定义:对于任何一个矩阵A∈Cm,用 表示按照某一确定法则与矩阵A相对 应的一个实数,且满足 (1)非负性:当A0,>0只有 且仅有当A=0,‖州 (2)齐次性:4=‖4,k为任 意复数。 (3)三角不等式:对于任意两个同种形 状矩阵A,B都有 A+B‖≤‖A+B
定义：对于任何一个矩阵 ，用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对 应的一个实数，且满足 A A （1）非负性：当 只有 且仅有当 （2） 齐次性： 为任 意复数。 （3） 三角不等式：对于任意两个同种形 状矩阵 都有 A A 0, 0 A A = = 0, 0 kA k A k = , A B, A B A B + + m n A C
(4)矩阵乘法的相容性:对于任意两个可以 相乘的矩阵A,B,都有 B|≤‖4Bl 那么我们称团是矩阵A的范数。 例1:对于任意A∈C",定义 州=∑∑n 可以证明如此定义的4的确为矩阵A的范 数
（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以 相乘的矩阵 ，都有 那么我们称 是矩阵 的范数。 例 1：对于任意 ，定义 可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范 数。 A B, AB A B A A m n A C 1 1 m n ij i j A a = = = A A
证明:只需要验证此定义满足矩阵范数的 四条性质即可。非负性,齐次性与三角不 等式容易证明。现在我们验证乘法的相容 性。设A∈C"P,B∈C",则
证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的 四条性质即可。非负性，齐次性与三角不 等式容易证明。现在我们验证乘法的相容 性。设 , ，则 m p p n A C B C
1j=1k=1 i=1j=1k=1 k=1 k=1 ∑a∑∑ 1k=1 1k=1 B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( )( )] ( )( ) m n m n p p ik kj ik kj i j k i j k m n p p ik kj i j k k m n p p ik kj i k j k AB a b a b a b a b A B = = = = = = = = = = = = = = = = =
例2:设矩阵A∈C,证明: -n maX 是矩阵范数。 证明:非负性,齐次性和三角不等式容易 证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 A∈Cmx,B∈Cm,那么
例 2 ：设矩阵 ，证明： 是矩阵范数。 证明：非负性，齐次性和三角不等式容易 证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 ，那么 n n A C , max ij i j A n a = , n n n n A C B C