30 费曼物理学讲义（筒三卷》 §3-4全同粒子 下面我们要描述一个显示出量子力学的类妙结论的实验.这个实验也涉及这样的物理 过程，一件事能以两种不鎖区别的方式发生，因此有振辐的干涉一一在这样的情况下这总是 正确的。我们将要讨论的是在比较低的能量下，一个原子核在另一个原子核上的散射.我 们先考盘粒子（即你们所知道的，氮原子核）轰击，壁如说轰击氧原子，为使我们对这个反 应的分析较为容易起见，我们在质心坐标系中进行察，在这个坐标系中氧原子核和α粒子 的速度在碰擅以前具有相反方向，在碰撞以后也具有完全相反的方向.参看图3-7().（因 为质量不同，速度的大小当然是不同的)我们还要假定能量是守恒的，并且碰罐的最足够 低，既不发生粒子碎裂，也不会使粒子跃迁到激发态，两个粒子之所以彼此发生偏转，其原因 当然是由于两者都带有正电荷，按照经典的说法，当它们互相经过时，存在咨静电斥力。散 射将以不同的儿率在不同的角度发生，我们要讨论的是这种散射的角度依赖关系。（当然 可以按照经典物理学来计算这个关系，因为量子力学对这个问题的解答和经典的结果完全 一样.，这是量子力学中最意外的巧合之一，对于这一点很难理解，因为除了平方反比定律以 外对其他力的情况就不是这样 一所以 它确实是-一种巧合，) 不同方向的散射儿率可以用图37 4粒子 人但邻拉子 9 (a)所示的实验来进行测量.在位置1 的计数器可以没计成只检测α粒子，在 位登2的计数器设计成只检测氧原子 核一这第二个探测器仅仅用来作为核 ( @ 对.（在实验室系统中，探测器不会在相 图3-7在质心系中现察啦子在氧家子核上的敢射 反的方向上，但在质心系中，它们在相反 的方向土.)我们的实验包括测量在不同方向上的散射几率.令∫()为探测器波在日角度 上粒子散射到探测器中的振幅：那么，1∫()就是我扪由实验测得的几率。 我们还可设计另一个实验，其中所用的探测器既能对：粒子作出反应，也能对氧原子核 作出反应.这样我们就可得到在我们不需要区别所计数的是娜一种粒子的情况下所发生的 过程.当然，假如我们在日角的位置上接收到一个氧原子，在相反的位置角度为(x一)上必 然会接收到一个a粒子，如图3-7(b)所示.所以，如果f()是▣粒子散射到日角的振幅，则 (x-)是氧原子散射到0角的振幅”.于是，在位置1接收到基种粒子的九率是 在D,中接收到某种能子的儿一f()}3+1f《匹-9) （3.14） 注意，这两个状态原则上是可以区别的、即使在这个实验中我们不去区别这两种状态，但我 幻是熊感区别它们的，按照以前的讨论，我们必须把几率相加而不是把振幅相加。 上述结果对于各种靶核都是正确的 。粒子在氧原子核上的散射，在碳、俄、氢等等 原子核上的散射.但是对于“粒子在粒子上的散射，这个骑果就不对了，对于两个粒子 完全相同的情况，实验得出的数据和式(3,14)所预言的不一致.例如在90°角的散射几率 粒子在(一品十)，然丽，对于仑散封似及对于共他许 个氧原子核的振幅和在（一）方向花到一个粒子的振幅是指同的
第3章几率授幅 8 正好是上述理论所预言的两倍，并且与这些粒子是“氯原子核无关.如果靶是日，而入射 粒子是：粒子(H),那么实验结泉就和上述理论相符合了.只有当袍是H 一其原子核 和入射的α粒子金阿时，粒子的微射以其独特的方式随角度变化. 或许你们已能看出对这个现象的解释.使c粒了进入计数器有网种方式：使轰击的 粒子以日角散射，'或者使它散射到(x一)角度上我们怎么能够辨别进入计数器的粒子是 施轰粒子还是把粒子呢？回答是不能。在：粒子对：粒子的情况下，有两个无法区别的情 况，这里我们必须把儿率振相加使之相干，在计数器中找到“粒子的儿率是两个振幅和 的平方： x粒子进入D的儿宰=f(0+f(x-)3. (3.15) 这个结果和式(3.14)完全不同.我们可取角度x/2作为一个例子，因为这很容易计 算.对于9=x/2,显然f()=f(x一)，所以式(3.15)的几率变为1f(匹/2)+f(红/2)中 =4f(/2). 另一方面，如果它们不发生干涉，式(3.14)的结果只给出2f(x/2)川？.所以90°角的 散射是我们所预料的两倍.当然，在其他角度结果也是不同的，于是，你们得到了一个不寻 常的结论：在粒子是全同的情况下，发生了在粒子是可以区别的憎况下未曾发生过的某种新 的情况.在数学描述中，必须把可选择的各种过程的振相加，在这种过程中，粒子只是简 单地交换它们的位空，并且存在若干涉. 当我们用电子对电子散射，或者质子对质子散射进行同样类型的实验时，甚至会出现更 为锖综复杂的情况.此时以上两个结论都不正确！对于这些粒子，我们还必须引用一条新的 法则，一个最为独特的法则，这个法则是这样的：当来到某一点的电子本身和另一个电子相 交换时，在这种情说中新的振幅以相反的位相与旧的振箍相干涉.这确确实实是干涉，只是 带有一个负号.就。粒子而言，当把粒子交换进入计数器时，相干的幅以正号干涉 就电子而言，交换干涉的相迁振低以负号祖干涉.除了下面将要谈到的另一细节外，在与阿 38所示相类似的实验中，适合电子的方程为 电子到达D的几率=f()-f(m一). (3.16) 对上面的陈述还必须加以限制，因为 我们还没有考虑到电子的自旋（粒子没有 自长向上》父 日起向上) 自旋).可以认为，电子的自旋相对于散射 电子 平面来说，不是“向上”就是“向下”。如果 m器品又. 实验的能量足够低，由于电荷运动所产生 的磁力很小，因而自旋不受到影响，我们假 自熊 定现在分析的就是这种情况，所以在碰撞 图3-电子 个克子 的时侯，自旋方向不会改变.不管电子具有 不能区别 什么方向的自旋，它总是不变的.你们可以看到，这里有几种可能性.施袭粒子和靶控子的 自旋都向上，或若都向下，或者它们的自旋方向相反.假定两者的自旋都向上，如图38所 示（或者假定它们的自旋都向下）.反冲粒子的自旋特况也将这样，·而且这个过程的幅等 于图3-8(@)和()所表示的两种可能过程的泉幅之差.于是在D,中探测到电子的几罩由 式(3.16)给出. 假如“能袭”粒子的自旋向上而“靶”粒子的自旋向下，进入计数器1的电子自旋可以向
费柔物理学讲义（第三#） 上地可以向下，通过对电子自旋的测量，我们就能够说出这个电子是来自施袭粒子束还是 来自粑粒子束了.这两种可能性表示在图39的()和()中，原则上它们是可以区别的，因 而互不半涉 一只不过是两者的几塞相加.如果原来的自旋方向都反了过来一一就是说， 左边的自旋向下而右边的自旋向上 自旋向.上 样的论证仍然成立， 瑰在如果我们随意选农电子 例如 入6 由钨丝发射的电子是完全非极化的一一那 吃下 么发射的任一特定电子其自旋向上还是向 下的机会是五十对五十.如果我们在实脸 中不去测量电子在任何地点的自旋，这就 图3-9自能反平行的两个电子的监射 是所谓的非极化的实验.这个实验的结果 最好用这样的方法来计算把所有伪各种可能性都排列成表，就像我们在表3-1中所做的那 样，对各个可以区别的不同情况分别求出它们的儿率.总的几率就等于所有各个几率的和。 注意，对于非极化粒子束，6=2的结果是对互不依赖的粒子按经典理论求出的果的 半。全同粒于的行为具有许多有趣的结论，我们将在下一章更为详细地讨论它们 表31丰变化的自救为二分之一的数子的散射 客种况 粒子1的 D中 到达D,中 的比 自旋 自 粒子的自 粒子的自旋 几 南上 向上 向 向上 14 向下 尚下 向下 向下 lf(8)-f(x-)3 向上 向下 宜下 f(-)月 下 向上 下 向上 If()2 总几率-室/0-e-2+f),2+立i/s-)
4 全同粒子 §4-1玻色子和费密子 在上一章里，我们开始考虑了发生在两个全同范子相互作用的过程中振幅千涉的特殊 法则.所谓全同粒子是指像电子那样的无法将它」伎此区别开来的粒子.如果在某一个过 程中包含两个全同的粒子，将原来到达计数器的粒子与另一粒子互相调换一下，这样调换后 的状态与原来的状态是不能区别的，而且一一像所有其他不能区别的情况一样 一调换后 的状态与原来的状态相干涉.于是事件的振幅就是两个相干探幅之和，但是，令人感到有起 的是，在某些情况下两个振幅以相同的位相相干涉，而在另一些情况下，振幅以相反的位相 相千涉. 假设如两个粒子4和石相互磁撞，其 中a散射到方向1而b散射到方向2，如 图4-1()所示.令f(8)为这一过程的振 幅，于是，观察到这个事件的几率：正比 于()？.当然也可能发生另一种过程， (a) 即粒子散射到计数器1中而粒子4进入 计数器2中，如图4-1（⑦）所示.假设不存 在由自旋之类所定义的特殊方向，这一过程的几率就是{（一），因为这正好等于在第 过程中把计数器1移到匹一日角处.你们也许会想到，第二个过程的振幅正巧等.于∫(m ).但它并不一定是这样，因为还可以有一个任意的位相因子.这就是说振幅可以是 8f(m-). 这个幅同样给出几率P等于f(x一) 现在让我们来君一看，如果和b是全同了的话，将会出现些什么情况.这时我们就 不能区别图41中的两个图所表示的不同过程.对于无论还是进入计数器1而同时另 一个进入计数器2的情形，我们有一个深橱.这个过程的探据是图4-1所示的两个过程的 振之和.假使我们把第一个过程的振幅叫微f(),那么第二个就是(一).，现在，位 相因子就很重要了，因为我们要把两个振幅相加，假没当我们把这两个粒子交换时，我们必 须在振幅上乘以某个位相因子，如果我们把这两个粒子再交换一次，我们应该再次乘以同样 的因子、可是这样一来，我们又回到了第一过程.位相因子应用两次必然回到原来的状态 位相因子的平方必定等于1.这只存在若两种可能性：“等于+1或者等于一1，两 个粒子交换前后的扳幅要么是有相同的符号，要么具有相反的符号，这两种偕况在自然界 中都存在，它们分别对应于不同种类的粒子，以正号相干的粒子称为裘色子，以负号相干的 粒子称为数密子、光子、介子和引力子都是玻色子，电子、“介子、中微子、校子和重子都是 费密子.于是，我们得到全同粒子的散射振幅是： 玻色子：
84 费感物羽学进义（第三张） (直接的振柄)+（变换后的振幅） (4.1) 费密粒子 (直接的振幅〉一（交换后的报幅） (4.2) 对于具有自旋的粒子 一如电子 一还有一个另外的复杂情况.我们不仅要详细说明 粒子的位魔，还要说明它们自旋的方向，只对于具有相同自旋状态的全同粒子相互交换，振 幅才相互于涉 如果考非极化射束 这是不同自旋状态的混合物 一的散射，还有某 些特别的计算. 当两个或更多的粒子繁紧地束缚在一起的时候，将引起一个有趣的问题.例如，一个。 粒子里面有四个粒子一一两个中子和两个质子、当两个。粒子相互微射时，有几种可能性. 在散射过程中，可能有一定的振幅使一个中子从一个粒子跳到另一个x粒子中，同时在另 一个粒子中有一个中子姚过来南它交换位置，于是微射以后的粒于已经不甚原来的粒 子了 一已经交换了一对中子.见图4-2.交换一对中子的散射振瓶和没有这种交换的散 射振牺相于涉，由于这里有一对费密子相互交换，干涉必定其有负号，另一方面，如果两个 粒子的相对能量是如此之低，使得它们保持相当的距离- 一壁如说由于库仑斥力 那 么就不可能有交换任何内部粒子的几率、于是我们可以把“粒子当作结构单一的客体而不 必去考虑它的内部细节.在这种情形下，只有两种情况对散射振幅有所贡献，在散射过程中 要么没有粒子交换，要么四个粒子都交换.因为：粒子中的质子和中子都是费密粒子，任意 一对粒子的交换都要改变散射振幅的符号.只要在α粒子之间没有内部粒子的交换，交换 两个α粒于和交换四对费密子是同样的，对于每一对费密粒子的交换都要改变符号，其结 果是振幅以正号相组合.粒子的行为像玻色子 6 图42两个：粒子的散射.在（中，两个a粒子保持原来的样子不查；在(）中，碰撞时互相交换一个中子 因此，关于复合粒子的法则是这样的，在复合粒子可以看成单个粒子的情况下，复合粒 子的行为像费密子还是像玻色子取决子它们包含的是奇数个费密子还是偶数个费密子， 所有我们提到过的基本费密子一一例如电子、质子以及中子等等-一具有月旋-1/2 如果将几个这样的费密子放在一起组成一个复合粒子，总的自旋不是整数就是半整数.例 如，氨的普通同位素H®，它的原子核包含两个中子和两个质子，其自旋为零。而【？的原 子核有三个质子和四个中子，其有8/2的自旋.我们以后要学习角动量的合成规则，面现在 只提一下，每一个具有半整数自旋的复合拉子就象一个费密子，而每一个县有整数自旋的复 合粒子就像一个玻色子