第7章位移法教学目标第7章位移法■了解位移法基本体系与典型方程的物理概念；■掌握位移法基本未知量的判断；DisplacementMethod熟悉等截面杆件的转角位移方程；■熟练掌握用位移法计算各种作用下的结构内力。第7章位移法14kN6教学内容7-1 位移法的基本概念2m2m7-2等截面杆件的刚度方程力法求解：三个多余未知力解三元一次方程7-3无侧移刚架的计算7-4有侧移刚架的计算未知位移角度：一个未知位移解一元一次方程7-5位移法的基本体系007-6对称结构的计算（思考）7-7支座移动和温度改变时的计算27-1位移法的基本概念1. 引例EAEA教学要求：2图示变截面梁。求AB、BC段的内力。■理解位移法的基本原理■建立刚度方程的基本概念整体分析位移■掌握位移法解题的基本过程离散几B主要内容：位4日Nar杆端力与位杆件分析移■引例BCN移的关系法集合 Λ 个■位移法基本原理列平衡方■位移法解题步骤整体分析NBANBC程求位移BFCA
1 Displacement Method 第 7 章 位移法 Displacement Method 第 7 章 位移法 了解位移法基本体系与典型方程的物理概念； 掌握位移法基本未知量的判断； 教学目标 熟悉等截面杆件的转角位移方程； 熟练掌握用位移法计算各种作用下的结构内力。 第 7 章 位移法 7-1 位移法的基本概念 7-2 等截面杆件的刚度方程 7 3 无侧移刚架的计算 教学内容 - 无侧移刚架的计算 7-4 有侧移刚架的计算 7-5 位移法的基本体系 7-6 对称结构的计算 7-7 支座移动和温度改变时的计算 14kN A B C 2m 4m 力法求解： 三个多余未知力 解三元 次方程 θ 2m 力法求解： 三个多余未知力 解三元一次方程 未知位移角度： 一个未知位移 解一元一次方程 思考 教学要求： 7-1 位移法的基本概念 理解位移法的基本原理 建立刚度方程的基本概念 掌握位移法解题的基本过程 主要内容： 引例 位移法基本原理 位移法解题步骤 掌握位移法解题的基本过程 a a EA1 EA2 AB C F 图示变截面梁。 ¾ 整体分析 位移 Δ NBA Δ 求AB、BC段的内力。 1. 引例 ¾ 杆件分析 杆端力与位 移的关系 A B NBA C NBC B ¾ 整体分析 列平衡方 程求位移 A B C F NBA NBC 位 移 法 离散 集合
3.位移法解题步骤2.位移法基本原理M图示两跨梁，求杆114kNBAAX端弯矩。EI为常数，忽1A略杆件的轴向变形。47O2m>整体分析2m0g.4m基本未知量MAs离散几A（1）结构的独立结点位移》杆件分析移ne法CoO假定顺时针1↑M Ma Mnc>整体分析7i0g-Mg=0BBB基本方程14kN7114kNB0g82m4m2m2m4m（2）结构拆成杆件，做杆件分析i0, =1杆端弯矩一荷载和变形（4）回代，求杆端弯矩Mg=7+4i0,MAB=-7+2i0M gc = 3i0^Mca =0Ma =7+4i0,=3MB=-7+2i0, =-9（3）平衡方程，求解Mrc = 3i0, = 3Mcn=0M,-0=Mu+M-0→7+710,=0=10,=-17-2等截面杆件的刚度方程4.小结（1）等截面梁的形常数杆端位移引起的杆端内力称为形常数》位移法的基本原理i=-EII-一线刚度“化整为零、集零为整”单跨超静定梁简图MABMBA（1）结构的独立结点位移2i4iHB（2）结构拆成杆件，做杆件分析一荷载、变形（3）平衡方程，求解3i0（4）回代，求杆端弯矩--i52
2 图示两跨梁，求杆 端弯矩。EI为常数，忽 略杆件的轴向变形。 ¾ 整体分析 a a AB C MB θB θB θB 2. 位移法基本原理 ¾ 杆件分析 ¾ 整体分析 位 移 法 A B MBA MAB B C θB MBC A B C MBA MBC MB B B 离散 7 0 B B i M θ − = 基本未知量 基本方程 14kN A B C 2m 2m 4m 3. 位移法解题步骤 （1）结构的独立结点位移 θB 假定顺时针 14kN A B C 2m 2m 4m θB （2）结构拆成杆件，做杆件分析 杆端弯矩—荷载和变形 7 4 MBA A = + iθ 7 2 M AB A =− + iθ 3 MBC A = iθ 0 MCB = （3）平衡方程，求解 0 0 ∑ M MM B BA BC =⇒ + = 77 0 1 A A ⇒ + = ⇒ =− i i θ θ 14kN A B C 2m 2m 4m θB 1 A iθ = − （4）回代，求杆端弯矩 74 3 M i BA A = + = θ 72 9 M i AB A =− + =− θ 3 3 M i BC A = θ = − 0 MCB = ¾ 位移法的基本原理 “化整为零、集零为整” 4. 小 结 （1）结构的独立结点位移 （2）结构拆成杆件，做杆件分析—荷载、变形 （3）平衡方程，求解 （4）回代，求杆端弯矩 杆端位移引起的杆端内力称为形常数. （1）等截面梁的形常数 i=EI/l —— 线刚度 7-2 等截面杆件的刚度方程 单跨超静定梁简图 MAB MBA 4i 2i θ=1 A B A θ=1 B 3i 0 A θ=1 B i -i
（2）等载面梁的载常数荷载引起的杆端内力称为载常数。单跨超静定梁简图MABMBAY表7-1等数面杆件的固端宠矩和剪力4=1-6ill-6illHB编+百阁国嘴奢距（以娱时针转向为正）调瑞剪力mMu=-f2Fuu号4=1-3ill0PBMu-Fau=-号Mfo--Fou-岗4=100Ma---3EMa--FonfaFAs=qlMa--1FOR=DMa--%For-fo到FalFan-IF,Fow=FpMa=-3F.lBb-Fua=Fp16Ma=Mu=-F!Frau--ir,Fan=027-3无侧移刚架的计算》连续梁P=20kNq=2kN/m无侧移刚架LCEPRLOEI刚架各节点（不含支座）只有角位移而没有线位移。k 3m ↓ 3m ±6m连续梁属于这类问题。（1）基本末知量6g_Pl_20×6=15kN-m（2）固端弯矩meXXma=-15kN.mql2=-9kN.mmgc3
3 单跨超静定梁简图 MAB MBA A B Δ=1 -6i/l -6i/l -3i/l 0 0 0 A B Δ=1 A B Δ=1 荷载引起的杆端内力称为载常数。 （2）等截面梁的载常数 无侧移刚架 刚架各节点（不含支座）只有角位移而没有线位移。 7-3 无侧移刚架的计算 连续梁属于这类问题。 A B C 3m 3m 6m EI EI P=20kN q=2kN/m θB ¾ 连续梁 （1）基本未知量θB （2）固端弯矩 kN m Pl mBA = ⋅ × = = 15 8 20 6 8 mAB = −15kN ⋅m kN m ql mBC = − = −9 ⋅ 8 2
M=2i0.-15（3）列杆端转角位移方程Ma=4i0g+15MBc=3i0,-96MaPoMec(5)各杆端弯矩及弯矩图0, =-M716）OBEIMaAM.R=2115=16.72kV·m11（Pl=×20×6=30设i=E4M=2i0g-154Mac=3i0g-9Met=4(-6)6+15=11.57kN.m7iIq=↓×2x6=9MBu=4i0g+156Mec=3i-9=-11.57kN-m8Ti（4)位移法基本方程（平衡条件）6.72ZM,=0Ma, +Mac =01.5MaS4i0g+15+30g-9=0之LM图(KN-m):0,--07iM=3i0g+40》刚架（1）基本未知量gec（2）杆端弯矩Mc=4i0g+2i0c-41.7MBe=3i0g20kN/m20kN/mi=El,/lDDMc=4i0c+2i0g+41.7更型AC 410 -Ma=3i0g +40C 4l =--6- 4l0B 5l0-- 41B510Mc = 3i0c310导3%导Moc=4i0g+2i0-41.7Mcr =2i0c31.31。Mcs = 4i0.+2i0,+41.7（4）求未知量EE0g =1.15Mecn =3i0cF（3）位移法方程0g=4.89MBe=3i0gMen=1.5i0g1ZM=0=M+MBc+ME=0（5）求杆端弯矩Mcr=2i0cMrc=i0cZMc=0= McB+Mcp+Mcr=0（6）绘弯矩图57-4有侧移刚架的计算1.位移法的基本未知量结点的位移（线位移、铰位移）有侧移刚架（1）角位移的数目（未知量）=刚结点数刚架除有结点转角外，还有结点线位移。（2）线位移未知量数目基本思路不考虑轴向变形与无侧移刚架基本相同，但增加：弯曲变形小，受弯矩长度不变。>未知量有结点位移；一般方法：取铰接体系：>杆件计算需考虑结点位移；结点线位移数=自由度数>基本方程增加与结点位移对应的平衡方程。=使铰结体系为几何不变体系所必加的最少铰链杆数4
4 q θB EI P EI θB MBA MAB MBC (3) 列杆端转角位移方程 M AB = 2iθ B −15 = 3 −9 BC B M iθ 6 EI 设i = = 4 +15 BA B M iθ (4) 位移法基本方程（平衡条件） i i i M M M B B B B BA BC 7 6 4 15 3 9 0 0 0 ∴ = − + + − = ∑ = + = θ θ θ MBA MBC = 2 −15 AB B M iθ M BA = 4iθ B +15 = 3 − 9 BC B M iθ kN m i M i AB ⎟ − = − ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 15 16.72 7 6 2 kN m i M i BA ⎟ + = ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 15 11.57 7 6 4 (5) 各杆端弯矩及弯矩图 i B 7 6 θ = − 20 6 30 4 1 4 1 Pl = × × = 16.72 11.57 ⎝ 7i ⎠ kN m i M i BC ⎟ − = − ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 9 11.57 7 6 3 M图 ( ) kN ⋅m 2 6 9 8 1 8 1 2 2 ql = × × = 4I 4 0 I0 5I0 3I0 3I0 A B C D m 4m （1）基本未知量θB、θC （2）杆端弯矩 3 40 M i BA B = + θ 4 2 41.7 Mii BC B C =+− θ θ 0 20kN/m i EI l = / ¾ 刚架 0 E F 4m 5m 4m 6m 4 2 41.7 Mii CB C B =++ θ θ 3 MCD C = iθ 3 1.5 MBE B EB B = = iM i θ θ 2 MCF C FC C = = i Mi θ θ 4I 4 0 I0 5I0 3I0 3I0 A B C D 4m 4 2 41.7 Mii BC B C = θ + − θ 4 2 41.7 Mii CB C B =++ θ θ 3 MCD C = iθ 3 MBE B = iθ 2 MCF C = iθ 3 40 M i BA B = θ + 20kN/m 0 E F （3）位移法方程 0 0 0 0 B BA BC BE C CB CD CF M MMM M MMM = ⇒++= = ⇒++= ∑ ∑ （4）求未知量 1.15 4.89 B C θ θ = = − （5）求杆端弯矩 （6）绘弯矩图 有侧移刚架 刚架除有结点转角外，还有结点线位移。 基本思路 7-4 有侧移刚架的计算 与无侧移刚架基本相同，但增加： ¾ 未知量有结点位移； ¾ 杆件计算需考虑结点位移； ¾ 基本方程增加与结点位移对应的平衡方程。 结点的位移（线位移、铰位移） （1）角位移的数目（未知量）= 刚结点数 1. 位移法的基本未知量 （2）线位移未知量数目 ¾ 不考虑轴向变形 ¾ 弯曲变形小，受弯矩长度不变。 一般方法： 取铰接体系： 结点线位移数 = 自由度数 = 使铰结体系为几何不变体系所必加的最少铰链杆数
12.基本方程的建立0>实例14s（1）基本未知量6g4（2）杆端弯矩67M=2i0g-6i△/4-4EB2iCMu=4i0g-6iA/4+4Z日SAMpc = 6i0 Mpc =3i△/4P8m（3）位移法方程ZM.=0=M+Mc=0（3）位移法方程>实例2B2i闻ZMg=0=M+MBc=0hylDhz /2h,1,8mBD人（1）基本未知量4B（2）杆端弯矩ZQ=0=Q+Qcp=0Mμ=3i,A/hMpc=-3iz4/hM=-3iA/hQBAQcD（3）位移法方程ZQ=0=Qu+Q0c+Qm=FQcp = -Mcp /4Q=-(Ma, +M)/46Qm=3i,A/h2Q=3,A/hOpc=3i,A/ h>实例3（1）基本未知量g04（2）杆端弯矩D型ZQ=0=Q+Qc=020kN/mB5l410C4.Ai=El,/lDQBe =-(MBe +Mee)/4早310Ma4 = 3i0 +40410B5l041031Qcp = -(Mce + Mpc)/631,Mec=4i0g+2i0.-41.7E1Mce=4i0。+2i0,+41.7F（3）位移法方程Mcp=3i04mZMg=0=Ma+MBc+ME=0M=3i0.-1.125△MeB=1.5i0-1.125△Mc=0=McB+Mcp+Mcr=0Mrc =i0-0.52Mcr=2i0c-0.55
5 A B θA θB Δ θA θB Δ1 A B C D θC θD Δ2 A B C Δ ¾ 实例1 /m B 2i C （1）基本未知量θB、Δ （2）杆端弯矩 2 6 /4 4 Mii AB B = −Δ − θ 2. 基本方程的建立 q=3kN/ 8m 4m A D 2i i i 4 6 /4 4 MBA B = −Δ + i i θ 6 MBC B = iθ 3 /4 M i DC = − Δ （3）位移法方程 0 0 ∑ M MM B BA BC =⇒ + = B C q=3kN/m 8m 4m A D 2i i i （3）位移法方程 0 0 ∑ M MM B BA BC =⇒ + = B C QBA QCD 0 0 ∑Q QQ =⇒ + = BA CD ( ) /4 6 Q MM BA BA AB =− + − / 4 Q M CD CD = − ¾ 实例2 B D F A C E h1 I1 h2 I2 h3 I F 3 （1）基本未知量Δ （2）杆端弯矩 1 1 3 / MBA = − Δi h （3）位移法方程 2 2 3 / MDC =− Δi h 3 3 3 / MFE = − Δi h 0 ∑Q QQ Q F = ⇒++= BA DC FE 2 1 1 3 / Q ih BA = Δ 2 2 2 3 / Q ih DC = Δ 2 3 3 3 / Q ih FE = Δ ¾ 实例3 4I 4 0 I0 5I0 3I0 3I0 A B C D m 4m （1）基本未知量θB、θC、Δ （2）杆端弯矩 3 40 M i BA B = + θ 4 2 41.7 Mii BC B C =+− θ θ 0 20kN/m i EI l = / 0 E F 4m 5m 4m 6m 4 2 41.7 Mii CB C B =++ θ θ 3 MCD C = iθ 3 1.125 1.5 1.125 Mi M i BE B EB B =− Δ = − Δ θ θ 2 0.5 0.5 M i Mi CF C FC C = −Δ = −Δ θ θ 4I 4 0 I0 5I0 3I0 3I0 A B C D E 4m 0 0 ∑Q QQ =⇒ + = BE CF ( ) / 4 Q MM BE BE EB =− + ( ) / 6 Q MM CF CF FC =− + F （3）位移法方程 0 0 0 0 B BA BC BE C CB CD CF M MMM M MMM = ⇒++= = ⇒++= ∑ ∑