)线性系统的数学描述 动态测量中,测试装置或系统本身应该是一个 线性的系统: 我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理; 在动态测试中作非线性校正还比较困难 线性系统的输入—输出之间的关系 dy(t) n-1 …+a dt dt x dx m1+…+b box(t 13) dt dt x(t)为系统输入;y(t)为系统输出;An,…anbn,bo 为系统的系统的物理参数,若均为常数,方程便是 常系数微分方程,所描述的系统便是线性定常系统 或线性时不变系统
（一）线性系统的数学描述 动态测量中，测试装置或系统本身应该是一个 线性的系统 ： ➢ 我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理 ； ➢ 在动态测试中作非线性校正还比较困难 。 线性系统的输入——输出之间的关系 ： x(t)为系统输入；y(t)为系统输出；An , …a0 ,bm, …b0 为系统的系统的物理参数，若均为常数，方程便是 常系数微分方程，所描述的系统便是线性定常系统 或线性时不变系统。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b x(t) dt dx t b dt d x t b dt d x t b a y t dt dy t a dt d y t a dt d y t a m m m m m m n n n n n n 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 = + + + + + + + + − − − − − − (1.3)
线性时不变系统的基本性质 叠加性 如有x1(1)→y1(t),x2(t)→y2(切则有 x1(t+x2(t)→y()+y2(t)(14) ●比例性 如有x(t)→y(切,则对任意常数a,均有 ax(t)→ay(t) (1.5) 微分特性 如有x(t)→y(t),则有 dx(t)、d(t (1.6 ●积分特性 如有x(t)→y(切,则当系统初始状态为零时,有 x(0M→JOM (1.7)
线性时不变系统的基本性质 ⚫ 叠加性 如有x1 (t) →y1 (t), x2 (t) →y2 (t);则有 x1 (t)+ x2 (t) →y1 (t)+ y2 (t)。 (1.4) ⚫ 比例性 如有x(t) →y(t),则对任意常数a，均有 ax(t) →ay(t) (1.5) ⚫ 微分特性 如有x(t) →y(t),则有 ⚫ 积分特性 如有x(t) →y(t),则当系统初始状态为零时，有 ( ) ( ) dt dy t dt dx t → (1.6) ( ) ( ) → t t x t dt y t dt 0 0 (1.7)
●频率保持性 如有x(t)→y(),若x(1)=xeo, 则y(yae(o 证明:按比例性有 O)x(t)→>y 其中,0为某一已知频率 根据微分特性有 ()、d2( dt 两式相加有 2x(t)+ 1.10)
⚫ 频率保持性 如有x(t) →y(t)，若x(t)=x0e jωt , 则y(t)=y0e j(ωt+φ)。 证明：按比例性有 其中，ω为某一已知频率。 根据微分特性有 两式相加有 x(t) y(t) 2 2 → (1.8) ( ) ( ) 2 2 2 2 dt dy t dt d x t → (1.9) ( ) ( ) ( ) ( ) → + + 2 2 2 2 2 2 dt dy t y t dt d x t x t (1.10)
由于x(t)=xeo则 因此式(1.10)左边为零,亦即 0 由此式(1.10)右边亦应为零,即 yt 0y((+ 0 dt 解此方程可得唯一的解为 其中为初相角
由于x(t)=x0e jωt ,则 因此式（1.10）左边为零， 亦即 由此式（1.10）右边亦应为零，即 解此方程可得唯一的解为 其中φ为初相角。 ( ) ( ) x(t) x e j x e dt d x t j t j t 2 0 2 0 2 2 2 = − = − = ( ) ( ) 0 2 2 2 + = dt d x t x t ( ) ( ) 0 2 2 2 + = dt d y t y t ( ) ( + ) = j t y t y e0
(二)用传递函数或频率响应函数描 述系统的传递特性 1.传递函数 若y(为时间变量t的函数,且当t0时, 有y(t)=0,则y(t)的拉普拉斯变换Y(s)定义为 r(s)=y(le"dt 式中s为复变量,s=a+jb,a>0。 若系统的初始条件为零,对式(1.3)作拉氏变 换得 y("+an-I …+a1S+a b +…+b,s+b
(二)用传递函数或频率响应函数描 述系统的传递特性 1. 传递函数 若y(t)为时间变量t的函数，且当t≤0时， 有y(t)=0，则y(t)的拉普拉斯变换Y(s)定义为 式中s为复变量， s=a+jb,a>0。 若系统的初始条件为零，对式（1.3）作拉氏变 换得 ( ) ( ) − = 0 Y s y t e dt st (1.11) ( )( ) ( )( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 X s b s b s b s b Y s a s a s a s a m m m m n n n n = + + + + + + + + − − − −