现在讨论叠加东数cn()从的方程 na2w)=n∑0(4)+400)-F一方E ∑E(0(sp-五E(tr i∑2()|w()+m(0,()∞p-|E1T)h +200= =H()v() +∑0(+= 把式与含时藓定谔方程比,可知: 0=i∑[n(ly(n)+cn()n()exp 五E(r
现在讨论叠加系数 cnptq 服从的方程： iℏ B Bt |Ψptqy “ iℏ ÿ n rc9nptq | nptqy ` cnptq | 9 nptqysexp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ ` ÿ n cnptqEnptq | nptqy exp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ “ iℏ ÿ n rc9nptq | nptqy ` cnptq | 9 nptqysexp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ ` ÿ n cnptqHˆ ptq | nptqy exp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ “ Hˆ ptq |Ψptqy ` iℏ ÿ n rc9nptq | nptqy ` cnptq | 9 nptqysexp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ 把此式与含时薛定谔方程比较，可知： 0 “ iℏ ÿ n rc9nptq | nptqy ` cnptq | 9 nptqysexp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ 6 / 32
Gm(t) G,()(wm(o)I )n())exp-1 E(r)dr+hJo m(T)dr 显然,欲求解鸿方程需事光计算〈vn(t)lyn() 为,我们求H()弃值方程 H(6l n(0))=En(o)lpn(t)> 的时间导数 H()|yn()+H()yn()=En()lyn(t)+En()yn(功) 再求上式与1yn()的标积,如 vn()|Hlybn()+En()(ym(功)pn(t)=En(5m+En(t)(yn(t)vn(t)
所以： c9mptq “ ´ÿ n cnptq x mptq| 9 nptqy exp „ ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ` i ℏ ż t 0 Emp qd ȷ 显然，欲求解此方程需事先计算 x mptq| 9 nptqy. 为此，我们求 Hˆ ptq 本征值方程 Hˆ ptq | nptqy “ Enptq | nptqy 的时间导数： 9Hˆ ptq | nptqy ` Hˆ ptq | 9 nptqy “ E9 nptq | nptqy ` Enptq | 9 nptqy 再求上式与 | mptqy 的标积，知： x mptq| 9Hˆ ptq| nptqy`Emptqx mptq| 9 nptqy “ E9 nptqmn`Enptqx mptq| 9 nptqy 7 / 32
上式在m≠n时给出 vm(圳y(≈《吵m(圳H(圳yn()(m≠n En(a-Em(t 所以,cm()順从的徽分方程私达为 cm(t)=-Cm(0)(ym(olym(o)> (ym(OH(Ol n(O)>(E(T)-Ea(r)dr En(t)-Em(t) 到此为止,cm()满致的方程是情确的 绝热近似:」 K lm(OH(lln(o> En(o-Em((m(H(olan(t) 请思考:为何称此不等式为绝燕近似条件?
上式在 m ‰ n 时给出： x mptq| 9 nptqy “ x mptq| 9Hˆ ptq| nptqy Enptq ´ Emptq ; pm ‰ nq 所以，cmptq 服从的微分方程表达为： c9mptq “ ´cmptq x mptq| 9 mptqy ´ ÿ n‰m cnptq x mptq| 9Hˆ ptq| nptqy Enptq ´ Emptq e ´ i ℏ ş t 0 rEnp q´Emp qsd 到此为止，cmptq 满足的方程是精确的. 绝热近似： › › › › › ℏ Enptq ´ Emptq x mptq| 9Hˆ ptq| nptqy x mptq|Hˆ ptq| nptqy › › › › › ! 1 请思考：为何称此不等式为绝热近似条件？ 8 / 32
若工述不等式戎立,则有 cm()≈-cm(t)〈vym()lym() 真解为 m(t)=cm(o) 真中出现的 ym(t)=i dr( pm()lpm(T)) 为宗数(Why冫).所以,绝燕近伈下含时定谔方程的通解丁 lw())s2'm(o) lym(o))exp im()-hL Em(r)dr 佩设cm(0)=δm,即倔设体在初时刻处在H(O)的第n个弃 态:|(0)=y2(0),则在以后的任一时刻t>0,它亦旖处 在H()的第n个幸猃: ()|,(sp|(-E),(adh
若上述不等式成立，则有： c9mptq « ´cmptq x mptq| 9 mptqy 其解为： cmptq “ cmp0qe i mptq 其中出现的 mptq “ i ż t 0 d x mp q| 9 mp qy 为实参数 ( Why ?). 所以，绝热近似下含时薛定谔方程的通解可 写为： |Ψptqy « ÿ m cmp0q | mptqy exp „ i mptq ´ i ℏ ż t 0 Emp qd ȷ 假设 cmp0q “ mn，即假设体系在初始时刻处在 Hˆ p0q 的第 n 个本 征态：|Ψp0qy “ | np0qy，则在以后的任一时刻 t ą 0，它亦将处 在 Hˆ ptq 的第 n 个本征态： |Ψptqy « | nptqy exp „ i nptq ´ i ℏ ż t 0 Enp qd ȷ ; padiabatic !q 9 / 32
旋转属场中曳子的自旋起: 秽止于旋转炻原点处的曳子的哈蜜頓 算丁为 H(o=hwo[o n(t) 式中,0o=e/ 成()=se+ sin 8 cos(wt)+snin1 因为[G戒]2=1,鸿体H的存值请为 这两个態量弃猃值均不依赖于时间.绝燕近条在例中积 达为:d《W0
旋转磁场中电子的自旋态： 静止于旋转磁场原点处的电子的哈密顿 算符可表为： Hˆ ptq “ 1 2 ℏ!0r~ ¨ ~nptqs 式中，!0 “ eB{，且： ~nptq “~e3 cos `~e1 sin cosp!tq`~e2 sin sinp!tq BE ! x3 x2 x1 O e 因为 r~ ¨ ~nptqs2 “ 1，此体系 Hˆ ptq 的本征值谱为： E˘ “ ˘ 1 2 ℏ!0 这两个能量本征值均不依赖于时间. 绝热近似条件在此例中表 达为：! ! !0. 10 / 32