集合的元素 元素(E|emen)和集合之间的隶属关系:“属于”或“不属于” “属于”关系记作∈,“不属于”记作g.例如 A={a,{b,c},d,{{d}}}. a∈A,{b,c}∈A,d∈A,{{d}}∈A, bEA, d)eA. b和{d}是A元素的元素 为了体系的严谨性,规定:对任何集合A,都有:AgA
6 集合的元素 z 元素(Element)和集合之间的隶属关系: “属于”或“不属于”. z “属于”关系记作∈, “不属于”记作∉. 例如: A = { a, { b, c }, d, { { d } } }. a∈A, { b, c }∈A, d∈A, { { d } }∈A, b∉A, { d }∉A. b和{ d }是A元素的元素. z 为了体系的严谨性, 规定: 对任何集合A, 都有: A∉A
集合之间的关系 设A和B为集合,若B中的每个元素都是A的元素,则称B是A的子 集合,简称子集( Subset,也可称B被A包含,或A包含B,记作BsA. 如果B不被A包含,则记作B实A 包含的符号化表示为BcA分x(x∈B→x∈A) 例如: NCZEQCR三C. 显然,对任何集合A,都有:AcA 注意 包含关系表示集合之间的关系 隶属关系表示元素和集合之间的关系,但也可表示某些集合之间 关系.如: {a}e{a,{a}}(看作两个不同层次上的集合) {a}s{a,{a}(看作同一层次上的两个集合) 7
7 集合之间的关系 z 设A和B为集合, 若B中的每个元素都是A的元素, 则称B是A的子 集合, 简称子集(Subset), 也可称B被A包含, 或A包含B, 记作B ⊆ A. z 如果B不被A包含, 则记作B ⊆ A. z 包含的符号化表示为 B ⊆ A ⇔ ∀x(x∈B → x∈A) ¾ 例如: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C. z 显然, 对任何集合A, 都有: A ⊆ A. 注意: z 包含关系表示集合之间的关系; z 隶属关系表示元素和集合之间的关系, 但也可表示某些集合之间 关系. 如: ¾ { a }∈{ a, { a } } (看作两个不同层次上的集合) ¾ { a } ⊆ { a, { a } } (看作同一层次上的两个集合)
集合相等 设A和B为集合,如果AcB且BgA,则称A与 B相等,记作:A=B 若A与B不相等,则记作:A≠B 相等的符号化表示为 A=BAcB∧BcA →Vx(x∈A→>x∈B)∧yx(x∈B→>X∈A) 8
8 集合相等 z 设A和B为集合, 如果A ⊆ B且B ⊆ A, 则称A与 B相等, 记作: A = B. z 若A与B不相等, 则记作: A ≠ B. z 相等的符号化表示为 ¾ A=B ⇔ A⊆B∧B⊆A ⇔ ∀x(x∈A → x∈B)∧∀x(x∈B → x∈A)
真子集 设A和B为集合,如果BgA且B≠A,则称B是 A的真子集( Proper Subset,记作BcA 若B不是A的真子集,则记为:B￠A 真子集的符号化表示为: BcA台 BCAMB≠A ●例如: NCZCQCRCO,但,NN
9 真子集 z 设A和B为集合, 如果B ⊆ A且B ≠ A, 则称B是 A的真子集(Proper Subset), 记作B ⊂ A. z 若B不是A的真子集, 则记为: B ⊄ A. z 真子集的符号化表示为: ¾ B ⊂ A ⇔ B ⊆ A∧B ≠ A z 例如: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, 但, N⊄N