅.对于一个光子到达D,以及一个电子到达如的情形，也将有一 个振幅。让我们来计算这两个振幅， 虽然我们对计算中所通到的所有因子还没有正确的致学公式，但通过下面的讨论，你们 可以体会出它的精神.首先，电子从电子源跑到小孔1有一个振幅1！).其次，我可以 假没电子在小孔1附近把一个光子散射到探测器D,中也有一定的振幅.我们用&来表示 这个振幅.再有，电子从狭缝1跑到位于它的电子探测器具有报幅1).于是，电子从& 通过狭缝1跑到如并把一个光子散射到D1里面的振幅是 <o|1>a<1|s>. 或者用我们以前用过的符号来表示，它就是中 通过狭缝2的电子将一个光子散射到D中去的情形也具有某个振隔.你们要说：“这 是不可能的，如果探测器D:只是观测小孔1，光子怎么会散射到D:中去呢？”如果波长足 够长，就有布射效应，那就肯定可能。如果仪器做得很好，面且我们用的是短波长的光子，那 么光子被通过小孔2的电子散射到探测器1中去的振幅是非常小的。但是为使讨论具有普 遍性，我们应该考虑到总有一些这种振辐存在，我们称它为石.于是，一个电子通过狭缝2并 且把一个光子散射到D:中夫的振幅是： 2>b2s>-b2. 在位橙找到电子并在D:中发现光子的振幅是上面两项之和，每一项分别对应于电子 的一条可能的路线。每一项又由两个因子构成.第一，电子通过一个小孔，第二，光子被散 射到探测器1中，我们有： /电子到知电子从8发出\ 光子到D光子从五发出 =a吨1+b中. (3.8) 对于在另一个探测器D,中发现光子的情况，我们可得到类似的表达式.为简单起见， 假设系统是对称的，那么a也就是电子通过小孔2时把光子散射到D中的振幅，b是电子 通过小孔1时把光子散射到D,中的振幅，相应的光子进入D,而电子到的总几率是： 电子到第电子从3发出 光子到D,光子从工发出+ (3.9) 现在我们达到了目的.我们可容易地算出不同状态的几率.假定我们想知道在D1中记 下数而同时在0处收到一个电子的几率，这就是式(3.8)所给出的振幅的绝对值的平方， 即{心+中2{”.让我们更仔细地研究一下这个表达式.首先，如基方等于零 一这是我们 设计仪器时所希望的一 答案就是引中P乘以，即缩小了因子l。这就是如果只有- 个小孔时所应当得到的几率分布 一如图34()的曲线所示.另一方面，如果波长很长
第3京几幅 27 光子从小孔2后面散射到D:中的振幅可能正好和从小孔1散射的情形相同.虽然在和 石中可能还分别包含某个位相因子，但是我们可以问一个简单的情况，即两者位相因子相等 的情况.如果4实际上等于而，那么总几率就成为中+中严乘以o因为公共因了a可以 提出来。然而，这正斯沈是完全没有光子的情况下我们所得到的几率分布.所以，在波长很 长的情况下一从而光子探测器无滋 一一你们又重新得到原来的显示出干涉效应的分布 曲线，如图3-4()所示.对于光子探测器部分有效的情况，在大量的中：和少量的中之间存 在若干涉，你将得到如图84（⊙）上所画的那种介于两者之间的分布.我们寻找进入D2的 北子和到达争的电子的符合计数，我们将会得到同样的结果，如果你们还记得第一章中的讨 论，你们可以看出这些结果对第一章里所谈到的 过程给出了定景的描述. 为使你们避免-…个普追的错误，我们现在要 强调说明一个重要的问题.假定你只要知道电子 到达处的儿率而不管光子是在D,还是在D 中计数，你们是香应把式(3.8)和式(3.9)所表示 的振幅相加起来呢？不！对于不同的，互相可以区 别的终态的振幅，你们无论如何都不得把它们相 加起来，光子一旦被某个探测器所接收，只要我们 愿意，我们总是能够确定到底是哪一种情况发生， (a) (6) te) 而不需要再去扰乱这个系统.每个俏况的几率完 全不依赖于另一况.再重复一遍，·不要把不同 图子4在图子3的实中，对拉于进人D 的一个光子，有 电子达雪的儿率 的最终情况的振辐相加，所谓“最终”，指的是我门 (回)对于 希望知道该几率的时刻 就是实验“结束”的时 候。在整个过程结束以前，你们的确对实验中不能区别的各个不同的过程的振瓶求和。在 过程的终了，你们可以说，“不想要观察光子”.要不要对光子进行观察是你们自己的事，但 是你们仍然没有把振幅相加.自然界并不知道你们正在观察什么。无论你们是否费心记录 数据，自然界都按照它自身原有的方式发展变化着，所以我们不得把振幅相加.我们应当先 求出所有可能的终态的振幅的平方，然后再把它们加起来，对于一个电子到达，同时一个 光子到达D或到达D,的情形来说，正确的结果是： 水@于改+定霸愧级受盘 =iag:+8a2+ada+bd2 (3.10) §33在晶体上的散射 下一个例子是这样一个现象，我们在此现象中多少得比较仔细地分析几率幅的干涉，我 们观黎中子在晶体上的散射过程.假定我们有一块晶体，它包含大量的原子，原子的中心是 原子核。这些原子核作周期性的排列，一束中子从很远的地方射来，我们用指标。来标记 晶体中不同的原子核，8依次代表一系列的整数，1,2,3…N,N等于原子的总数.问题是 要计外在图3-5所示的装置中，计数器接收中子的儿津.对于任意的一个原子，中子到达 计数器©的振幅等子中子从源射到原子核的振幅乘以在原子核。上受到散射的振幅马，再
28 费受物理学洪义（算三卷） 乘以中子从到计数器的振幅.我们可将其写成 〈到达c的中子1从&来的中子>a过=(o)<). (3.11) 在写这个方程式时，我们已经假定散射振幅a对 于所有的原子都是一样的.这里有大量的、表咒 中子源 品休 一上不能区别的路线.这些路线之所以不能区别是 中子计微器闲为低能中子从原子核散射的时候不会把原子撞 图3-5测金中子在品体上的散射 离它在晶体中原来的位登一没有留下散射的 “记求”.按照以前的讨论，中子到达c的振幅必领包括式(3.11)对所有原子求和： <到达c的中子|从8来的中子>一之ca<s> (8.12) 因为我们是对在不同空间位登的原子的散射振辐求和，这些报摘必定有不同的位相，这就得 到和我们以前曾经分析过的光在光栅上散射的清况中同样的特征干涉图样 在这样一个实验里面，常常发现中子强度确实随著角度的改变而显示出巨大的变化，具 有若干尖锐的干涉峰，在这些峰之间则儿乎什么也没有 一如图3-6(a)所示.然面，对下某 儿种晶体猜况皖不是这祥的了.伴随着上面所说的干涉峰一起的还有散射到所有方向上的 普遍的本底，我们必须试图去理解这个看上去似乎难以理解的原因。原来我们没有考虑中 子的一个重要的性质，它具有二分之一的自旋，因而它就有两个可能的状态：不是自旋“向 上”（譬如说在图8-5中垂直于纸面）就是自旋“向下”.如果晶体中的原子核没有自旋，中子 的自旋就不会引起任何效应.但是，如采晶体的子核也其有自旋，譬如说自旋为二分之一， 你们就会观察到上面所讲的模糊的散射本底.这个现象的解释如下 如果中子的自旋在某一个方向上，并且原子核具有同样方向的自旋，在散射过程中不可 能发生自旋方向的改变.如果中子和原子核具有相反的自旋，于是可能发生两种不同的散 射过程，其中一个过程中的自旋方向不变：而在另一种过程中自旋的方向互相交换.这个自 旋的总和不变的定测和经典定维中的角动量守恒定律相似。如果我们假定所有散射中子的 原子核的自旋都按同一方向排列，我们就能够开始理解这一现象。与原子核具有相同自旋 的中子受到散射时就得到预期的悦细的于涉分布曲线。对于自旋相反的中子，情况又怎样 呢？如果它在散射时，自旋方向不变，那么情没与上述结果没有什么两样，但是如果两潜的自 旋在散射过程中都翻了一个身，原则上我们就可发现，是在哪一个原子核上进行了散射.因 为这将是唯一的自旋反转的原子核.既然我们可以说出是在票一个原子核上发生了散射， 其他的原子对此中子又有什么影响呢？当然没有，这一情况就和在单个原子上散射完全一 样 为计入这种效应，式(3.12)的数学表达式必须加以修正，因为在那祥的分析过程中我们 还没有对状态作完全的描述.让我们从下述条件出发：从中子源来的全部中子都具有向上 的自旋，而晶体中的所有原子都具有向下的自旋。首先我们要求的是：到达计数器的中子的 自旋都向上而晶体中所有原子核的自旋仍旧向下的振橘。这和我们以前的讨论没有不同. 我们令4为散射时自旋不翻转的振幅。那么，在第。个原子上散射的振幅是： 〈C晶体都向下引S上晶体都向下>=〈O》<S)。 因为所有原子核的自旋仍旧向下，各个不同的原子核（不同的值）无法区别.显然不可能 说出是在哪一个原子上发生了散射.对于这样的过程，所有的振幅互相干涉
第3拿几率握幡 8 然而还有另外的情况，在这种恃况下，从8出发的中子的自旋虽然都是向上的，但探测 到的中子自旋却是向下的，在品体中有一个源子核的自旋必定改变成向上方向一一我们假 定这是第个原子。我们假定对于自旋翻转的每一个原子都具有相同的散射振龋，称为 (在实际的晶体中，存在着另一种可能性，就是相反方向的自旋会转移到另外的某个原子上 但是让我们只讨论这种过程的几率非常小的品体)于是，散射振幅就是： 0r原子核向上|8上晶体都向下-<O砂<S》 (3.13) 假如我们要计算中子自旋向下以及第个原子核自旋向上的几率，它等于这个振幅的笔对 值的平方，就是乘上<0例》.第二个因子儿乎与第而个原子在晶体中的位置 无关，并且在取这个绝对值的平方时，所有的位相都消失了、从品体中任意的原子核上所发 生的自旋翻转的散射几率是： 这必然会显示出图36()那样的光滑的分布曲线. 你们或许会争辩：“我不在乎哪个原子向上.”也许你不在乎，但是自然界是知道的.实 际上的几率就是我们上面所得出的—没有任何干涉效应。另一方面，如果我们要求进入 探测器内的中子自旋向上而所有原子的自旋仍旧向下的几率，那么我们要取下式的绝对值 的平方 含oa<创. 因为求和号下面的各项都包含位相因子，它们要互相干涉，于是我们得到锐细的干涉图样。 如果我们做实验时，没有观察到检得中子的自旋，那么两种情况都可能发生，两种几率就要 相加.。作为角度的函数的总儿率（或计数率）看上去就像3-6()中的曲线那样 (b) (c) 图3-6中子计数率作为角度的陋数 我们来同顾一下这个实验的物理意义.如果你们原则上能够区别各个不同的终态（即使 你们不愿费心去区别它们)，算出各个状态的儿率（不是振幅），然后把它们相加，即得出总的 最终的几率。如果你们基至在原则上都不能区别各个终态，在取绝对值的平方以求出实际 的几率之前，必须先对几率振幅求和.你们必须特别注意的是：如果仅仅用波动来描写中 子，你的对向下自旋的中子和向上自旋的中于将会得到同样的散射分布.你们就要说：“波” 来立所有的原子并且相互干涉，就像具有同样波长的向上自旋的中子一祥.但是我们知道 实际情况并不是这样的.所以正如我们以前所讲过的，我们必须小心，不要对空间的波动赋 予过多的实在性.它们对于莱些问题是有用的，但不是对所有的间题都有用