第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 Ackermann算法:状态反馈阵为 P(A)=A"+a,A"+.+aA+a, I K 0 A·b 控制系统工具箱中 acker(函数的调用格式为: K-acker(A, b,p) acker()函数可以求解多重极点配置的问题,但不能求解多输入系统的问题。 5.2.2多输入系统的极点配置 疋田算法:设川"∈C"(=12…,m),表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量。 >假定与4阵的特征值相异,且≠H(≠j),j=1,2,…,n x=A·x+B K 有(1n-A+BK)v=C即(1n-A)v1=-B.Kv 则 v=(A-2ln)·B·K·v
Ackermann算法：状态反馈阵为 0 0 1 ( ) 1 1 K b A b A b A n n n n n n A A A A I 1 1 1 ( ) 控制系统工具箱中acker( )函数的调用格式为： K=acker(A,b,p) acker( )函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入系统的问题。 5.2.2多输入系统的极点配置 疋田算法：设 ，表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量。 1 , ( 1, 2, , ) n i i v C i n Ø假定 与A阵的特征值相异，且 有 即 则 i ( ) , 1, 2, , i j i j i j n x A x B u u K x ( ) 0 i n i I A B K v i n i i ( I A) v B K v i i n i v A I B K v 1 ( )
第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 令H=(4-11),B5=K,于是v=V,驸于给定,5可以求出v 2 5m=Kv 般说来 vn]可逆,否则重新选择[152…5n K 12 1s2 5n]-[151V252…Vnn 疋田算法的具体步骤:首先,适当选择∈R从而计算特征向量 (A-n)·B.∈C 再确定状态反馈阵 K 2 5(=12…,n)的选择有较大的任意性。说明了多输入系统极点配置问题中 确定状态反馈阵K的非唯一性
令 Vi (A iI n ) 1 ， B i K ，vi于是 vi V，i 对i 于给定 ，可i 以求出 i v n n K v v v 1 2 1 2 一般说来 v 1 v 2 v n 可逆，否则重新选择 1 2 n 。 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 n n n n n V V V K v v v 疋田算法的具体步骤：首先，适当选择 ，从而计算特征向量 再确定状态反馈阵 1 r i R 1 1 ( ) , 1, 2, , n i i n i v A I B C i n 1 1 2 1 2 n n K v v v i(i 1,2,, n) 的选择有较大的任意性。 说明了多输入系统极点配置问题中 确定状态反馈阵K的非唯一性
第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 putian()函数的调用格式: K=putian(A,B,p) En]的选取方法是:选取5中每前r列构成阶单位阵,直至到第n列 若假定共与A的特征值有相同的,或中有重根时,i=1,2,…,n 则可以对特征值相同的一个或几个加上一定的微小偏量,使之满足上面第一种 情形的条件。然后,再重新进行极点配置。如果效果不够理想,那么还可重新选择 5=[152…5n]阵来进行配置。 控制系统工具箱中 place(函数是基于鲁棒极点配置的算法,用来求取状态反馈 阵K,使得多输入系统具有指定的闭环极点P,即p=eig(A-B*K)。 plac(函数调用格式为: REplace(A, B,p /K,prec, message/=place(A, B, p) prec为闭环系统的实际极点与期望极点P的接近程度,prec中的每个量的值为匹配的 位数。如果闭环系统的实际极点偏离期望极点10%以上,那么 message将给出警告信息。 函数 place(不适用于含有多重期望极点的配置问题 例 5-1:
pitian( ) 函数的调用格式： K=pitian(A,B,p) 1 2 n 的选取方法是：选取 中每前r列构成r阶单位阵，直至到第n列 Ø 若假定 与A的特征值有相同的，或 中有重根时， 则可以对特征值相同的一个或几个加上一定的微小偏量，使之满足上面第一种 情形的条件。然后，再重新进行极点配置。如果效果不够理想，那么还可重新选择 i i i 1,2,, n 1 2 n 阵来进行配置。 place( )函数调用格式为： K=place(A,B,p) [K,prec,message]=place(A,B,p) p eig(A B * K) 控制系统工具箱中place( )函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈 阵K，使得多输入系统具有指定的闭环极点P，即 。 prec为闭环系统的实际极点与期望极点P的接近程度，prec中的每个量的值为匹配的 位数。如果闭环系统的实际极点偏离期望极点10%以上，那么message将给出警告信息。 函数place( )不适用于含有多重期望极点的配置问题。 例5-1：
第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 5.2.3用极点配置设计调节系统 y 例5-2:已知一个倒立摆系统的数学模型为 (m+M)·g/(M·/)000 1/(M 00 0 000 1/M Mg(o 0010|x x 其中,状态变量为x1=0,x2=6,x1=x,x4=x,输出变量为y=O,y2=x,摆的质 量m=01kg,小车的质量M=2kg,摆的长度l=0.5m 设计要求:对于任意给定的角度O和(或B)角速度的初始条件,设计一个使倒立 摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时,小车返回到参考位 置x=0。而指标要求为:闭环主导极点的阻尼=05,调整时间秒t;≈2s
5.2.3 用极点配置设计调节系统 例5-2：已知一个倒立摆系统的数学模型为： u M M l x x x x m g M m M g M l x x x x 1/ 0 1/( ) 0 / 0 0 0 0 0 0 1 ( ) /( ) 0 0 0 0 1 0 0 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 0 0 1 0 1 0 0 0 x x x x y y 其中，状态变量为 ，输出变量为 ，摆的质 量 ，小车的质量 ，摆的长度 。 x x x x x x 1 , 2 , 3 , 4 y y x 1 2 , m 0.1kg M 2kg l 0.5m 0.5 2 st s 设计要求：对于任意给定的角度 和（或 ）角速度的初始条件，设计一个使倒立 摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时，小车返回到参考位 置x=0。而指标要求为：闭环主导极点的阻尼 ，调整时间秒
第五章基于状态空闻模型的控制柰统设计 解:1、将给定M,m,l的的值代入上式,得到: 0 x=A·x+B·l 20.601000 1000 001 0 0010 0.4905000 0.5 2、状态反馈阵K的求取 √检验该系统是否状态完全能控。 系统是完全能控的 ˇ根据性能指标选择所期望的闭环极点位置。 =-2+23,2=-2-2V3,42=-10,4=-10 3、求闭环系统对初始条件的响应: 假设初始条件为x0)=p100可,而闭环系统的状态空间描述为x=(A-bK)x 摆将返回到参考位置,其结果是令人满意的
解：1、将给定 M , m , l 的的值代入上式，得到： x A x B u y C x 0 1 0 0 0 20.601 0 0 0 1 1 0 0 0 , , 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0.4905 0 0 0 0.5 A b C 2、状态反馈阵K的求取： ü检验该系统是否状态完全能控。 系统是完全能控的 ü根据性能指标选择所期望的闭环极点位置。 1 2 3 4 2 j2 3, 2 j2 3, 10, 10 3、求闭环系统对初始条件的响应： 假设初始条件为 ，而闭环系统的状态空间描述为 ， x(0) 0.1 0 0 0 x (Ab K) x 摆将返回到参考位置，其结果是令人满意的