是对圆周“无限细分”，由许多三角形来求圆的周长和面积，这就是“无限求和”。 我国古代，也早就有了微积分思想的圆术”。他从圆内接正六边形做起，令边数成倍的 增加，逐步推求圆内接正12边形，正24萌芽。西汉刘歆在《西京杂记》中提到的“记里车”， 东汉张衡制造的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进的“木牛流马”，都要设计制造圆形的物 件，从而产生了魏晋时刘徽提出的“割边形…直到正3072边形，用这个3072边形面积来 逼近圆面积，就得到Π的较精确的值3.1416，“割之弥细，所失弥少：割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体而无所失矣“。这就包含着微积分中的”无限细分，无限求和“的思想 方法。又如隋代建造的赵州桥，这座跨度达37米的大石拱桥，系用一条条长方形条石砌成， 一段段的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈，这就是微积分中“以一直代曲”的基本思想 的生动原形。 但这时却未能产生完整的微积分理论。 资料来源：朱家生主编：《数学史》，高等教育出版社，2004年7月 第一版，第107-108页 思考讨论题 1.该案例涉及了哪些哲学原理？ 2.用有关认识的哲学原理解释：为什么当时未能形成完整的微积分理论？ 解析案例 该案例体现了实践在认识中起决定作用的原理。实践是认识的基础。实践西汉生了认识 的需要。人们要改造世界首先要认识世界，人类的认识活动总是为各个时代社会实践的特定 需要服务的，科学研究的任务也总是围绕着社会实践的雪要这个中心来确定的。社会实践的 需要始终是人类认识发展的强大动力。实践为识提供了可能。提出的问题归根结底只能依靠 和通过实践来解决。实践创造出必要的物质条件和手段，使人的认识能够不断发展。在微积 分产生过程中，正是人们在实践劳动中遇到了一些困难，为了解决这些困难，人们开始研究 新的劳动工具，由于研制的需要，开始认识到圆的一些问题，进而产生了“无限细分，无限 求和”的微积分思想的萌芽。当人们研究出一定的成果之后，又将其应用到了实践之中，如 发明了水轮机，木牛流马，制造了浑天仪，赵州桥等…这正说明了实践产生了认识的需要， 认识最终还要回到实践中去，为实践服务，再产生新的实践。 人们对事物的认识，由于主客观条件的限制，往往不是一次就能完成的。从主观方面说， 人们总是受到自己认识能力和实践活动范围的限制。从客观方面说，收到科学技术的限制， 以及客观过程的发展和表现程度的限制。客观事物的本质有一个显露的过程，人的认识也就 36
36 是对圆周“无限细分”，由许多三角形来求圆的周长和面积，这就是“无限求和”。 我国古代，也早就有了微积分思想的圆术”。他从圆内接正六边形做起，令边数成倍的 增加，逐步推求圆内接正 12 边形，正 24 萌芽。西汉刘歆在《西京杂记》中提到的“记里车”， 东汉张衡制造的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进的“木牛流马”，都要设计制造圆形的物 件，从而产生了魏晋时刘徽提出的“割边形……直到正 3072 边形，用这个 3072 边形面积来 逼近圆面积，就得到∏的较精确的值 3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体而无所失矣“。这就包含着微积分中的”无限细分，无限求和“的思想 方法。又如隋代建造的赵州桥，这座跨度达 37 米的大石拱桥，系用一条条长方形条石砌成， 一段段的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈，这就是微积分中“以一直代曲”的基本思想 的生动原形。 但这时却未能产生完整的微积分理论。 资料来源：朱家生主编：《数学史》，高等教育出版社，2004 年 7 月 第一版，第 107-108 页 思考讨论题 1.该案例涉及了哪些哲学原理？ 2.用有关认识的哲学原理解释：为什么当时未能形成完整的微积分理论？ 解析案例 该案例体现了实践在认识中起决定作用的原理。实践是认识的基础。实践西汉生了认识 的需要。人们要改造世界首先要认识世界，人类的认识活动总是为各个时代社会实践的特定 需要服务的，科学研究的任务也总是围绕着社会实践的雪要这个中心来确定的。社会实践的 需要始终是人类认识发展的强大动力。实践为识提供了可能。提出的问题归根结底只能依靠 和通过实践来解决。实践创造出必要的物质条件和手段，使人的认识能够不断发展。在微积 分产生过程中，正是人们在实践劳动中遇到了一些困难，为了解决这些困难，人们开始研究 新的劳动工具，由于研制的需要，开始认识到圆的一些问题，进而产生了“无限细分，无限 求和”的微积分思想的萌芽。当人们研究出一定的成果之后，又将其应用到了实践之中，如 发明了水轮机，木牛流马，制造了浑天仪，赵州桥等……这正说明了实践产生了认识的需要， 认识最终还要回到实践中去，为实践服务，再产生新的实践。 人们对事物的认识，由于主客观条件的限制，往往不是一次就能完成的。从主观方面说， 人们总是受到自己认识能力和实践活动范围的限制。从客观方面说，收到科学技术的限制， 以及客观过程的发展和表现程度的限制。客观事物的本质有一个显露的过程，人的认识也就
需要一个过程。而且实践产生认识的需要，只有当实践进一步需要时，认识才会进一步发展。 微积分没有形成完整的理论，正是由于生产力水平的限制。不论是阿基米德所处的古希腊时 代，还是刘徽所处的魏晋时期，当时的生产工具都比较简单，生产实践还没有提出进一步发 展微积分思想的需要，因而数学只停留在初等数学阶段，这些也就限制了完整的微积分理论 的形成。只有当生产力进一步发展，社会实践对其提出需要时，再经过反复的实践到认识， 再到实践，再到认识的无限循环发展，才可能建立起完备的微积分理论。 (曹雪原) 15.案例：18世纪的数学进展 在文化史上，18世纪被称为重要的启蒙时代。自英国率先进入工业革命之后，法国和 德国也相继兴起了启蒙运动。人类思想进一步解放，为科学的发展创造了良好的条件。自 17世纪微积分学说创立以来，一直不断向前发展，这种发展是与其在理论物理、力学、天 文学等诸多领域的广泛应用紧密交织在一起的，并且刺激和推动了许多新分支的产生，如微 分方程、无穷级数论、微分几何、变分法、复变函数论等。将微积分学深入发展，是18世 纪数学的主流。人们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并取得了丰硕 的成果。人们用微积分的理论发现了哈雷彗星，在已知包围某个图形曲线方程的条件下，用 积分学的理论就可以计算出任意平面图形的面积，这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持 的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。正是这些新学科的产生和发展，使数学分析 形成了在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。 围绕微积分学深入发展，英国与欧洲大陆有不同的发展路线。在18世纪初期，数学 家泰勒、麦克劳林、隶莫弗和斯特灵等都是早期英国牛顿学派的追随者，对微积分做出了系 统的处理，其中最重要的成果为泰勒将函数表示为无穷级数的表达式，就泰勒公式。由于牛 顿和莱布尼茨关于优先微分权之争日益激烈，英国数学界固守牛顿流数方法，拒不接受欧洲 大陆的数学思想，致使英国数学在牛顿尤其是麦克劳林之后发展相对缓慢。而在欧洲大陆， 自贝努利家族的几位成员开始，首先继承并推广莱布尼茨的学说，他们在微积分概念的表达、 符号运用、函数解析式、有理分式的积分问题等方面构筑了独特的理论。欧拉是在贝努利数 学家族影响下成长起来的大数学家，他成为整个18世纪数学的中心人物。特别是他第一此 改变了曲线作为微积分研究对象的认识，而把函数作为中心思想，微积分从此被看作关于函 数的理论，并且是建立在函数的微分的的基础之上的，大大推动了函数概念本身的研究，从 而解决了微积分学出现的一系列重要问题，大大拓展了微积分学研究的领域。1847年他的 巨著一一《无穷分析引论》的出版以及后来的《微分学原理》(1755)和《积分学原理》(1768 37
37 需要一个过程。而且实践产生认识的需要，只有当实践进一步需要时，认识才会进一步发展。 微积分没有形成完整的理论，正是由于生产力水平的限制。不论是阿基米德所处的古希腊时 代，还是刘徽所处的魏晋时期，当时的生产工具都比较简单，生产实践还没有提出进一步发 展微积分思想的需要，因而数学只停留在初等数学阶段，这些也就限制了完整的微积分理论 的形成。只有当生产力进一步发展，社会实践对其提出需要时，再经过反复的实践到认识， 再到实践，再到认识的无限循环发展，才可能建立起完备的微积分理论。 （曹雪原） 15.案例：18 世纪的数学进展 在文化史上，18 世纪被称为重要的启蒙时代。自英国率先进入工业革命之后，法国和 德国也相继兴起了启蒙运动。人类思想进一步解放，为科学的发展创造了良好的条件。自 17 世纪微积分学说创立以来，一直不断向前发展，这种发展是与其在理论物理、力学、天 文学等诸多领域的广泛应用紧密交织在一起的，并且刺激和推动了许多新分支的产生，如微 分方程、无穷级数论、微分几何、变分法、复变函数论等。将微积分学深入发展，是 18 世 纪数学的主流。人们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并取得了丰硕 的成果。人们用微积分的理论发现了哈雷彗星，在已知包围某个图形曲线方程的条件下，用 积分学的理论就可以计算出任意平面图形的面积，这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持 的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。正是这些新学科的产生和发展，使数学分析 形成了在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。 围绕微积分学深入发展，英国与欧洲大陆有不同的发展路线。在 18 世纪初期，数学 家泰勒、麦克劳林、隶莫弗和斯特灵等都是早期英国牛顿学派的追随者，对微积分做出了系 统的处理，其中最重要的成果为泰勒将函数表示为无穷级数的表达式，就泰勒公式。由于牛 顿和莱布尼茨关于优先微分权之争日益激烈，英国数学界固守牛顿流数方法，拒不接受欧洲 大陆的数学思想，致使英国数学在牛顿尤其是麦克劳林之后发展相对缓慢。而在欧洲大陆， 自贝努利家族的几位成员开始，首先继承并推广莱布尼茨的学说，他们在微积分概念的表达、 符号运用、函数解析式、有理分式的积分问题等方面构筑了独特的理论。欧拉是在贝努利数 学家族影响下成长起来的大数学家，他成为整个 18 世纪数学的中心人物。特别是他第一此 改变了曲线作为微积分研究对象的认识，而把函数作为中心思想，微积分从此被看作关于函 数的理论，并且是建立在函数的微分的的基础之上的，大大推动了函数概念本身的研究，从 而解决了微积分学出现的一系列重要问题，大大拓展了微积分学研究的领域。1847 年他的 巨著——《无穷分析引论》的出版以及后来的《微分学原理》（1755）和《积分学原理》（1768
·1770)的发表，标志者微积分的研究已进入一个新的阶段。 资料来源：博海伦主编：《中外数学史》，科学出版 社，2007年，第266-267页。 思考讨论题 1.该案例中涉及了哪些马克思主义基本原理？ 2.怎样深入理解实践与认识的相互关系？ 3.如何看待感性认识与理性认识之间的关系？ 案例解析 践是认识的该案例中首先涉及了一个重要的原理是关于实践在认识中的决定作用。实基 础，他对认识的决定作用包括：实践产生了认识的需要，人们要改造世界就必须先认识世界， 人们的认识活动总是为各个时代社会实践的特定需要服务的，科学研究的任务也总是围绕着 社会实践这个中心来确定的。实践为认识提供了可能。实践使认识得以产生和发展。该案例 中谈到，进入工业革命之后，微积分学说不断发展。另一方面，正是数学在理论物理、力学、 天文学等诸多领域的广泛应用，刺激和推动了数学许多新分支的产生，如微分方程、无穷级 数论、微分几何、变分法、复变函数论等。人们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学 等各个领域，并取得了丰硕的成果。人们用微积分的理论发现了哈雷彗星，就是一个很好的 例子。 该案例中涉及的另一个重要的原理是从实践到认识的辨证过程。认识运动的辨证过程， 首先是从实践到认识的过程。在这个过程中，认识采取了感性认识和理性认识两种形式，并 经历了由前者到后者的能动飞跃。感性认识和理性认识是辨证统一的，如果割裂二者的辨证 统一关系，就会走向唯理论和经验论，在实际工作中就会犯教条主义和经验主义的错误。该 案例中谈到，英国数学界的数学家们，只依靠感性认识，固守牛顿流数方法，拒不接受欧洲 大陆的数学思想，致使英国数学在牛顿尤其是麦克劳林之后发展相对缓慢。而在欧洲大陆， 数学家们根据理性认识的原理，继承并推广莱布尼茨的学说，他们在微积分概念的表达、符 号运用、函数解析式、有理分式的积分问题等方面构筑了独特的理论，使数学得到飞速的发 展。 思考： 该案例告诉我们，在认识的辨证过程中，我们要注重理性认识的因素的作用，同时也不 可忽视情感、意志、欲望、动机、信念、习惯、本能等非理性认识的重要作用。应该以正确 的理性认识去指导和调控非理性因素的作用。在学习过程中，多动脑筋，解决问题时不能机 38
38 •1770）的发表，标志者微积分的研究已进入一个新的阶段。 资料来源：博海伦主编：《中外数学史》，科学出版 社，2007 年，第 266-267 页。 思考讨论题 1.该案例中涉及了哪些马克思主义基本原理？ 2.怎样深入理解实践与认识的相互关系？ 3.如何看待感性认识与理性认识之间的关系？ 案例解析 践是认识的该案例中首先涉及了一个重要的原理是关于实践在认识中的决定作用。实基 础，他对认识的决定作用包括：实践产生了认识的需要，人们要改造世界就必须先认识世界， 人们的认识活动总是为各个时代社会实践的特定需要服务的，科学研究的任务也总是围绕着 社会实践这个中心来确定的。实践为认识提供了可能。实践使认识得以产生和发展。该案例 中谈到，进入工业革命之后，微积分学说不断发展。另一方面，正是数学在理论物理、力学、 天文学等诸多领域的广泛应用，刺激和推动了数学许多新分支的产生，如微分方程、无穷级 数论、微分几何、变分法、复变函数论等。人们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学 等各个领域，并取得了丰硕的成果。人们用微积分的理论发现了哈雷彗星，就是一个很好的 例子。 该案例中涉及的另一个重要的原理是从实践到认识的辨证过程。认识运动的辨证过程， 首先是从实践到认识的过程。在这个过程中，认识采取了感性认识和理性认识两种形式，并 经历了由前者到后者的能动飞跃。感性认识和理性认识是辨证统一的，如果割裂二者的辨证 统一关系，就会走向唯理论和经验论，在实际工作中就会犯教条主义和经验主义的错误。该 案例中谈到，英国数学界的数学家们，只依靠感性认识，固守牛顿流数方法，拒不接受欧洲 大陆的数学思想，致使英国数学在牛顿尤其是麦克劳林之后发展相对缓慢。而在欧洲大陆， 数学家们根据理性认识的原理，继承并推广莱布尼茨的学说，他们在微积分概念的表达、符 号运用、函数解析式、有理分式的积分问题等方面构筑了独特的理论，使数学得到飞速的发 展。 思考： 该案例告诉我们，在认识的辨证过程中，我们要注重理性认识的因素的作用，同时也不 可忽视情感、意志、欲望、动机、信念、习惯、本能等非理性认识的重要作用。应该以正确 的理性认识去指导和调控非理性因素的作用。在学习过程中，多动脑筋，解决问题时不能机
械地生搬硬套已有的方法而不知变通，要善于灵活运用所学的知识，达到举一反三的效果。 这样，才是真正的学会了课本中的内容，才能将课本中的东西汲取而成为自身的养料，才能 通过学习，掌握处理生活中各种问题的方法。 (陈超) 16.案例：阿基米德与金冠之谜 不论从思想方法还是对数学的卓越贡献来看，阿基米德都有独到之处。纵观数学发展史， 有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏缜密的推理：有的数学家偏重于逻辑证明，而对新领 域的开拓却徘徊不前，阿基米德则兼有二者之长，他将惊人的独创与严格的论证融为一体， 更善于将技巧与逻辑分析结合起来。注意理论与实践的联系常常通过实践直觉地观察到事物 的本质，然后使用逻辑方法使经验上升为理论（如浮力问题），再用理论去指导实际工作。 维特鲁维厄斯是罗马有名的建筑学家，以传世的10卷《建筑学》著称。这本书第四卷 记述了一段传诵千古的逸事。叙拉古的海厄罗王的政治威望及权势日益提高，为了报答诸神 的得泽，他决定建造一个华贵的神龛，内装一个纯金的王冠，作为感恩的奉献物。 金匠如期完成了任务，理应得到奖赏。这时有人告密说金匠偷去了一部分金子，以等重 的银子参入。国王甚为愤怒，但又无法判断是否确有其事，便请素称多能的阿基米德来鉴定 一下。阿基米德也一时想不出好办法来，正在苦闷之际，他到公共浴室去洗澡，当浸入装满 水的浴盆的时候，水漫溢的盆外，而身体顿觉减轻。于是他豁然开朗，悟到不同质料的物体， 虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。根据这一道理，不仅可以判断王冠是否 掺有杂质，而且知道偷去黄金的分量。这一发现非同小可，阿基米德高兴地跳了起来，赤身 奔回家中准备实验。 阿基米德当时是怎样考虑这个问题的？后人作了一些合理的推测。假如设想一个物体 A,重量为W,体积为V,完全浸没在水中。水对物体产生一定浮力，如浮力大于W,A 就被推向上浮：如果浮力小于W,则A下沉：如浮力恰好等于W,则A不动。现在假设A 所占据的体积换成同体积的水，那么这部分水看成原来槽中水的一部分，即不会上升也不会 下沉。这说明浮力和体积V的水的重量一样。于是便得到流体静力学的基本原理（以后被 称为“阿基米德”原理)：物体在流体中减轻的重量，等于排去流体的重量。 这只是可能的思考路线，结论也仅仅是一种猜想。阿基米德认为必须通过严格的证明， 原理才能确立。他的独特之处就在于首先利用各种方法，如观测和实验等，结合以建立的力 学定律，凭借知觉洞察事物的本质，探索其规律，提出可信的猜想。下一步才是严格的论证， 从简单的假设出发，演绎地证明所要的结。这个“阿基米德原理”，后来总结在他的名著《论 39
39 械地生搬硬套已有的方法而不知变通，要善于灵活运用所学的知识，达到举一反三的效果。 这样，才是真正的学会了课本中的内容，才能将课本中的东西汲取而成为自身的养料，才能 通过学习，掌握处理生活中各种问题的方法。 （陈超） 16.案例：阿基米德与金冠之谜 不论从思想方法还是对数学的卓越贡献来看，阿基米德都有独到之处。纵观数学发展史， 有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏缜密的推理；有的数学家偏重于逻辑证明，而对新领 域的开拓却徘徊不前，阿基米德则兼有二者之长，他将惊人的独创与严格的论证融为一体， 更善于将技巧与逻辑分析结合起来。注意理论与实践的联系常常通过实践直觉地观察到事物 的本质，然后使用逻辑方法使经验上升为理论（如浮力问题），再用理论去指导实际工作。 维特鲁维厄斯是罗马有名的建筑学家，以传世的 10 卷《建筑学》著称。这本书第四卷 记述了一段传诵千古的逸事。叙拉古的海厄罗王的政治威望及权势日益提高，为了报答诸神 的得泽，他决定建造一个华贵的神龛，内装一个纯金的王冠，作为感恩的奉献物。 金匠如期完成了任务，理应得到奖赏。这时有人告密说金匠偷去了一部分金子，以等重 的银子参入。国王甚为愤怒，但又无法判断是否确有其事，便请素称多能的阿基米德来鉴定 一下。阿基米德也一时想不出好办法来，正在苦闷之际，他到公共浴室去洗澡，当浸入装满 水的浴盆的时候，水漫溢的盆外，而身体顿觉减轻。于是他豁然开朗，悟到不同质料的物体， 虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。根据这一道理，不仅可以判断王冠是否 掺有杂质，而且知道偷去黄金的分量。这一发现非同小可，阿基米德高兴地跳了起来，赤身 奔回家中准备实验。 阿基米德当时是怎样考虑这个问题的？后人作了一些合理的推测。假如设想一个物体 A，重量为 W，体积为 V，完全浸没在水中。水对物体产生一定浮力，如浮力大于 W，A 就被推向上浮；如果浮力小于 W，则 A 下沉；如浮力恰好等于 W，则 A 不动。现在假设 A 所占据的体积换成同体积的水，那么这部分水看成原来槽中水的一部分，即不会上升也不会 下沉。这说明浮力和体积 V 的水的重量一样。于是便得到流体静力学的基本原理（以后被 称为“阿基米德”原理）：物体在流体中减轻的重量，等于排去流体的重量。 这只是可能的思考路线，结论也仅仅是一种猜想。阿基米德认为必须通过严格的证明， 原理才能确立。他的独特之处就在于首先利用各种方法，如观测和实验等，结合以建立的力 学定律，凭借知觉洞察事物的本质，探索其规律，提出可信的猜想。下一步才是严格的论证， 从简单的假设出发，演绎地证明所要的结。这个“阿基米德原理”，后来总结在他的名著《论
浮体》中，成为第七命题。 资料来源：梁宗巨著：《世界数学通史》，辽宁教育出版社，1996 年，第325-328页。 思考讨论题 1.该案例中涉及了哪些马克思主义基本原理？ 2.怎样深入理解实践与认识的相互关系？ 3.如何看待感性认识与理性认识之间的关系？ 案例解析 该案例中首先涉及了一个重要的原理是关于实践在认识中的决定作用。实践是认识 的基础，他对认识的决定作用包括：实践产生了认识的需要，人们要改造世界就必须先认识 世界，人们的认识活动总是为各个时代社会实践的特定需要服务的，科学研究的任务也总是 围绕着社会实践这个中心来确定的。实践为认识提供了可能。实践使认识得以产生和发展。 该案例中谈到，为了判断王冠是否掺有银子，国王请阿基米德来帮忙，阿基米德通过一次偶 然的事情，在公共浴室洗澡时，发现水漫溢出去，身体减轻，由之认识到了客观世界中普遍 存在的一个规律，即浮力定律。 该案例中涉及的另一个重要的原理是从实践到认识的辨证过程。认识运动的辨证过程， 首先是从实践到认识的过程。在这个过程中，认识采取了感性认识和理性认识两种形式，并 经历了由前者到后者的能动飞跃。感性认识是人们在实践的基础上，由感觉器官直接感受到 的关于事物的现象，事物的外部联系，事物的各方面的认识，包括感觉，知觉和表象三种形 式。理性认识是指人们借助抽象思维，在概括整理感性材料的基础上，达到关于事物的本质， 全体，内部联系和自身规律性的认识。理性认识包括概念，判断，推理三种形式。该案例中 谈到，阿基米德很注意从感性认识上升到理性认识，它通过不同质料相同重量的物体在水中 受到的浮力不同，这一感性认识，直觉地观察到事物的本质，然后利用各种方法，如观测和 实验等，探索其规律，使经验上升为理论，由感性认识上升到理性认识，最终得到了客观自 然规律，即“阿基米德原理”。 (陈超) 40
40 浮体》中，成为第七命题。 资料来源：梁宗巨著：《世界数学通史》，辽宁教育出版社，1996 年，第 325-328 页。 思考讨论题 1.该案例中涉及了哪些马克思主义基本原理？ 2.怎样深入理解实践与认识的相互关系？ 3.如何看待感性认识与理性认识之间的关系？ 案例解析 该案例中首先涉及了一个重要的原理是关于实践在认识中的决定作用。实践是认识 的基础，他对认识的决定作用包括：实践产生了认识的需要，人们要改造世界就必须先认识 世界，人们的认识活动总是为各个时代社会实践的特定需要服务的，科学研究的任务也总是 围绕着社会实践这个中心来确定的。实践为认识提供了可能。实践使认识得以产生和发展。 该案例中谈到，为了判断王冠是否掺有银子，国王请阿基米德来帮忙，阿基米德通过一次偶 然的事情，在公共浴室洗澡时，发现水漫溢出去，身体减轻，由之认识到了客观世界中普遍 存在的一个规律，即浮力定律。 该案例中涉及的另一个重要的原理是从实践到认识的辨证过程。认识运动的辨证过程， 首先是从实践到认识的过程。在这个过程中，认识采取了感性认识和理性认识两种形式，并 经历了由前者到后者的能动飞跃。感性认识是人们在实践的基础上，由感觉器官直接感受到 的关于事物的现象，事物的外部联系，事物的各方面的认识，包括感觉，知觉和表象三种形 式。理性认识是指人们借助抽象思维，在概括整理感性材料的基础上，达到关于事物的本质， 全体，内部联系和自身规律性的认识。理性认识包括概念，判断，推理三种形式。该案例中 谈到，阿基米德很注意从感性认识上升到理性认识，它通过不同质料相同重量的物体在水中 受到的浮力不同，这一感性认识，直觉地观察到事物的本质，然后利用各种方法，如观测和 实验等，探索其规律，使经验上升为理论，由感性认识上升到理性认识，最终得到了客观自 然规律，即“阿基米德原理”。 （陈超）