直线、平面的相对位置关系教学目的要求：研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和基本作图方法。包括：平行、相交和垂直。教学重点难点：相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，线、面相对位置综合作图。学时：381平行关系1.1直线与平面平行几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面，反之亦然。投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图问题。作图：如图5-1所示，已知b'dI/ef'，bd//ef，且BD是ABC平面上的一直线，因此，直线BD//△ABC。图5-1例1：过点K作一水平线，使之平行于△ABC（图5-2）解：①在△ABC上作一水平线AD。（先作正面投影ad//X）②过K点作直线KL//AD。（kl//ad，k1//ad）直线KL即为所求。图5-2例2：过点K作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线AB解：由于铅垂面的H投影为一直线所以作铅垂面平行于直线AB，则Pa必平行于ab
直线、平面的相对位置关系 教学目的要求： 研究直线与平面以及平面与平面的相对位置关系在投影图中的投影特性和基本作图方 法。包括：平行、相交和垂直。 教学重点难点： 相交关系的作图方法与步骤，及可见性的判断，线、面相对位置综合作图。 学时：3 §1 平行关系 1．1 直线与平面平行 几何条件：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面， 反之亦然。 投影：如果直线的投影与平面内任意一直线的同面投影平行，在空间则直线与平面平行。 根据此定理，我们可以在投影图上判断直线与平面是否平行，并解决直线与平面平行的作图 问题。 作图： 如图 5-1 所示，已知 b’d’ ∥e’f’,bd∥ef,且 BD 是 ABC 平面上的一直线，因此， 直线 BD∥ΔABC。 图 5-1 例 1：过点 K 作一水平线，使之平行于ΔABC（图 5-2） 解：① 在ΔABC 上作一水平线 AD。（先作正面投影 aˊdˊ∥X） ② 过 K 点作直线 KL∥AD。（kl∥ad，kˊlˊ∥aˊdˊ）直线 KL 即为所求。 图 5-2 例 2：过点 K 作一铅垂面（用迹线表示），使之平行于直线 AB 解：由于铅垂面的 H 投影为一直线， 所以作铅垂面平行于直线 AB，则 PH必平行于 ab
1）过k作Pn//ab，与X轴交于Px点。2）过Px点作Pv工X轴，则P平面即为所求。图 5-31.2平面与平面平行几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应平行，则这两个平面平行。作图：由于AB//A,BI,BC//BCi,所以平面ABC//平面A,BCi，如图5-4所示图5-4两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则不能确定两平面是相互平行的。在图5-5中两平面平行，在图5-6中两平面不平行。D图5-5PQvQr4QQaPrPeYH图 5-6S2相交关系求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。2.1利用积聚性求交点、交线2.1.1直线与平面相交一求交点当平面或直线的投影有积聚性时，根据交点的公有性，一个投影可直接确定，另一个投影可用在直线或平面上取点的方法求出
1）过 k 作 PH∥ab,与 X 轴交于 PX点。 2）过 PX点作 PV⊥X 轴，则 P 平面即为所求。 图 5-3 1.2 平面与平面平行 几何条件：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平 面平行。 投影：一个平面内任意两条直线的投影分别与另一个平面内两条相交直线的同面投影对应平 行，则这两个平面平行。 作图：由于 AB∥A1B1,BC∥B1C1,所以平面 ABC∥平面 A1B1C1，如图 5-4 所示 图 5-4 两平行平面的同面迹线一定平行，反之，如果两平面的两对同面迹线分别相互平行，则 不能确定两平面是相互平行的。在图 5-5 中两平面平行，在图 5-6 中两平面不平行。 图 5-5 图 5-6 §2 相交关系 求直线与平面的交点和两平面的交线是解决相交问题的基础。 2．1 利用积聚性求交点、交线 2．1．1 直线与平面相交—求交点 当平面或直线的投影有积聚性时，根据交点的公有性，一个投影可直接确定，另一个投 影可用在直线或平面上取点的方法求出
例1：试求直线AB与平面P的交点（图5-7)作图步骤：（1）确定正面投影k。（2）求水平投影k。1PPL(a)(b)图5-7例2：试求直线EF与△ABC的交点（图5-8a）作图步骤：（1）过k在△abc上作辅助线ad。（2）作ad的正面投影ad。（3）求交点的正面投影k。（4）判断可见性。在投影图中，为了增强清晰性，将直线与平面重影部分判断可见性。规定：不可见部分画成虚线，可见部分画成实线，交点是直线投影虚实的分界点。图5-8a图5-8b2.1.2平面与平面相交一求交线当两平面之一投影有积聚性时，交线的两个投影有一个可直接确定，另一个投影可用在平面上作直线的方法求出。例：试求平面ABC与平面P的交线（图5-9a）解法一（图5-9b）作图步骤：（1）连接ac。（2）求出P与△abc的交线k1。（3）求交线的水平投影kl。PPvPr图 5-9解法二：
例 1：试求直线 AB 与平面 P 的交点（图 5-7） 作图步骤：（1）确定正面投影 kˊ。（2）求水平投影 k。 图 5-7 例 2：试求直线 EF 与△ABC 的交点（图 5-8a） 作图步骤：（1）过 k 在△abc 上作辅助线 ad。（2）作 ad 的正面投影 aˊdˊ。（3）求交 点的正面投影 kˊ。（4）判断可见性。 在投影图中，为了增强清晰性，将直线与平面重影部分判断可见性。规定：不可见部分 画成虚线，可见部分画成实线，交点是直线投影虚实的分界点。 图 5-8a 图 5-8b 2．1．2 平面与平面相交—求交线 当两平面之一投影有积聚性时，交线的两个投影有一个可直接确定，另一个投影可用在 平面上作直线的方法求出。 例：试求平面 ABC 与平面 P 的交线（图 5-9a） 解法一（图 5-9b） 作图步骤：（1）连接 aˊcˊ。（2）求出 PV与△aˊbˊcˊ的交线 kˊlˊ。（3）求交线的 水平投影 kl。 图 5-9 解法二：
分析：P平面是水平面，它与平面ABC的交线一定是水平线，BC也是平面ABC内的水平线，根据同一平面的水平线的投影相互平行的特性，既可求出交线的投影。作图步骤：1、求出Pv与ab的交点k。2、求出K的水平投影k。3、过k作kl/bc。4、求出1。KL即为所求。2.2用辅助面求交点、交线当直线、平面均为一般位置时，其交点、交线不能直接求出，必须通过辅助平面来求。2.2.1用辅助面求交点作图步骤（图5-10)1、过已知直线做一辅助平面，如平面P（为便于作图，常用特殊位置平面)：2、求出辅助平面与已知平面的辅助交线，如直线CD，3、求出辅助交线与已知直线的交点，如K点，即为所求交点。XXX图5-10例：试求直线AB与平面EFG的交点。（图5-1la）解：作图步骤1、过AB作铅垂面P（图5-11b）：2、求P与EFG的交线CD3、求CD与AB的交点（k,k），则K为直线AB与平面EFG的交点（图5-11c）；4、判别水平投影的可见性（图5-11d)；5、判别正面投影的可见性。图5-11a图5—11b图5-1lc图5—1ld2.2.2用辅助面法求交线作图步骤：（1）过AB作一正垂面P求出P与平面DEF的交线12，12与AB的交于K点则K点是一个公共点。（2）过直线AC作正垂面O.求出它与平面DEF的交线为34，34与AC交于点L则交线KL即为所求。求出交线后一定要判断可见性，交线时可见与不可见的分界线，交线一侧可见，另一侧必不可见，交线本身是可见的，用粗实线画出
分析：P 平面是水平面，它与平面 ABC 的交线一定是水平线，BC 也是平面 ABC 内的 一水平线，根据同一平面的水平线的投影相互平行的特性，既可求出交线的投影。 作图步骤：1、求出 PV与 aˊbˊ的交点 kˊ。2、求出 K 的水平投影 k。3、过 k 作 kl∥bc。 4、求出 lˊ。KL 即为所求。 2．2 用辅助面求交点、交线 当直线、平面均为一般位置时，其交点、交线不能直接求出，必须通过辅助平面来求。 2．2．1 用辅助面求交点 作图步骤(图 5-10) 1、过已知直线做一辅助平面，如平面 P(为便于作图，常用特殊位置平面)； 2、求出辅助平面与已知平面的辅助交线，如直线 CD; 3、求出辅助交线与已知直线的交点，如 K 点，即为所求交点。 图 5-10 例：试求直线 AB 与平面 EFG 的交点。（图 5-11a） 解：作图步骤 1、过 AB 作铅垂面 P（图 5-11b）； 2、求 P 与 EFG 的交线 CD; 3、求 CD 与 AB 的交点（k,kˊ）,则 K 为直线 AB 与平面 EFG 的交点（图 5-11c）; 4、判别水平投影的可见性（图 5-11d）； 5、判别正面投影的可见性。 PH 图 5—11a 图 5—11b 图 5—11c 图 5—11d 2．2．2 用辅助面法求交线 作图步骤：（1）过 AB 作一正垂面 P,求出 P 与平面 DEF 的交线 12，12 与 AB 的交于 K 点,则 K 点是一个公共点。 （2）过直线 AC 作正垂面 Q,求出它与平面 DEF 的交线为 34，34 与 AC 交于点 L,则交 线 KL 即为所求。求出交线后一定要判断可见性，交线时可见与不可见的分界线，交线一侧 可见，另一侧必不可见，交线本身是可见的，用粗实线画出
图5-1283垂直关系3.1直线与平面垂直几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。反之，如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。投影：若一直线的水平投影一定垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面，则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。图5-13如图5-13所示，AB和AC分别是△ABC平面上的水平线和正平线，adabad1ac，则直线垂直于平面△ABC。例1：试求点K到△ABC平面的距离（图5-14a）解：求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定该点到垂足之间线段的实长。（图5-14b.5-14c）作图步骤：（1）在△ABC平面上任作一水平线BD和AE。（2）自K点向BD、AE引垂线，即作kllbd,k1，得垂线KL。（3）过KL作辅助面P,求出垂足F。（4）用ae直角三角形法求出实长Kif，则Kif即为所求。图5-14a图5-14b图5-14c3.2平面与平面垂直
图 5-12 §3 垂直关系 3．1 直线与平面垂直 几何条件：如果一直线垂直于平面上的两条相交直线，则此直线垂直于该平面。反之， 如果一直线垂直于一平面，则此直线垂直于该平面上的一切直线。 投影：若一直线的水平投影一定垂直于平面上水平线的水平投影，直线的正面投影垂直 于平面上正平线的正面投影，则该直线必垂直于此平面。反之，若一直线垂直于一个平面， 则它的水平投影一定垂直于平面是水平线的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平 线的正面投影，它的侧面投影一定垂直于平面上侧平线的侧面投影。 图 5-13 如图 5-13 所示，AB 和 AC 分别是△ABC 平面上的水平线和正平线，ad⊥ab,aˊdˊ⊥ aˊcˊ,则直线垂直于平面△ABC。 例 1：试求点 K 到△ABC 平面的距离（图 5-14a） 解：求点到平面的距离，需自该点向平面做垂线，并求出垂线与平面的交点，然后确定 该点到垂足之间线段的实长。（图 5-14b,5-14c） 作图步骤：（1）在△ABC 平面上任作一水平线 BD 和 AE。（2）自 K 点向 BD、AE 引 垂线，即作 kl⊥bd,kˊlˊ⊥aˊeˊ,得垂线 KL。（3）过 KL 作辅助面 P,求出垂足 F。（4）用 直角三角形法求出实长 K1f,则 K1f 即为所求。 图 5-14a 图 5-14b 图 5-14c 3．2 平面与平面垂直