《机械设计习题》（附题解）第九章 齿轮传动

第九章齿轮传动 讨论题 9-1解 (1)两齿轮的标准中心距a=n1+2=30+54=84mm 当中心距a=86mm时,由a'=aC0sa可得 COSa'- a cosa cos20°=0.9178393 啮合角: 23.38778°=23°23′16″ 两轮的节圆半径 cosa=30 x- COS 20 30.714m cos23.39° cos20° =55.286mm 0s2339 (2)当中心距d=87mm时,同理可得: os20°=0.907289427 a=24.86658253°=24°52′ cosa 30 =3107lmm cos24.87° cOs 20 =54 =55.929mm cosa cos2487° (3)在以上两种中心距的情况下,两者的节圆半径比值是相等的,原因是它们 的传动比不变 2解: 在齿轮强度计算中,齿数1(小齿轮齿数)应大于最小齿数,以免发生根切现 象:一般闭式软齿面x1取得多一些(x1=25~40),闭式硬齿面少一些(1=2025),开 式传动更少(=1=17~20)。 因为d1=m1,当d不变时,1↑,m↓,弯曲强度↓,但重合度ε↑,传动平稳 性↑,同时由于齿高降低,齿顶圆直径减小,滑动速度减小,有利于减小轮齿磨损, 提高抗胶合能力,同时使加工工时减少,加工精度提高,故在满足弯曲强度的条件 下,取较多的齿数和较小的模数为好。闭式软齿面传动按接触强度设计,其弯曲强 度很富裕,故可取较多的齿数:闭式硬齿面及开式传动,应保证足够的弯曲强度, 模数m是主要因素,故1取得少一些,m取得大一些 齿宽系数如=bd,奭↑(假设d不变)则b↑,轮齿承载能力↑,但载荷沿齿

第九章 齿轮传动 讨论题 9-1 解： （1）两齿轮的标准中心距 a=r1+r2=30+54=84mm 当中心距 a=86mm 时，由     = cos cos a a 可得： cos20 0.9178393 86 84 cos cos =  =   =  a a 啮合角： =23.38778°=23°23′16″ 两轮的节圆半径： 30.714 cos23.39 cos20 30 cos cos 1 1 =   =    =   r r mm 55.286 cos23.39 cos20 54 cos cos 2 2 =   =    =   r r mm （2）当中心距 a=87mm 时，同理可得： cos20 0.907289427 87 84 cos cos =  =   =  a a =24.86658253°=24°52′ 31.071 cos24.87 cos20 30 cos cos 1 1 =   =    =   r r mm 55.929 cos24.87 cos20 54 cos cos 2 2 =   =    =   r r mm （3）在以上两种中心距的情况下，两者的节圆半径比值是相等的，原因是它们 的传动比不变。 9-2 解： 在齿轮强度计算中，齿数 z1（小齿轮齿数）应大于最小齿数，以免发生根切现 象；一般闭式软齿面 z1 取得多一些（z1=25~40），闭式硬齿面少一些（z1=20~25），开 式传动更少（z1=17~20）。 因为 d1=mz1，当 d1 不变时，z1↑，m↓，弯曲强度↓，但重合度↑，传动平稳 性↑，同时由于齿高降低，齿顶圆直径减小，滑动速度减小，有利于减小轮齿磨损， 提高抗胶合能力，同时使加工工时减少，加工精度提高，故在满足弯曲强度的条件 下，取较多的齿数和较小的模数为好。闭式软齿面传动按接触强度设计，其弯曲强 度很富裕，故可取较多的齿数；闭式硬齿面及开式传动，应保证足够的弯曲强度， 模数 m 是主要因素，故 z1 取得少一些，m 取得大一些。 齿宽系数 d=b/d1，d↑（假设 d1 不变）则 b↑，轮齿承载能力↑，但载荷沿齿

宽分布的不均匀性↑,故奭应按表9-10推荐的值选取。 螺旋角β=8°~-25°,螺旋角取得过小(β<8°)不能发挥斜齿轮传动平稳、承载能 力高的优越性。但过大的螺旋角(B25°)会产生较大的轴向力,从而对轴及轴承的 设计提出较高的要求 9-3解: (1)一对标准直齿圆柱齿轮传动,当、b、材料、硬度、传动功率及转速都不 变时,增大模数,则可提高齿根弯曲疲劳强度,由于d增大,齿面接触疲劳强度也 相应提高 (2)当m下降,z及z1增大,但传动比不变,d也不变时,因m下降,其齿 根弯曲疲劳强度下降,因d不变,齿面接触疲劳强度不变 9-4解 (1)由讨论题94图可知,低速级小齿轮轮齿的旋向为左旋,为使中间轴上轴 承所受较小的轴向力,中间轴上两齿轮所产生的轴向分力应方向相反,故高速级大 齿轮轮齿的旋向为左旋 (2)由(9-38)式F= FrtanB得 Fa2=Ft2 tanB Fa3=Fi3'tanBur 为使中间轴上的轴向力完全抵消,应使 Fa2=Fa3 Bp Fi tanB=Fi tanB tanB=(F13/Ft2) tan Bul 所以: tanBr=(d2/d3) tanBul 又因为: d,=mhia. 2.5×94 cosB, cosB 5×43 =15268mm cosBy cos 42 p tan942′ cosB1×15268 B1=15.25345012°=15°1512 (3)各轴转向如图所示。 Tm=9550=9550×2=7232Nm 723.2 3374Nm 7合·7轴承=4/=30.98×0.99×95/43

宽分布的不均匀性↑，故 d 应按表 9-10 推荐的值选取。 螺旋角=8°~25°，螺旋角取得过小（<8°）不能发挥斜齿轮传动平稳、承载能 力高的优越性。但过大的螺旋角（>25°）会产生较大的轴向力，从而对轴及轴承的 设计提出较高的要求。 9-3 解： （1）一对标准直齿圆柱齿轮传动，当 z、b、材料、硬度、传动功率及转速都不 变时，增大模数，则可提高齿根弯曲疲劳强度，由于 d1 增大，齿面接触疲劳强度也 相应提高。 （2）当 m 下降，z1 及 z1 增大，但传动比不变，d1 也不变时，因 m 下降，其齿 根弯曲疲劳强度下降，因 d1 不变，齿面接触疲劳强度不变。 9-4 解： （1）由讨论题 9-4 图可知，低速级小齿轮轮齿的旋向为左旋，为使中间轴上轴 承所受较小的轴向力，中间轴上两齿轮所产生的轴向分力应方向相反，故高速级大 齿轮轮齿的旋向为左旋。 （2）由（9-38）式 Fa=Ft∙tan得： Fa2=Ft2∙tan Fa3=Ft3∙tan 为使中间轴上的轴向力完全抵消，应使 Fa2=Fa3 即 Ft2∙tan=Ft3∙tan tan=(Ft3Ft2)∙tan 又因为： Ft3/Ft2=d2/d3 所以： tan=(d2/d3)∙tan 又因为： I I nI 2 2 cos 2.5 94 cos   = = m z d 152.68 cos9 42 3.5 43 cos II nII 3 3 =    = =  m z d mm 所以： cos 152.68 2.5 94 tan9 42 tan I I      =   15.25345012 15 15 12 I  =  =    （3）各轴转向如图所示。 723.2 309 23.4 9550 9550 III III III = =  = n P T N∙m 337.4 0.98 0.99 95 43 723.2 4 3 III II =   =   = z z T T 啮 合  轴 承 N∙m

7吨合·7轴承=2/=1 (4)F1垂直纸面向里,F3垂直纸面向外,F12与Ft的的相反,F4与F3的的相 反,其余各力的方向如图所示 以小 ×似Z 各分力的大小计算如下 d, mn1-1 coSP 243.58lmn =33732mm cos cos9.7° 00072000×1628 114.017 200072000×3374 k3≈20001u200033744=420N 152.68 200072000×723.2 F4 4288N d 33732 Fal= Fu tan B,=2856 x tanI Fa2=F2tanB1=2770×tanl525346°=755N Bn=4420×tan97°=755N Fa4= F tan Bu=428 FrI=F tanancos B,=2856 x tan 20%/cos1525346=1077N

162.8 0.98 0.99 94 44 337.4 2 1 II I =   =   = z z T T 啮 合  轴 承 N∙m （4）Ft1 垂直纸面向里，Ft3 垂直纸面向外，Ft2与 Ft1 的的相反，Ft4 与 Ft3 的的相 反，其余各力的方向如图所示。 P nIII I II III 1 2 3 4 nII nI Fa1 Fr1 Fa3 Fr3 各分力的大小计算如下： 114.017 cos15.2535 2.5 44 cos I nI 1 1 =   = =  m z d mm 243.581 cos15.2535 2.5 94 cos I nI 2 2 =   = =  m z d mm 337.32 cos9.7 3.5 95 cos II nII 4 4 =   = =  m z d mm 2856 114.017 2000 2000 162.8 1 I t1 =  = = d T F N 2770 243.581 2000 2000 337.4 2 II t2 =  = = d T F N 4420 152.68 2000 2000 337.4 3 II t3 =  = = d T F N 4288 337.32 2000 2000 723.2 4 III t4 =  = = d T F N Fa1 = Ft1 tan  I = 2856 tan15.25346 = 779 N Fa2 = Ft2 tan  II = 2770 tan15.25346 = 755 N Fa3 = Ft3 tan  II = 4420  tan9.7 = 755 N Fa4 = Ft4 tan  II = 4288 tan9.7 = 733 N Fr1 = Ft1 tan n cos I = 2856 tan 20 cos15.25346 =1077 N

F2=F2 tan a/cosB1=2770×tan20°cos525346°=1045N Fr3=F3 tanan/cos Bu=4420 x tan 20%/cos7=1632N F4=Ft; tan a/cosn=4288×tan20°cos97°=1583N 解: 该传动方案最不合理的是,因为转速不同,承载情况不同,使得两对齿轮齿面 接触强度和齿根弯曲强度是不等的。低速级齿轮传递的转矩在忽略效率的情况下, 大约为第一级的2.5倍(=z/=1=5020=25),而两对齿轮参数,材质表面硬度等完全 相同,那么如果满足了第二级齿轮的强度,则低速级齿轮强度就不够,反之,如果 低速级齿轮强度够了,则第二级齿轮传动就会过于富裕而尺寸太大,所以齿轮参数 的确定是不合理。齿轮的参数z、m及齿宽b等对箱体内的高速级或低速级应有所不 同,高级速要求传动平稳,其传递的转矩小,故=取多一些,齿宽系数取小一些, 低速级传递转矩大,要求承载能力高,可取少一些的21,使m大一些,齿宽系数痴 也大一些 其次,齿轮相对轴承的布置也不合理。弯曲对轴产生的变形与扭矩对轴产生的 变形产生叠加增加了载荷沿齿轮宽度的分布不均匀性,为缓和载荷在齿宽上的分布 不均匀性,应使齿轮离远扭矩输入(输出)端 思考题与习题 9-1解: 由表9-3可得标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算方式 故分度圆半径: =m=4x18 =36mm 4×4 82 标准中心距: a=n+2=36+82=118mm 基圆半径: bi=r cosa=36cos 200=33.829 mm rb2=n cosa=82cos20=77.055 mm 齿根圆半径: m=36-=×4=3lm

Fr2 = Ft2 tan n cos I = 2770 tan 20 cos15.25346 =1045 N Fr3 = Ft3 tan n cos II = 4420  tan 20 cos9.7 =1632 N Fr4 = Ft3 tan n cos II = 4288 tan 20 cos9.7 =1583 N 9-5 解： 该传动方案最不合理的是，因为转速不同，承载情况不同，使得两对齿轮齿面 接触强度和齿根弯曲强度是不等的。低速级齿轮传递的转矩在忽略效率的情况下， 大约为第一级的 2.5 倍（i=z2/z1=50/20=2.5），而两对齿轮参数，材质表面硬度等完全 相同，那么如果满足了第二级齿轮的强度，则低速级齿轮强度就不够，反之，如果 低速级齿轮强度够了，则第二级齿轮传动就会过于富裕而尺寸太大，所以齿轮参数 的确定是不合理。齿轮的参数 z、m 及齿宽 b 等对箱体内的高速级或低速级应有所不 同，高级速要求传动平稳，其传递的转矩小，故 z1 取多一些，齿宽系数d 取小一些， 低速级传递转矩大，要求承载能力高，可取少一些的 z1，使 m 大一些，齿宽系数d 也大一些。 其次，齿轮相对轴承的布置也不合理。弯曲对轴产生的变形与扭矩对轴产生的 变形产生叠加增加了载荷沿齿轮宽度的分布不均匀性，为缓和载荷在齿宽上的分布 不均匀性，应使齿轮离远扭矩输入（输出）端。 思考题与习题 9-1 解： 由表 9-3 可得标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算方式： 故分度圆半径： 36 2 4 18 2 1 1 =  = = mz r mm 82 2 4 41 2 2 2 =  = = mz r mm 标准中心距： 36 82 118 a = r1 + r2 = + = mm 基圆半径： rb1 = r1 cos = 36cos20 = 33.829 mm rb2 = r2 cos = 82cos20 = 77.055 mm 齿根圆半径： 4 31 2 2.5 36 2 2.5 rf1 = r1 − m = −  = mm

2.5 2.5 4=77mm 齿顶圆半径: ra1=n1+=m=36+4=40mm 重合度: [=(tandal-tana)+=2(tanda2-tana)] 式中 33.829 =0.8458,an1=32.25 代入公象,186=08959,a2=20538° COSO.2= Ea=[!8(tan32.25°-tan209)+4l(tan26.36°-tan200)}=1.62 (1)法向齿距与端面齿距: Pn=m,=T4=12.56 mm pt Pn=1256=1337m cosB cos20° (2)当量齿数:=1=05bcos20253 osB (3)中心距 4 1+二2)= (21+51l)=153.242mm 2cos 20 (4)重合度: bsin B Er=Ea+EB=Ea+ Pn tana+=(tanaat2-tanaDl 式中 tan a tan 20 tana =0.3873,a!=a1=tan0.3873=21.1728° cosB cos2

4 77 2 2.5 82 2 2.5 rf 2 = r2 − m = −  = mm 齿顶圆半径： 36 4 40 2 2 ra1 = r1 + m = + = mm 82 4 86 2 2 ra2 = r2 + m = + = mm 重合度： [ (tan tan ) (tan tan )] 2 1 α 1  a1  2  a2    = z − + z − 式中： 0.8458 40 33.829 cos a1 b1 a1 = = = r r  ， = 32.25 a1 0.89599 86 77.055 cos a2 b2 a2 = = = r r  ， = 26.36  a2 代入公式得： [18(tan32.25 tan 20 ) 41(tan26.36 tan 20 )] 1.62 2 1 α =  −  +  −  =   9-2 解： （1）法向齿距与端面齿距： pn = mn =   4 =12.56 mm 13.37 cos20 12.56 cos n t =  = =  p p mm （2）当量齿数： 25.3 cos 20 21 cos3 3 1 v1 =  = =  z z 61.5 cos 20 51 cos3 3 2 v2 =  = =  z z （3）中心距： (21 51) 153.242 2cos20 4 ( ) 2cos 1 2 n  + =  = z + z = m a  mm （4）重合度： n γ α β α sin p b   =  +  =  + [ (tan tan ) (tan tan )] 2 1 α 1 at1  t 2  at2  t   = z −  + z −  式中： 0.3873 cos20 tan 20 cos tan tan n t =   = =    ，  = = =  − tan 0.3873 21.1728 1 t  t