824经验模型心 当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时,一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合,找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。 最小二乘法 回插值方法
最小二乘法 插值方法 当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知 识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据 进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系 即函数关系。 §2.4 经验模型
最小么乘 设经实际测量已得到n组数据(x,y),i=1,…,n。将数据 画在平面直角坐标系中,见图。如果建模者判断这n个点很 象是分布在某条直线附近,令该直线方程为y=ax+b,进而 利用数据来求参数a和b。由于该直线只是数据近似满足的 如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数 则可作变量替换使之转化为线性关系或用类似方法拟合 y=ax+b i=1此式对a和b的偏导数均为0, 解相应方程组,求得: 其中x和y 分别为x和y a=<<(x1-X)y-y 的平均值 X b=y-ax
最小二乘法 设经实际测量已得 到n组数据（xi , yi），i=1,…, n。将数据 画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断 这n个点很 象是分布在某条直线附近，令 该直线方程 为y=ax+b，进而 利用数据来求参 数a和b。由于该直线只是数据近似满足的 关系式，故 yi -(axi+b)=0一般不成立，但我们希望 = − + n i i i y ax b 1 2 [ ( )] 最小 此式对a和b的偏导数均 为0， 解相应方程组，求得： = − − − − = = = b y ax x x x x y y a n i i n i i i 1 2 1 ( ) ( )( ) y=ax+b y O (xi ,yi ) x 其中 和 分别为xi和yi 的平均值 x y 如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数， 则可作 变量替换使之转化为线性关系或用类似方 法拟合
例1(举重成绩的比较)9 的重量级(上限体 成绩 九 重)「抓举(公斤)挺举(公斤) 52 109 141 56 120.5 151 60 130 161.5 显 67.5 141.5 180 成 75 157.5 195 成 82.5 170 207.5 因 型 90 180 221 根 110 185 237.5 我10以上 200 255
显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重 成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的 成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理 因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模 型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录， 根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见， 我们不妨取表中的数据为例。 例1（举重成绩的比较） 举重是一种一般人都能看懂的运动，它共分 九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举 和挺举。 表中给出了到1977年底为止九个 重量级的世界纪录。 110以上 200 255 110 185 237.5 90 180 221 82.5 170 207.5 75 157.5 195 67.5 141.5 180 60 130 161.5 56 120.5 151 52 109 141 抓举（公斤） 挺举（公斤） 重量级（上限体 成绩 重）
4模型1(线性模型) 将数据画在直角坐标系中可以发现,运动成绩与体 量近似满足线性关系,只有110公斤级有点例外,两 项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近 似关系式L=kB+C,其中B为体重,L为举重成绩 你在作图时轴可以放在50公斤或52公斤处,因为 没有更轻级别的比赛,具体计算留给读者自己去完 成
模型1（线性模型） 将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体 量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两 项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近 似关 系式L=kB+C，其中B为体重，L为举重成绩。 你在作图 时L轴可以放 在50公斤或52公斤处，因为 没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完 成
模型2(幂函数模型) 线性模型并未得到广泛的接受,要改进结果,能够 想到的自然首先是幂函数模型,即令L=kB,对此式 取对数,得到lnL=lnk+alnB。将原始数据也取对数, 问题即转化了线性模型,可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣的 Austin公式:L=L/B34就是用这一方法求得的
模型2（幂函数模型） 线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够 想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式 取对数，得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数， 问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的 Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的