JAB=nmax 2a,b, Enmax 2lan bm, k=1 k=1 n·nmax(likk,j max ik =nmax|a·nmax k B 因此 A4‖ 为矩阵A的范数
, , 1 1 , , , , max max max max max max n n ik kj ik kj i j i j k k ik kj i k k j ik kj i k k j AB n a b n a b n n a b n a n b A B = = = = = 因此 A 为矩阵 A 的范数
例3:对于任意A∈C",定义 公 ∑∑ i=1j=1 可以证明A也是矩阵A的范数。我们称此 范数为矩阵A的 Frobenius范数 证明:此定义的非负性,齐次性是显然的。 利用 Minkowski不等式容易证明三角不等式。 现在我们验证乘法的相容性。 设A∈Cm,B∈C∞,则
例 3 ：对于任意 ，定义 可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此 范数为矩阵 的Frobenious范数。 证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。 利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。 现在我们验证乘法的相容性。 设 ，则 m n A C 2 1 2 1 1 ( ) m n F ij i j A a = = = A A A , m l l n A C B C
i=1j=1|k=1 i=1 j=I k=l s∑∑(∑a∑ 1j=1k k=1 1k=1 j=l k=l ‖42|Bl2 于是有
2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( ) [( )( )] ( )( ) m n l m n l F ik kj ik kj i j k i j k m n l l ik kj i j k k m l n l ik kj i k j k F F AB a b a b a b a b A B = = = = = = = = = = = = = = = = = 于是有
AbL< B 例4:对于任意A∈C,定义 ‖A=[7r(A) 证明如此定义的 4 是矩阵A的范数。 证明:首先注意到这样一个基本事实 即 D(0)=②∑) 由一个例题可知此定义满足范数的性质
例 4 ：对于任意 ，定义 证明如此定义的 是矩阵 的范数。 证明： 首先注意到这样一个基本事实， 即 由一个例题可知此定义满足范数的性质。 n n A C 1 2 [ ( )] H A Tr A A = A A 1 1 2 2 2 1 1 [ ( )] ( ) m n H ij i j Tr A A a = = = F F F AB A B
Frobenius范数的性质: (1)如果A=[a1a2 Cn,那么 42=∑|al2 (2)42=TR(44)=∑4(A) (3)对于任何m阶酉矩阵U与n阶酉矩阵
Frobenious范数的性质： （1）如果 ，那么 （2） （3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵 A = 1 2 n 2 2 2 1 n F i i A = = 2 1 ( ) ( ) n H H F i i A TR A A A A = = = m U n