第03章离散傅里叶变换及其快 速算法 邹江 zhujiang@public.wh.hb.cn
第03章 离散傅里叶变换及其快 速算法 邹江 zoujiang@public.wh.hb.cn
3.2离散傅里叶变换及其性质 32.1离散傅里叶变换(DFT) 有限长序列的傅里叶变换称为离 散傅里叶变换,简写为DFT。 DFT可以按3个步骤由DFS推导 出来: 0 N ①将有限长序列延拓成周期序列; a(n) ②求周期序列的DFS; ③从DFS中取出一个周期便得到|二N N 有限长序列的DFT。 (b) 主值区间 图3.3有限长序列及其周期延拓 (a)有限长序列(b)延拓后的周期序列
3.2 离散傅里叶变换及其性质 3.2.1离散傅里叶变换(DFT) 有限长序列的傅里叶变换称为离 散傅里叶变换，简写为DFT。 DFT可以按3个步骤由 DFS推导 出来： ①将有限长序列延拓成周期序列； ②求周期序列的DFS； ③从DFS中取出一个周期便得到 有限长 序列的DFT
将xm延拓成周期为N的周期序列交(n) r (n) x(n+rN) 如上图所示 显然有 x(n),0≤n≤N一1 x(n) 0, 其它 孑(n)的第一个周期,即n=0到N1的序列称为主值序列,n=0到 N-1的范围称为主值区间 上述两式可分别表示为上(n)=x((n)A x(n)=x(n)·RN(n) 其中RNn)是矩形序列。符号(n)表示n对模N的余数,即 n=kN+(n)),0≤(n))≤N 这里k是商
将x(n)延拓成周期为N的周期序列 如上图所示。 显然有 的第一个周期，即n＝0到N-1的序列称为主值序列，n=0到 N-1的范围称为主值区间。 上述两式可分别表示为 其中RN (n)是矩形序列。符号((n))N表示n对模N的余数，即 这里k是商
同理,可以认为周期序列(n)的DFS系数区(A是有限长序列X) 周期延拓的结果,而X()是区】的主值序列。即 8(k)=K(k))N X(k)=8(k)·Rx(k) 由此便可以得出有限长序列的离散傅里叶变换ODFT)的表示式为 x( n)w 0≤k≤N一1 X(k)=DFTLx(n)] 其它 r(n)=IDFTEX(k]=N20 「∑x(k)W*,0≤n≤N-1 0 其宜 由此可见,有限长序列x(n)的DFT即Xk)仍是有限长序列
同理，可以认为周期序列 的DFS系数 是有限长序列X(k) 周期延拓的结果，而 X(k)是 的主值序列。即 由此便可以得出有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)的表示式为 由此可见，有限长序列x(n)的DFT即X(k)仍是有限长序列
在一般情况下,X(k)是一个复量,可表示为 X(k)=XRk)+jX,(k) 或 X(k)=IX(k)leNCk) 式中|x(k)=[X(k)+x(k)] 0(足)= arctan X1(k) XROk) 例3.1求有限长序列 (n)s/a°,0≤n≤N 0,其它 的DFT,其中a=0.8,N=8
在一般情况下，X(k)是一个复量，可表示为 或 式中 例3. 1 求有限长序列 的DFT，其中a=0.8，N=8