点、直线和平面的投影教学目的要求：1.点的投影及作图2.各种位置直线的投影，及两直线的相对位置，3.直角三角形法求直线的实长和倾角，直角定理4.各种位置平面的投影，平面上取点取线的作图教学重点难点：各种位置直线的投影1.2.各种位置平面的投影3.平面上取点取线的作图学时：381点的投影1.1点的三面投影本节教学目标：点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。难点：重影点的投影。引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。1.1.1三面投影的规律点的三面投影：水平投影Aa→正面投影a→侧面投影a"→W点的三面投影规律：a'aloxa'a"lozaax =a"az1.1.2点的投影与坐标的关系一、三投影面体系中点的投影Aa=a'ax=a"ay=高标（Z标）Aa=aax=a"az=纵标(Y标)Aa"=a'az=aay=横标(X标）V、H投影反映XV、W投影反映ZH、W投影反映Y1.点在三投影面体系中的投影空间点A的位置确定后，那么它的三面投影（a、a、a”）投影就确定了，反之如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。2.术语及规定习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示
点、直线和平面的投影 教学目的要求: 1. 点的投影及作图. 2. 各种位置直线的投影,及两直线的相对位置. 3. 直角三角形法求直线的实长和倾角,直角定理. 4. 各种位置平面的投影,平面上取点取线的作图. 教学重点难点: 1. 各种位置直线的投影. 2. 各种位置平面的投影. 3. 平面上取点取线的作图. 学 时: 3 § 1 点的投影 1.1 点的三面投影 本节教学目标： 点在第一分角中各种位置的投影特性和作图方法。 重点：点在两投影面体系及三投影面体系中的投影，两点的相对位置及重影点的投影。 难点：重影点的投影。 引入：点是最基本的几何元素，以此来分析点在空间中的位置关系及规律。 1.1.1 三面投影的规律 点的三面投影：水平投影 a → H 正面投影 a´ → V 侧面投影 a″ → W 点的三面投影规律： a′a ⊥ ox a′a″⊥ oz a aх =a″az 1.1.2 点的投影与坐标的关系 一、三投影面体系中点的投影 A a = a′ax = a″ay = 高标（Z 标） A a′= a ax = a″az = 纵标（Y 标） A a″= a′az = aay = 横标（X 标） V、H 投影反映 X V、W 投影反映 Z H、W 投影反映 Y 1.点在三投影面体系中的投影 空间点 A 的位置确定后，那么它的三面投影（ a、a′、 a″）投影就确定了，反之 如果空间一点的三面投影确定，则空间点的位置也就确定。 2.术语及规定 习惯上我们将空间点用大写的字母表示，其投影用相应的小写字母表示
3.投影性质点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影面的距离。二、特殊位置点的投影1.其他分角内的点两投影面体系一一四分角：三投影面体系一一八分角。2.其他情况投影面上的点的投影关系：投影轴上的点的投影关系1.2两点的相对位置和重影点1.2.1两点的相对位置根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。VXA<XBB点在A左方YA>YBB点在A点后方ZA>ZBB点在A点下方例：比较三棱锥四个顶点S、A、B、C的位置。比较：1.B、C与A同高，S点在其上方。2.A在S左方，C在S右方，B与S点X坐标相同。3.A、C在S后方，B点在S点前方。1.2.2重影点理论：当两点处在对某投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，这两点就称为对该投影面的重影点。A、B是对H面的重影点：C、D是对V面的重影点。可见性的判断：距投影面远的-点可见。举例说明：重影点中不可见的点，在作图时，可加括号表示其不可见。a(a')Xd0a(b)001.3各种位置点的投影1.3.1四个分角中的点
3.投影性质 点的两投影的连线垂直于相应的投影轴；点的投影到投影轴的距离反映空间点到投影 面的距离。 二、特殊位置点的投影 1.其他分角内的点 两投影面体系——四分角； 三投影面体系——八分角。 2.其他情况 投影面上的点的投影关系； 投影轴上的点的投影关系 1.2 两点的相对位置和重影点 1.2.1 两点的相对位置 根据两点相对于投影面的坐标不同，即可确定两点的相对位置。 XA<XB B 点在 A 左方 YA>YB B 点在 A 点后方 ZA>ZB B 点在 A 点下方 例：比较三棱锥四个顶点 S、A、B、C 的位置。 比较：1. B、C 与 A 同高，S 点在其上方。 2．A 在 S 左方，C 在 S 右方，B 与 S 点 X 坐标相同。 3．A、C 在 S 后方，B 点在 S 点前方。 1.2.2 重影点 理论：当两点处在对某投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影 重合，这两点就称为对该投影面的重影点。 A、B 是对 H 面的重影点；C、D 是对 V 面的重影点。可见性的判断：距投影面远的一 点可见。举例说明；重影点中不可见的点，在作图时，可加括号表示其不可见。 1.3 各种位置点的投影 1.3.1 四个分角中的点
A一一第一分角，a'a在X轴两侧。一第二分角，b'b在x轴同侧。B-C—一第三分角，c’c在X轴两侧。D-一第四分角，d"d在X轴同侧。我国采用第一分角，英、美等国采用第三角投影。BAP6XPaodoaS1.3.2特殊位置的点当空间点的Y、Z坐标有一个为零（点在投影面上），或者Y、Z坐标均为零（点在H面上。B在V面上。C-在投影轴上），则为特殊位置点。（两面投影）A一在OX轴上。6182直线的投影本节教学目标：空间不同位置直线的投影，点、线的从属关系，直线对投影面倾角及实长，两直线相对位置。重点：各种位置直线的投影特性，直线上的点的投影，两直线的相对位置。难点：两直线的相对位置。引入：在熟练掌握点的投影规律的基础上，可进一步掌握直线的投影特性和规律，以及空间点与直线、直线与直线的相对位置在投影图上的特点。空间任意直线与投影面相对位置关系有如下三种关系：（1）实形性：，投影反映实际长度：（2）积聚性：工，投影交于一点：（3）类似性：倾斜，与投影面有一个夹角
A——第一分角，a’a 在 X 轴两侧。 B——第二分角， b’b 在 X 轴同侧。 C——第三分角，c’c 在 X 轴两侧。 D——第四分角，d’d 在 X 轴同侧。 我国采用第一分角，英、美等国采用第三角投影。 1.3.2 特殊位置的点 当空间点的 Y、Z 坐标有一个为零（点在投影面上），或者 Y、Z 坐标均为零（点 在投影轴上），则为特殊位置点。（两面投影）A——在 H 面上。B——在 V 面上。C— —在 OX 轴上。 §2 直线的投影 本节教学目标： 空间不同位置直线的投影，点、线的从属关系，直线对投影面倾角及实长，两直线相对 位置。 重点：各种位置直线的投影特性，直线上的点的投影，两直线的相对位置。 难点：两直线的相对位置。 引入：在熟练掌握点的投影规律的基础上，可进一步掌握直线的投影特性和规律，以 及空间点与直线、直线与直线的相对位置在投影图上的特点。 空间任意直线与投影面相对位置关系有如下三种关系： （1）实形性：∥，投影反映实际长度； （2）积聚性：⊥，投影交于一点； （3）类似性：倾斜，与投影面有一个夹角
2.1各种位置直线的投影特性2.1.1一般位置直线：PYa三面投影均小于实长，且与投影轴倾斜。特性：1.各面投影的长度均小于实长。2.各面投影均不平行于投影轴。P39所示，一般位置直线与H、V、W面均倾斜，各夹角为α、β、;特征：（1）各面投影的长度均小于实际长度：（2）各面投影均不平行于投影轴：（3）三个投影均不反映α、β、的真实大小。投影特点：三个投影都具有收缩性2.1.2投影面平行线：平行于一个投影面的直线，包括水平线、正平线、侧平线。特性：1.在其所平行的投影面上的投影反映实长，例ab=AB。2.在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，例a’b”I/ox，a”b”l/oy3.反映实长的投影与投影轴的夹角，就是直线与相应投影面的夹角。例ab反映β、角的大小。特殊情况：直线在投影面上。特征：有两个投影在相应的投影轴上。水平线（//H）、正平线（I/V）、侧平线（//W）上述三类线，各自的特性需掌握。投影特点：一个真实性，两个收缩性2.1.3投影面垂直线：平行于两个投影面，垂直于第三个投影面。三种：铅垂线一垂直于H面正垂面一垂直于V面侧垂面一垂直于W面特性：1.在其所垂直的投影面上，投影为一点，有积聚性，例ab积聚为一点2.另两个投影垂直于相应的投影轴，且反映实长。例：a”b工oxa”b”loya'b'=a"b”=AB实例：给出三棱锥的轴测图和投影图，判断其各棱线的位置。正垂线（IV）、铅垂线（IH）、侧垂线（IW）上述三类线，各自的特性需掌握。投影特点：一个积聚性，两个真实性
2.1 各种位置直线的投影特性 2.1.1 一般位置直线： 三面投影均小于实长，且与投影轴倾斜。 特性：1.各面投影的长度均小于实长。2．各面投影均不平行于投影轴。 P39 所示，一般位置直线与 H、V、W 面均倾斜，各夹角为 α、β、γ； 特征：（1）各面投影的长度均小于实际长度；（2）各面投影均不平行于投影轴；（3） 三个投影均不反映 α、β、γ 的真实大小。 投影特点：三个投影都具有收缩性 2.1.2 投影面平行线： 平行于一个投影面的直线，包括水平线、正平线、侧平线。 特性：1.在其所平行的投影面上的投影反映实长，例 ab=AB。 2.在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，例 a’b’∥ox, a” b”∥oy 3.反映实长的投影与投影轴的夹角，就是直线与相应投影面的夹角。例 ab 反映β、γ角的大小。 特殊情况：直线在投影面上。特征：有两个投影在相应的投影轴上。 水平线（∥H）、正平线（∥V）、侧平线（∥W） 上述三类线，各自的特性需掌握。 投影特点：一个真实性，两个收缩性 2.1.3 投影面垂直线： 平行于两个投影面，垂直于第三个投影面。 三种：铅垂线—垂直于 H 面 正垂面—垂直于 V 面 侧垂面—垂直于 W 面 特性:1.在其所垂直的投影面上,投影为一点,有积聚性,例 ab 积聚为一点. 2.另两个投影垂直于相应的投影轴,且反映实长。例：a’b’⊥ox a”b” ⊥oy a’b’=a”b”=AB 实例：给出三棱锥的轴测图和投影图，判断其各棱线的位置。 正垂线（⊥V）、铅垂线（⊥H）、侧垂线（⊥W） 上述三类线，各自的特性需掌握。 投影特点：一个积聚性，两个真实性
正垂线侧垂线铅垂线c'(d') Z d"Z,Ze"(f")e'aaYwb6X4XXYwYHa(b)YHYH2.1.4.其他位置直线（需要注意其特征）（1）从属于投影面的直线（2）从属于投影轴的直线2.2求线段的实长和倾角方法：直角三角形法（求一般线的实长和倾角）IH原理：由轴测图中可知，当AC//ab时，则△ABC为直角△，AB为实长，且AC=ab，BC=Bb-Aa=△Z则可在投影图上作出。直角三角形各元素意义：斜边：线段实长直角边：一直角边为投影长另一边为到该投影面的坐标差。斜边与投影边的夹角：反映与该投影面的倾角。结论：1.直角三角形中已知四个元素中的任两个，则可作出直角△，从而求得另二个元素。2.直角△可用任一投影及坐标差作出，但其必须保持对应关系。工程上，利用直角三角形法求实长及直线与投影的夹角，需要具体画图才可以。作图方法：在两面投影图中，做直角三角形。2.3直线上的点2.3.1直线上的点点和直线的从属性是平行投影的不变性，即：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上，反之亦成立。据此可：1、求直线上点的其余投影。2、判断点是否在直线上，一般线一一看两投影即可，平行线一一应看直线所平行的那个投影面上的投影
2.1.4.其他位置直线（需要注意其特征） （1）从属于投影面的直线 （2）从属于投影轴的直线 2.2 求线段的实长和倾角 方法：直角三角形法（求一般线的实长和倾角） 原理：由轴测图中可知，当 AC∥ab 时，则△ABC 为直角△，AB 为实长，且 AC=ab,BC=Bb-Aa=△Z 则可在投影图上作出。 直角三角形各元素意义： 斜边：线段实长 直角边：一直角边为投影长 另一边为到该投影面的坐标差。 斜边与投影边的夹角：反映与该投影面的倾角。 结论： 1.直角三角形中已知四个元素中的任两个，则可作出直角△，从而求得 另二个元素。 2.直角△可用任一投影及坐标差作出，但其必须保持对应关系。 工程上，利用直角三角形法求实长及直线与投影的夹角，需要具体画图才可以。 作图方法：在两面投影图中，做直角三角形。 2.3 直线上的点 2.3.1 直线上的点 点和直线的从属性是平行投影的不变性,即:若点在直线上,则点的各个投影必在 直线的同面投影上,反之亦成立。 据此可：1、求直线上点的其余投影。2、判断点是否在直线上， 一般线——看两投影即可，平行线——应看直线所平行的那个投影面上的投影