复杂系统与复杂性科学 2008年12月 其中,m(t)为t时刻增加的节点连接边数,N(t)为t时刻网络的节点数目,p(t)为常数时属于确定性增长, 当为随机概率,0<P(t)<1,属于随机性增长;a为变速指数,依α不同值分为正常(α=0)、加速(0<α<1) 和超加度(α>0)等多种情形。这样,第1层次能够把各种实际网络增长过程中变速的特点仔细描述进去, 反映了增长方式的多样性。该 UHNM-VSG网络研究了两种变速增长的特性3-59:随机增长图象与确定性 增长图象。例如,在式(5)中当p为概率变化时为随机增长图象,而当p为常数时则为确定性增长图象。混 合比g体现了两种混合增长,显然第1层次把各种实际网络中存在着变速的特点包含在内,这使第l层次 模型比前两层次模型理论更趋于完善,发现了一些网络新特性和转变关系。主要点有 1)累计度分布P(k)在幂律分布与广延指数分布之间的转变:如果考虑式(5)中变速指数a=0.3和 p(t)为随机概率增长时,随着d变化出现两种累积度分布:既有幂律分布,又有双广延伸长指数分布。广延 指数分布定义为 其中,b和k为两个参数,c为广延指数,双广延指数分布是指曲线具有两段不同广延指数c和c2。如果c 较小,则它越接近接近SF。在α比较小(α=0.3)时,在dr三种基本模式:总混合比是确定性占主导(dr 4/1,49/1)、两者相当(dr=1/1)和随机性混合占主导(dr=1/49,1/4)时,累计度分布P(k)仍然是幂律分 布,但是随着α增加(如0.6,0.9),P(k)却都出现双广延指数分布。γ随k增加而增加,广延指数c随k增 加可出现极值(最大或最小),密切依赖于α增加;随α变化,网络的拓扑特性在幂律分布和广延指数分布之 间转变,具体转变类型完全取决于混合比和指数α数值或变速增长方式。不论随机连接方式还是确定性变 速增长下,都能够出现类似的累积度分布的转变。 2)不同累计度分布P(k)转变与混合增长比vg的关系:第1层次中的混合增长比vg是一个对网络特性 有重要影响的关键调控参数。在固定(dr=1/1,fd=0/1和gr=0/1)情形下比较了不同vg下累计度分布 P(k)的转变特性研究发现:存在另外一种多标度分布之间的转变,出现广延指数分布和高斯分布。在(dr= 1/1、fd=0∥1和gr=0/1)和其他工作模式下都出现了特性转变。它们取决于4个混合比的组和或匹配等 3)群聚系数C与变速指数α的关系:第1层次网络的数C与混合比及变速指数a之间存在更复杂的三 维关系意图,可在[0,1]之间大范围变化,C既可以达到很高,又可以比较小,完全取决于3个混合比和增长 指数a,整个变化呈现错综复杂的非线性关系。 4)相称性系数r与混合比关系:在第1层次里,反映网络之间相关的特性的相称性系数r与混合比关 系及变速指数α之间存在复杂的三维关系。当采用式(5)中不论是随机性增长方式(p为概率)还是确定性 增长方式(p()为常数)时,当工作在d≥1/1模式时,r出现了波峰,随着a的增加,此起彼伏;而随着a的 增加C出现非线性变化;当工作dr<1/1(随机性占主导)模式时,在α=0.3之前C明显上升,而后稍微下 降;当工作d≥1/1(确定性占主导)模式情形,C一直在上升。 总之,在第1层次里,网络特性与4个混合比(d,fd,gr,g)之间存在着复杂的非线性关系,波峰和波谷 起伏交错,其奥秘和规律隐含在许多特殊混和比匹配之中。 字塔的最底层是真实世界网络,它是复杂网络金字塔的奠基石,真实世界的网络多种多样、丰富 多彩,例如,因特网、万维网、各种交通网、电力传输网、各种通信网络、各种生物网络、各种社会网络、生态和 环境网络等,是所有网络理论模型研究的源泉和根据所在。 综上所述,我们构建了复杂网络模型金字塔,分析和总结了具有多层次的复杂网络金字塔的基本特性, 揭示和反映了复杂网络金字塔不同层次上网络的特色和规律以及错综复杂的关系,这将有助于加深理解和 进一步挖掘网络的多样性-复杂性,以及简单性-普适性之间的转变规律,从金字塔的最顶层到最底部,复 杂性和多样性程度越来越高,反之,简单性与普适性增强。利用4个混合比可以统一研究金字塔各层次模 型,研究一些实际增长网络的基本特性。这类网络模型金字塔还可以进一步拓广和完善。同时,我们还提岀 了广义 Farey组织的金字塔,从理论上推导了该网络的拓扑特性、相称性系数和群聚系数等
复 杂 系 统 与 复 杂 性 科 学 其 中，m(t)为 t时刻增加 的节点连接 边数 ，N(t)为 t时 刻 网络 的节 点数 目，P(t)为常 数 时属 于确 定性增 长 ， 当为随 机概率 ，0<P(t)<1，属于随机性 增长 ； 为 变速指 数 ，依 不 同值分 为正 常 (Ot=0)、加速 (0<O／<1) 和超加 度( >0)等 多种情形 。这样 ，第 1层 次 能够 把各 种 实际 网络 增 长过 程 中变速 的特 点仔 细 描述进 去 ， 反映 了增 长方式 的多样性 。该 UHNM．VSG 网络 研究 了两 种 变速 增 长 的特性 ：随机增 长 图象 与确定 性 增长 图象。例如 ，在式 (5)中当 P为概 率变化 时为 随机增 长 图象 ，而当 P为 常数 时则为确 定性增 长 图象。混 合 比 体 现了两种 混合增长 ，显然第 1层次把 各种 实 际 网络 中存在 着变 速 的特 点包 含在 内，这 使 第 l层次 模型 比前 两层次模 型理论更 趋于完 善 ，发现 了一些 网络新 特性和转 变关 系。主要 点有 ： 1)累计度分 布 P(k)在幂 律 分 布与 广 延指 数分 布 之 间 的转 变 ：如果 考 虑式 (5)中变 速 指数 =0．3和 P(t)为随机概 率增长时 ，随着 变化 出现两 种 累积度 分布 ：既有幂律 分布 ，又有 双广延 伸长 指数 分布 。广延 指数分 布定义为 P()：b。一(寺) (6) 其 中 ，b和 k为两个 参数 ，c为广延指 数 ，双广 延指 数 分布 是 指 曲线具 有 两段不 同 广延 指数 c．和 C。如果 c 比较小 ，则它越 接近接近 sF。在 Ot比较小 ( =0．3)时 ，在 dr三种 基本模 式 ：总混合 比是确 定性 占主导 (dr： 4／1，49／1)、两者相 当(dr=1／1)和 随 机性 混 合 占主导 (dr=1／49，1／4)时 ，累计 度分 布 P(k)仍 然是 幂律 分 布 ，但是 随着 增 加 (如 0．6，0．9)，P(k)却都 出现 双广延指 数分布 。 随 k增 加 而增 加 ，广延指 数 C随 k增 加可 出现极值 (最 大或最 小 )，密切 依赖 于 增加 ；随 仅变化 ，网络 的拓扑特性 在幂律 分布 和广延 指数分 布 之 间转变 ，具体转 变类型完 全取决 于混合 比和指数 Ot数值 或变 速增 长方 式 。不 论 随机连 接方式 还 是确定 性 变 速增 长下 ，都能 够 出现类 似 的累积度分布 的转变 。 2)不 同 累计 度分布 P(k)转变 与混合 增长 比 曙 的关 系 ：第 1层次 中的混合增 长 比 g是一 个对 网络 特性 有重 要影响 的关 键调控 参数 。在 固定 (dr=1／1，fa=0／1和 gr=0／1)情 形 下 比较 了不 同 下 累 计度 分 布 P(k)的转 变特性研 究发现 ：存在另外 一种 多标度分 布之 问的转变 ，出现 广延 指数 分布 和高斯 分布 。在 (dr= 1／1，fd=0／1和 gr=0／1)和其他 工作模式 下都 出现 了特性 转变 。它们取 决于 4个 混合 比的组和或 匹配等 。 3)群聚系数 c与变速指 数 的关系 ：第 1层次 网络 的数 C与混合 比及变速指 数 O／之间存在更 复杂 的三 维关 系意 图 ，可 在 [0，1]之 间大范 围变化 ，c既可 以达到很 高 ，又 可 以比较小 ，完 全取决于 3个混 合 比和增 长 指 数 ，整 个变 化呈现 错综 复杂的非线 性关 系。 4)相 称性 系数 r与混合 比关 系 ：在第 1层 次里 ，反 映 网络之 间相 关 的特 性 的相称 性 系数 r与混合 比关 系及变速指数 之间存在 复杂 的三维关 系 。当采 用式 (5)中不论是 随机 性增 长方 式 (P为 概率 )还是 确定性 增长方式 (P(t)为常数 )时 ，当工作在 dr>>1／1模 式时 ，r出现 了波 峰 ，随着 Ol的增加 ，此 起彼 伏 ；而随 着 的 增加 c出现非线性 变化 ；当工作 dr<1／1(随机性 占主导 )模 式 时 ，在 Ol=0．3之 前 C明显上 升 ，而后稍 微 下 降 ；当工作 ≥1／1(确定性 占主导 )模式 情形 ，C一直在 上升 。 总之 ，在第 l层次里 ，网络特性 与 4个混合 比 (dr，． ，gr，曙)之 问存在 着复 杂 的非线 性关 系 ，波峰 和波 谷 起伏交错 ，其 奥秘和规律 隐含在 许多特殊 混 和比匹 配之 中 。 网络 金字塔 的最 底层是真 实世界 网络 ，它 是复杂 网络 金字塔 的 奠基石 ，真 实世 界 的 网络 多种 多样 、丰 富 多彩 ，例如 ，因特 网 、万 维 网 、各种 交通 网 、电力传 输 网 、各 种 通信 网络 、各种 生 物 网络 、各 种社 会 网络 、生态 和 环境 网络 等 ，是所有 网络理论模 型研究 的源 泉和根据 所在 。 综上所述 ，我们构 建 了复杂 网络模 型金字塔 ，分析 和总结 了具 有 多层 次 的复杂 网络 金字 塔 的基本 特性 ， 揭示 和反映 了复杂 网络 金字塔不 同层 次上 网络 的特色 和规 律 以及错 综复 杂 的关系 ，这将 有助 于 加深理 解 和 进一 步挖掘 网络 的多样 性 一复杂性 ，以及 简单性 一普适 性 之 间的转 变规 律 ，从 金字 塔 的最顶 层到 最底 部 ，复 杂性和多样性 程度越来 越高 ，反 之 ，简单 性 与普 适 性增 强 。利 用 4个 混 合 比可 以统 一研 究 金字 塔 各层 次模 型 ，研究 一些实际增 长网络 的基本特性 。这类 网络模 型金字塔 还可 以进一步 拓广和 完善。 同时 ，我们还提 出 了广义 Farey组织 的金字塔 ，从 理论上 推导 了该 网络 的拓扑特性 、相称性 系数 和群聚系数 等
第5卷第4期 方锦清,等:网络科学的理论模型及其应用课题研究的若干进展 3从宏观网络推进到微观网络:量子信息与纳米相千网络模型2 令人感兴趣的是, Bianconi和 Barabasi把玻色一爱因斯坦凝聚同复杂网络联系起来,由此启发我们探索 从宏观网络推进到微观网络:量子信息网络和纳米相干网络,从复杂网络视角来探索微观世界的量子网络的 拓扑和动力学性质。于是,我组提出和构造了一种高斯通道的量子信息网络模型(图2)和纳米相干网络模 型。首先构造了一种量子高斯通道,把常用的经典信息高斯通道推广到量子领域。这种量子高斯通道容许 光子携带量子信息传递信号并具有量子并行性。这些网络的量子信息通道联结各个网点使网络非局域性地 执行各种量子计算或量子通讯的任务。物理上,量子信息网络的网点可以由空腔中的原子、离子或量子点或 光子晶体中的光子组成。不同网点间的相互作用由传输在量子信息通道中的光子决定。这些信息通道起着 网点间相互连接的作用,在网络中扮演十分重要的角色。通过求解在动量表象中量子信息密度的 Fokker Plank方程。同时考虑到随机的用户和环境噪音不可避免地要引入到量子信息网络,在量子信息网络的网 点中引入一定的外部驱动或控制外场。它能驱动或控制网络到管理员期望的方向。所有特点会使量子信息 网络具有复杂性行为。在外场驱动下,通过求解量子信息网络节点的度比率方程,我们研究了该量子信息网 络的若干信息性质和拓扑特性,包括传输容量、量子高斯通道量子动力互信息,以及网点度时空分布等 在3种特定外部驱动条件和参数下得到度分 布特点:1)当外场为周期力,则度分布也为周期 函数;2)如果外场为指数函数,则度分布为对数 节点B 函数。当时间大于1.25时出现无标度特性,其 纠缠戏EP) 幂指数随时间增加而缓慢增加;3)如果外场为突 变多项式,如为椭圆脐带型突变形式,这个突变驱 节 EP子信道(∝ 动项的引入,使量子信息网络的度分布具有时空 特性,它可随时间上升达到某个饱和值,而随空间 在不同网络参数下,节点度的幂律分布可出现负 随机连接(RL 指数标度或正指数标度的,正负指数取决于量子 节点E 随机节 网络结构和条件参数,而且正负幂指数可影响网 图2量子信息网络模型示意图 络的相称性系数,在外部突变场驱动下,相称性系 数随着正负幂指数变化而在一定范围内发现突变,出现了正相称性系数。这有助于揭开不同类型网络产生 不同拓扑特性的不同机制和它们之间内在联系的奥妙,提供探索产生机制的一种线索和途径。 进一步,把量子信息的运动方程扩展到量子场领域。为此,通过结合量子场有关理论和 Liouville方程 的方法,我们研究了量子信息的 Schwinger-Tomonaga方程和在开放量子电动力学的系统中的量子信息动力 方程。然后,我们提出了纳米相干网络。讨论了基于六角纳米线圈的量子相干网络的特性。这些研究观察 到:电子电流和一个电磁场之间存在量子相干作用,可能为量子相干器件的构造提供依据。这样的器件可 由纳米线构成,这对构造量子信息网络是有意义的。因为这里关键的物理作用是电子电流同一般横向辐射 场的作用,这种量子相干可看为 Aharonov-Bohm作用的推广,即电子电流密度在金属或半导体圈中同磁场 或电场产生效应的推广。值得注意的是,利用具有选择性的分子束外延方法,一种六角纳米线网络可以生 长在(111)B基体面上,且用纳米孔铝土模板可以生长有序的纳米线。这些实际进展启发我们利用纳米线 来实现一种量子相干网络,该网络可测量电子电流同辐射场的相互作用,且可以探索量子相干网络的特征 为基于纳米线的量子相干网络提供新的知识。我们的理论分析表明,量子相干网络功能取决于电子在网络 对称联接线中最后的相对速度。网络的级数越高,则允许相对速度被增加,具有放大量子相干的作用。纳 米线的量子相干网络联接分布的时间演变服从幂函数法则。这种无标度特性意味着量子相干网络对外来攻 击具有鲁棒性。 这个纳米线的量子相干网络区别于 bosonic和 fermionic网络,主要不同在于其节点的联接数同影响泛
第 5卷 第 4期 方 锦 清 ，等 ：网络 科 学 的 理 论模 型及 其 应 用 课题 研 究 的若 干 进 展 3 从宏观网络推进到微观 网络 ：量子信息与纳米相干 网络模型 令 人感兴趣 的是 ，Bianconi和 Barabasi把玻 色 一爱 因斯坦 凝聚 同复杂 网 络联 系起来 ，由此 启发 我们 探索 从宏观 网络推进 到微观 网络 ：量 子信息 网络和纳米 相干 网络 ，从 复杂网络 视角来探 索微观世 界的量 子网络 的 拓扑 和动力学性 质。 于是 ，我组提 出和构造 了一种 高斯通 道 的量子 信息 网络模 型 (图 2)和纳 米相 干 网络模 型 。首先 构造 了一种量子 高斯通道 ，把常用 的经典信 息 高斯通 道推 广到 量子 领域 。这 种量 子 高斯通 道 容许 光子携带 量子信息 传递信 号并具有量 子并行 性 。这些 网络 的量子信 息通道联 结各个 网点使 网络非局域 性地 执行各 种量子计 算或量 子通讯 的任务 。物 理上 ，量 子信息 网络 的网点可 以由空腔 中的原子 、离子或量 子点或 光子 晶体中的光 子组成 。不 同网点间 的相互 作用 由传输在 量子信 息通道 中的光子决 定 。这些 信息通 道起着 网点 问相互连接 的作用 ，在 网络 中扮 演 十分 重要 的角 色 。通 过 求解 在 动量 表 象 中量 子 信息 密 度 的 Fokker— Plank方程 。同时考虑到 随机 的用户和环 境噪 音 不可 避免 地要 引 入到 量 子信 息 网络 ，在 量 子信 息 网络 的 网 点 中引入一定 的外部驱 动或控制 外场 。它能驱动 或控制 网络到管 理员期望 的方 向。所有特 点会使量 子信息 网络具 有复杂性 行为 。在外场驱 动下 ，通 过求解量 子信息 网络节点 的度 比率 方程 ，我们研究 了该量子 信息 网 络 的若 干信息性 质和拓 扑特性 ，包 括传输容 量 、量 子高斯通 道量子 动力互信 息 ，以及 网点度 时空分布 等。 在 3种特定 外部驱 动条件 和参 数下得 到度分 布特点 ：1)当 外场 为周 期 力 ，则 度 分 布也 为周 期 函数 ；2)如 果 外场 为指 数 函 数 ，则 度分 布 为 对 数 函数 。 当时 间 大于 1．25时 出 现无 标 度 特 性 ，其 幂指 数随时间增 加 而缓 慢增 加 ；3)如 果外 场 为 突 变多项 式 ，如 为椭圆脐带 型突变形 式 ，这个 突变驱 动项 的引入 ，使 量子 信 息 网络 的度 分 布具 有 时空 特性 ，它可随 时间上升 达到某个饱 和值 ，而随空 间 在不 同网络参 数下 ，节 点度 的幂律 分 布可 出现负 指数 标度或正 指数 标度 的 ，正 负指 数取 决 于 量子 网络 结构 和条 件 参数 ，而且 正 负幂 指 数可 影 响 网 络 的相称性 系数 ，在外 部突变场 驱动下 ，相称性 系 图2 量子信息网络模型示意图 数 随着正负幂 指数变 化而在一定 范围 内发 现突变 ，出现 了正相 称性 系数 。这 有助 于揭 开不 同 类型 网络 产生 不 同拓扑特性 的不 同机制和它们 之间 内在 联系 的奥妙 ，提供探 索 产生机制 的一种线 索和途径 。 进一步 ，把量 子信息 的运 动方程扩 展到量 子场领 域 。为此 ，通 过结 合量 子场有 关理 论 和 Liouville方程 的方 法 ，我们研 究 了量 子信息 的 Schwinger-Tomonaga方程 和在 开 放量 子 电动 力学 的 系统 中的量 子 信息 动力 方程 。然后 ，我 们提 出了纳米相 干网络 。讨论 了基 于六 角纳米 线 圈的量 子相 干 网络 的特性 。这 些研 究 观察 到 ：电子 电流 和一个 电磁 场之 间存在量子相 干作 用 ，可 能为 量 子相 干器 件 的构造 提 供依 据 。这样 的器 件可 由纳 米线构成 ，这对 构造量 子信息 网络 是有意 义的 。因为这里关 键 的物理作用 是电子 电流 同一般 横 向辐射 场 的作用 ，这种量子 相干可看 为 AharonovBohm作 用 的推 广 ，即 电子 电流 密度 在 金属 或半 导 体 圈 中同磁 场 或 电场产生效 应的推广 。值得注 意的是 ，利用具 有选 择性 的分子 束外 延 方法 ，一 种六 角纳 米线 网络 可 以生 长在 (111)B基体 面上 ，且 用纳米孑L铝土模 板可 以生 长 有序 的 纳米线 。这些 实际 进展 启发 我们 利用 纳 米线 来实 现一种量 子相干 网络 ，该 网络 可测量 电子 电流同辐射 场 的相互 作用 ，且 可 以探 索 量子 相 干 网络 的 特征 ， 为基 于纳米线 的量 子相 干网络提供新 的知识 。我们 的理论 分析表 明 ，量 子相干 网络功 能取决 于 电子在 网络 对称 联接线 中最后 的相对速度 。网络 的级 数越 高 ，则 允 许相 对速 度被 增 加 ，具有 放 大量 子相 干 的作用 。纳 米线 的量 子相干 网络 联接分布 的时间演 变服从幂 函数法 则。这种 无标度特性 意 味着量子相 干网络对 外来攻 击具有鲁棒性 。 这个 纳米线 的量 子相干 网络区别 于 bosonic和 ~rmionic网络 ，主要 不 同在 于其 节点 的联 接 数 同影 响泛