第8章渐进法及其他算法简述教学目标第8章渐进法及其他算法简述■掌握杆件固端弯矩、转动刚度、分配系数和传递系数的物理意义；MethodofSuccessiveApproximations■熟练掌握用力矩分配法计算荷载作用下的连续梁和无侧移刚架；■掌握无剪力分配法与力矩分配法在计算上的异同。■了解近似法■能够计算超静定力的影响线第7章位移法力矩分配法教学内容渐进法无剪力分配法8-1力矩分配法的基本概念选代法8-2/3多结点的力矩分配、对称性逐次逼近一收敛一精确解8-4无剪力分配法8-5力矩分配法与位移法的联合应用特点：8-6近似法①不组成求解方程8-7超静定结构各类解法的比较和合理选用②生动形象，重复步骤，易于手算8-8计算超静定力的影响线1.课程导入8-1力矩分配法的基本概念在结构设计中，结构受力分析具有至关重要的作用。教学要求：■理解转动刚度、分配系数和传递系数的物理意义；■掌握单节点的力矩分配解题的基本过程
1 Method of Successive Approximations 第8章 渐进法及其他算法简述 Method of Successive Approximations 第 8 章 渐进法及其他算法简述 教学目标 掌握杆件固端弯矩、转动刚度、分配系数和传递 系数的物理意义； 熟练掌握用力矩分配法计算荷载作用下的连续梁 和无侧移刚架； 掌握无剪力分配法与力矩分配法在计算上的异同。 了解近似法 能够计算超静定力的影响线 第 7 章 位移法 8-1 力矩分配法的基本概念 8-2/3 多结点的力矩分配、对称性 8 4 无剪力分配法 教学内容 -4 无剪力分配法 8-5 力矩分配法与位移法的联合应用 8-6 近似法 8-7 超静定结构各类解法的比较和合理选用 8-8 计算超静定力的影响线 逐次逼近 →收敛 →精确解 渐进法 力矩分配法 无剪力分配法 迭代法 逐次逼近 收敛 →精确解 特点： ① 不组成求解方程 ② 生动形象，重复步骤，易于手算 教学要求： 8-1 力矩分配法的基本概念 理解转动刚度、分配系数和传递系数的物 理意义； 掌握单节点的力矩分配解题的基本过程。 在结构设计中，结构受力分析具有至关重要的作用。 1. 课程导入
1.课程导入1.课程导入连续梁桥力矩分配法是以位移法为基础，以逐次渐近的方式求无侧移刚架和连续梁杆端弯矩的一种渐进方法。它是1930年由美国的HardyCross教授提出。Cross, Hardy (1930) "Analysis of ContinuousFrames by Distributing Fixed-End Moments".1Proceedings of the American Society of CivilEngineers(ASCE):Pp.919-928.TYY-Y(http://structuremechanics/index1.htm)多跨连续梁2.结点力矩下单结点力矩分配2.2力矩分配法涉及的三个概念例1：若梁线刚度1相同，求梁各杆端弯矩。2.1力矩分配法概念的提出CM例1：若梁线刚度1相同，求梁各杆端弯矩。AcBYCMM（1）转动刚度S(rotationalstfess）BYBlor---C?AMBAMBC是指使杆端发生单位转角时需要施加的力矩。SeHg=-（2）分配系数μ（distributionfactor）回顾位移法2S是指杆件转动刚度与结点连接所有杆件转动刚度和的比值。（3）传递系数C（carry-overfactor）是指当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。2.2力矩分配法涉及的三个概念2.3结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤例2：若梁线刚度1相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩。S值远端支撑情况C值CM=7kNmCABY1.固定4i1/21.结点力矩A4/73/72.分配系数SgA= 4i2.简支40AC&- Snc=3iBY3.分配力矩1/2020434.传递力矩3.滑动WY3M图(kNm)2
2 它是1930年由美国的Hardy Cross教授提出。 力矩分配法是以位移法为基础，以逐次渐近 的方式求无侧移刚架和连续梁杆端弯矩的一种渐 进方法。 1. 课程导入 Cross, Hardy (1930). "Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments". Proceedings of the American Society of Civil Engineers (ASCE): pp. 919–928 它是 年由美国的 y 教授提出。 （http://structuremechanics/index1.htm） 连续梁桥 1. 课程导入 多跨连续梁 q 例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。 A B C M B θB M 2.1 力矩分配法概念的提出 2. 结点力矩下单结点力矩分配 回顾位移法 B B MBA MBC 例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。 （1）转动刚度S （rotational stiffness） A B C M 2.2 力矩分配法涉及的三个概念 是指使杆端发生单位转角时需要施加的力矩。 （2）分配系数μ （ distribution factor ） Bj Bj B S S μ = ∑ （3）传递系数C （ carry-over factor ） 是指当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。 是指杆件转动刚度与结点连接所有杆件转动刚度和的比值。 远端支撑情况 S 值 C 值 1. 固定 4i 1/2 2.2 力矩分配法涉及的三个概念 1 S i S 2. 简支 3i 0 3. 滑动 i -1 1 S 1 7 M=7kN·m A B C 例2：若梁线刚度 i 相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩。 2.3 结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤 1. 结点力矩 4/7 3/7 2 4 3 0 1/2 0 A B C 2. 分配系数 3. 分配力矩 4. 传递力矩 SBA = 4i SBC = 3i 4 M图（kN·m） A B C 3 2
3.非结点力矩下单结点力矩分配2.3结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤计算F,作用下的杆端弯矩。例2：若梁线刚度1相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩。CM=7kN-m4Be.-..8M.MBC""Marc.FAB-口F,1.结点力矩■1.确定结点力矩；（1）在结点B加一个阻止转动的约束，阻止B点的转动。2.分配系数■2.根据转动刚度求分配系数；M,阻止转动的约束3.分配力矩■3.根据分配系数求分配力矩（近端弯矩）：8McM古M&MicO4.传递力矩■4.根据传递系数求传递力矩（远端弯矩）。MLMA图ce(b)M,-M+M-M■约束力矩等于固端弯矩之和。示例例：试用力矩分配法作弯矩图。（2）在结点咖上一个力偶-Mg[200 kN200kNx6m20kN/m放松约束MI&L4FEI6YC--*-MBM-=-150kNmM--M..（3）两种情况叠加，得到实际杆端弯矩。解（1）先在结点B加上约束=150kNm计算固端弯矩和约束力矩。总结■先在刚结点B上加阻止转动的约束，把连续梁0kN20kN/mx(6m)Mic-分为单跨梁，求出杆端弯矩。结点B各杆固端弯矩之8X9-15015000~90和即为约束力矩Mg=-90kNm■去掉约束，求出各杆B端新产生的分配力矩和B）Mg=150kNm-90kNm远端新产生的传递弯矩。0kN-m150kN-=60kNm■叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。20kN/m（3）叠加得到最后的杆端弯矩9150-901500.5710.429分配系数分配弯矩oc（2）放松结点B1502-90固端弯矩-150M4 = 0.571×(60kNm)在B结点上加一个外力偶分配力矩017.2434.3-25.7 =34.3kNm及传递力矩-60kNm。进行分配和传递。115.Z0Mc =0.429×(60kNm)杆端弯矩167.2115.7转动刚度=-25.7kNmSu=4iSnc=3i167.215.7传递弯矩分配系数14iMA=xMsHBA=Y4i+3i32.117.2kNm3iBeMCR=04i+3iM图（单位kN-m）158.53
3 M=7kN·m A B C 2.3 结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤 1. 结点力矩 1. 确定结点力矩； 例2：若梁线刚度 i 相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩。 2. 分配系数 3. 分配力矩 4. 传递力矩 4. 根据传递系数求传递力矩（远端弯矩）。 2. 根据转动刚度求分配系数； 3. 根据分配系数求分配力矩（近端弯矩）； 3. 非结点力矩下单结点力矩分配 计算FP作用下的杆端弯矩。 （1）在结点B加 个阻止转动的约束 加一个阻止转动的约束，阻止B点的转动。 FF F MM M M B =+= BA BC BA ■ 约束力矩等于固端弯矩之和。 （2）在结点B加上一个力偶-MB。 （3）两种情况叠加，得到实际杆端弯矩。 总结 ■ 先在刚结点B上加阻止转动的约束，把连续梁 分为单跨梁，求出杆端弯矩。结点B各杆固端弯矩之 和即为约束力矩MB。 ■ 去掉约束，求出各杆B端新产生的分配力矩和 远端新产生的传递弯矩。 ■ 叠加各杆端的力矩就得到实际的杆端弯矩。 例：试用力矩分配法作弯矩图。 解 （1）先在结点B加上约束， 计算固端弯矩和约束力矩 F 200kN 6m 8 150kNm M AB × = − = − F F 150kNm M M BA AB = − = 示例 计算固端弯矩和约束力矩。 150kNm ( )2 F 20 kN/m 6 m 8 90kNm M BC × = − = − 150kNm 90kNm 60kNm M B = − = （2）放松结点B 在B结点上加一个外力偶 -60kNm。进行分配和传递。 转动刚度 分配弯矩 ( ) ( ) ' ' 0.571 60 kNm 34.3 kNm 0.429 60kNm BA BC M M = ×− = − = ×− 4 3 S BA BC = = iS i 转动刚度 = −25.7 kNm 分配系数 4 4 3 3 4 3 BA Bc i i i i i i μ μ = + = + 传递弯矩 ' ' ' 1 2 17.2 kNm 0 AB BA CB M M M = × = − = （3）叠加得到最后的杆端弯矩
8-2/3多结点的力矩分配/对称性小结教学要求：>力矩分配法的基本原理（单结点）三个环节：■理解多结点力矩分配的基本思路：（1）结点力矩；■掌握多节点的力矩分配解题的基本过程。（2）根据分配系数求分配力矩；（3）根据传递系数求传递力矩1.结点力矩下多结点力矩分配的基本思路1.结点力矩下多结点力矩分配的基本思路思考：例1：若梁线刚度1相同，求梁各杆端弯矩。例3：若梁线刚度1相同，求梁各杆端弯矩，M在那步考虑CMCMCMI如何考虑？a)a) AcCDB_CB_限制转动限制转动寿CMCM的约束的约束bA价6)DB_cDB_c.放松约束CMDB_c.-PAB_&b限制转动放松约束等P的约束单结点问题r价d)IADB_-C&放松约束e)CB__Dl示例例1：作连续梁的弯矩图。2.非结点力矩下多结点力矩分配的基本思路20 kN/mJ100kNSc=4ice-1.■每放松一次结点相当进行一FScp=3icp=0.5EF-2CEI-TDA EI-IYB次单结点的分配与传递运算。广6m4m.4m.6m-人Ac=0.667（1）在结点B、C加约束，阻解（1）分配系数Acp= 0.333止结点的转动。0.667SB=4ig=4x（2）固端弯矩（2）去掉结点B的约束qtXMA=-60kNm（结点C仍夹紧）。12M=60kNm0.667（3）重新夹紧结点B，然=0.4B41+ 0.667FplMB-100kNm后去掉结点C的约束，80.6Hse口1+0.667（4）重复（2）和（3），很快达到实际状态。Mce=100kNm4
4 小结 ¾ 力矩分配法的基本原理（单结点） 三个环节： （1）结点力矩； （2）根据分 系数求分 力矩 根据分配系数求分配力矩； （3）根据传递系数求传递力矩。 教学要求： 8-2/3 多结点的力矩分配/对称性 理解多结点力矩分配的基本思路； 掌握多节点的力矩分配解题的基本过程。 例1：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。 限制转动 的约束 A B C D M b) a) B C D M A 1. 结点力矩下多结点力矩分配的基本思路 b') A B C M C D 单结点问题 1. 结点力矩下多结点力矩分配的基本思路 例3：若梁线刚度 i 相同，求梁各杆端弯矩。 限制转动 的约束 A B C D M b) a) B C D M A 等 价 M 思考： M在那步考虑， 如何考虑？ A B C D c) 放松约束 A B C D e) 放松约束 A B C D d) 限制转动 放松约束 等 的约束 价 （1）在结点B、C加约束，阻 止结点的转动。 ■ 每放松一次结点相当进行一 次单结点的分配与传递运算。 2. 非结点力矩下多结点力矩分配的基本思路 （2）去掉结点B的约束 （结点C仍夹紧）。 （3）重新夹紧结点B ，然 后去掉结点C的约束。 （4）重复（2）和（3），很快达到实际状态。 例1：作连续梁的弯矩图。 解 1 S i 4 4 0 66 4 1 3 0.5 CB CB CD CD S i S i = = = = 0.667 0.333 CB CD μ μ = （1）分配系数 = 示例 1 44 0.667 6 2 44 1 8 BA BA BC BC S i S i = =× = = =× = 0.667 0.4 1 0.667 1 0.6 1 0.667 BA Bc μ μ = = + = = + 2 F F F P F 60kNm 12 60kNm 100 kNm 8 100kNm AB BA BC CB ql M M F l M M =− =− = =− =− = （2）固端弯矩
例2：作图示刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。20 kN/m1100 kNCEDc=0.445AE-E/w2ScB=420kN/n6m/4ml4m/6mμcp = 0.333ScF=24107（3）放松结点CD.400D.6000.6670.333μcr=0.222分配系数Scp=3D3a31国端考起6060-5-100100-33.4--66.7-33.3（4）锁住结点C（2）固端弯矩放松结点Bg7.3-27.3-~14.74mMEA=40kNm2.2+8（5）进行第二个循环0.7+1.50.7解（1）转动刚度和分配系数qtMEC=41.3|41.3（6）进行第三个循环-41.7kNm杆编弯短-43.692.6-92.6El=112Mc=41.7kNm（7）将固端弯矩、分配μg,= 0.3SsA=343.6.41.3弯矩、传递弯矩相加。p&DSsE=3μBc = 0.4（3）力矩分配WC23.521.988（8）根据杆端弯矩画M图μB=0.3Snc =4按C、B顺序分配两轮。M图（单位KN:m）CBCFCDBABEBC0.4450.2220.3330.30.30.4D8（4）内力图8A40n29.由杆端弯矩作弯矩图：3.33.303n1.00.50.5由杆件的平衡条件作剪力图；0.150.15 ~0.25424.29.814.6由结点的平衡条件作轴力图。3.5546.43.43FCF。图（单位kN）43.4.24(单位kN·m)-40BLAaBWC9.88.2.3.A26.81.7■放松结点的顺序不影响最后的结果。4.915105F图（单位KN)49.2■先放松结点约束力矩大的结点，收敛速度快。M图（单位kN-m）3.对称性应用例3：作图示结构的M图。解（1）锁住B、C两点1SOkNEI=常数T.M=-50kNm&■作用在对称结构上的任意荷载，都可分解为对称a5mWimt（2）放松C结点荷载和反对称荷载。ADSca-4E1/5Mca =1·对称荷载作用下，弯矩图和轴力图是对称，剪力C-50Acp=0Scp =0图是反对称的。502分配、传递。50 5020.8 20.8■反对称荷载作用下，弯矩图和轴力图是反对称，（3）C结点不再锁住。(单位KN-m)放松结点Bt剪力图是对称的。Su-3EI/148. = 5/6■利用这些性质，在对称结构中可取半边结构进行SBc=3E1/5μsc = 1/6计算。只分配、不传递。（4）画弯矩图20.8M图（单位kN-m)5
5 （3）放松结点C （4）锁住结点C， 放松结点B （5）进行第二个循环 （6）进行第三个循环 （7）将固端弯矩、分配 弯矩、传递弯矩相加。 （8）根据杆端弯矩画M图 例2：作图示刚架的弯矩图、剪力图和轴力图。 4 2 3 CB CF CD S S S = = = 0.445 0.333 0.222 CB CD CF μ μ μ = = = （2）固端弯矩2 40kN F ql M 解（1）转动刚度和分配系数 3 3 4 BA BE BC S S S = = = 0.3 0.4 0.3 BA BC BE μ μ μ = = = 2 40kNm 8 41.7 kNm 12 41.7 kNm F BA F BC F CB q M ql M M = = =− =− = EI0=1 （3）力矩分配 按C、B顺序分配两轮。 ■ 放松结点的顺序不影响最后的结果。 ■ 先放松结点约束力矩大的结点，收敛速度快。 （4）内力图 由杆端弯矩作弯矩图； 由杆件的平衡条件作剪力图； 由结点的平衡条件作轴力图。 例3：作图示结构的M图。 解 （1）锁住B、C两点 4 /5 0 CB CD S EI S = = 1 0 CB CD μ μ = = F MCD = −50kNm （2）放松C结点 （3）C结点不再锁住。 放松结点B 3 /1 3 /5 BA BC S EI S EI = = 5 6 1 6 BA BC μ μ = = 只分配、不传递。 （4）画弯矩图 分配、传递。 ■ 作用在对称结构上的任意荷载，都可分解为对称 荷载和反对称荷载。 ■ 对称荷载作用下，弯矩图和轴力图是对称，剪力 图是反对称的 3. 对称性应用 。 ■ 反对称荷载作用下，弯矩图和轴力图是反对称， 剪力图是对称的。 ■ 利用这些性质，在对称结构中可取半边结构进行 计算