的论证有 F-F2-Fs"Fr=-Foe-0 =1,2,3N (11) 因此，用这种特殊坐标表示的久期方程，具有 1-200000 0 0 0-20000 0 0 0 0-2000 0 0 0 00-100 0 0 0000-10 0 0 =0(12) 0000-2 0 0 0 00000F7一2F8 000000F7F8-1·· 。，.。t,g▣g 。华。 或 =0 (13) 因而，正如原来所述的那样，有六个表根，六个对应的运动简正模 式是平动和转动.而且咒，··，咒。是一组相应的简正坐标 用(1)式与2-1节方程(2)和(5)对比，表明，定义平动-转 动系统所需要的条件是 m.=0 4=1,2,3,4,5,6 (14) 2-6其它类型的坐标 前面引人的坐标9：对于理沦研究是最有用的，因为它们给动 能以简单的形式以及往简正坐标的变换是正交的这一有关事实， 但是，在实际应用上，其它类型的坐标常常是更为方便的。例如， ·26* PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,com,cn
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通常更容易的是，用普通的x,y,:坐标代替质权坐标9 笛卡儿坐标为了书写方便，符号5,5，·，5w将用来代 替△x1,△y,△1，△x,·,△zN;并用m:代表5：表示的原子的 质显.因此有 2T=】 (1) 和 v-点a (2) 用和先前一样的方法可得久胡方程，有 fi一m12f fi f13N fi:fa一m,2f f2.N ff影一m2 f有N =0(3) . ”。 ”。鄂 fN f3N.2 5w,5 ··fN,3N一3w2 形式，常数称为力常数，它不包含原子的质量，这与用质权坐 标9：表示的常数，正相反、两组常数间的关系为 (m,m注 (4) 一般情况不一定必须使用笛卡儿坐标。任何能使动能和 势能分别表示成速度与坐标的齐：二次型的坐标系均可使用。在 殷情况下，动能表达式 27-m (5) 式中的系数；可以是坐标：的函数.如果做适当处理，可把它们 展开为坐标的幂级致 -+之州. (6) 因为见在的理论只试图用于无限小的振动，所以除第一项外所有 其它项均可忽略。若势能有 427， PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.com,cn
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2p一游 (7) 形式，式中高次项已被忽略，则1由沙及到运动方程的通常考虑就可 得到久期方程 f指-af招一2.fiiN一w ”-1f拉一 ··f3w-2w之 m0(8) ”， f1一xaf2一N.2·faw一N3w2 这是久期方程最一般的形式. 内坐标 在至今引入的所有坐标系中，没有转动和平动的 六个条件均是在解久期方程之后令对应于平动和转动的六个简正 坐标等于零（见2-5节）而被利用。但是，在许多情况下，一始就 利用这六个条件消去原有坐标：中的六个，就更为方便了（符号 :用于一组最一般的3V个位移坐标，并不意呋着坐标必须是非 笛卡儿坐标).这是可能的，因为2-1节方程(2)和(5)的六个条 件是3N个坐标中的六个独立的关系. 减少原来坐标的数且可通过两种方法来进行。一种方法是采 用以其余3N一6个坐标表示大个：的六个条件.另一种方法 是，引入新的一组3N一6个坐标，S,.,5-6,它们是用六个 条件和联系S与刀的3W一6个关系来定义的.这样的坐标就是 大家所知道的内坐标，因为它们描述分子内部的构型而不考虑整 个分子在空间的位置。 无论在那种情况下，所得的动能和势能都应分别表示为速度 5:和坐标S,的二次型，正如以前那样系数也仅用常数部分，久期 方程除只有3W一6行和3W一6列（线型分子为3N-5)外，则 有与前面(8)式相同的形式。就是久期方程的这种降阶使得内坐 标的使用很有效，因为在多数简正坐标方法的应用中，最麻须的一 步就是解久期方程，随着方程次数的增加，因难急剧增长 需要着重指出的是，当采用的坐标无质量-调整的标度，因而 对简正坐标的变换不是正交变换时，2-4节方程(12)那种十分有 ·28 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,com,cn
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用的关系就不能使用了。 2-7一个实例 系统的描述如用本章所还的基本方法，甚至以水这样简 单的分子作为一个例解也会太麻烦。在以后的章节中将要提出更 为有效的方法（但以本章为基础）。在此，可表明，一个人为的例子 有助于说明简正振动和简正坐标的概念。图2-4所示的两个质点 和三条无重量弹簧的一个线型系统便提供了这样的一个例子，蝉 图2-4在2-7节讨论的线型两体振子的图示。0，和心：为固定的 支待物.质量m,和！m通过力常数为元和，之弹簧连接于w,和 山2，并且彼此间被力常数为f:之弹簧连接起来.所考虑的运动限 于沿x轴方向，4x和△名为，和m离开它们平衡位置在指示 方向上的位移 簧1和2被紧系于固定的点，这样便不会有平动或转动的问题参 与.此外，只考虑线性运动。新以，只需用两个坐标称它们为△x: 和Ax,分别代表质点1和2离开它们平衡位置的位移。 用笛卡儿坐标求解系统的势能为 2V=f(△)2+f(△)2+f(△r)月 (1) 式中i,i,是弹簧的力常数(Hooke定律常数)，△r1,△ru,Ar 是弹簧离开它们的平衡位置伸展的长度.在这种情况下，可以看 到 △t:=△x1Ar2m一△x1△r2=△x2-△x; (2) 因此 2V▣(j:+)(△x1)-2:△x1△x2+(f:+f)(△x)2（3) 29. PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建E,fineprint.com,cn
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动能有下列简单的形式 2T=m(Ay十（△.2） 于是2-2节方程(7)的运动力程变为 m△e,+(1+f)△，一天△x4=0 mAe:一i:△x1十(f+)△x4=心 会 △x1=A1cos(21十e) Axz=A:cos(1t+e) 代入得出振幅A1和A,的一对代数方程 (i+fm一m2)A1一42=0 (7) 一fad+(52+f2-mz2)A,=0 此方程仅当系数行列式为零时才有非器解，即 {i+f2一m,a 一2 一f .五+-m,20 (8) 这便恳本问题的久期方程，它的根（有两个）给出该系统的振动基 频()，因1=4xv.由于这个行列式仅有两行，因此容易展开， 并得到1的二次方程 m1m22一[m,(五+：)+m:(乐+)]2 fif2+(f+j)fu=0 (9) 此方程有两个根 a=2a,+a)+m(+1 土[m(+)一m,(乐+加+4m,m品}】 (10)》 振动的简正模式可这样求出，首先将上面的一个1值代入（⑦》 式，然后蒋代入另一个并解！在两种情况下的振幅A,之比， 特殊情况 考虑些特殊情况是有启发的。首允，令 mm,=m和无一方=千. 这样(10)式就变为 =f+f加扣) (1) m ·30· PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,com,cn
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