并求得A:的方程 1-品1+2) (12) 时， A1=一A: 和 1-1 (【3) 时， A-A 这种情况下的运动模式是十分简单的.对于第一个运动模式（最 高频率，这里必须是正的，因为它是弹簧的力常数)，两个质点 以相同的频率、相等的振幅，但以相反的位相振动见图2-5()】. 在低频率的运动模式中，如图2-5(b)所示，质点有相同的位相. 这里中间的弹簧在运动期间没有伸缩，因此没有进人2的表达 式中 () (b) 图2-527节的线型两体振子在m, m利大=方，的 特殊俏况下的运动简正模 若减小到零，则两个模式便有相同的频率，这正是各自的 质量被各自的弹簧紧系于固定点的情形。另一方面，若1减小到 琴，一个频末变为零，而另一个则为1一(2/m)f.所给出，或在一 毅的情况下由 一m+] L州m 给出.这是对于一个自由双原子分子的结果 值得注意的是，对于每个问题不需要写下对应于(5)，(6)和 (7)的方程，因为可以看到，久期方程的元素能直接从2T和2 的表达式[见2-6节方程(6)一(8)]得到。但要注意，第一行和第 ·31 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
二列的元素是一，它是2V式中△rA,的系数的子这样才对， 因为(3)式的一2f:△x,△项实际是一f△x1△x一fz△xAx1. 采用质权坐标在本处理中采用了平动的笛卡儿位移坐 标，然而在本章较前部分曾使用过质权笛卡儿坐标。若 91=(1)△x1和g2（m)△x2, 则动能和势能就变为 2T-好+站 (m)+6+明14) 2w-i+越i-2,i加 m m 因此久期方程有 l质+f起一元 m (mm;) ✉0 (15) 一i 五+一 (m.m2) 形式。这和前面(8)的形式不同，其差别仅是每一行和每一列除 以(m),i是行或列的编号.所以根1是不变的. 简正华标当要求求出简正坐标时，质权坐标就特别适用， 因为联系这两组坐标的变换是正交的，由2-2节方程(12)和(10)》 看出，变换系数1；为下列方程所决定. (在+i-效) m,m):0 12 (16) C也+(B+-t=0 m 式中代入了适当的根k,这些方程仅决定！的比值，它们的绝对 值由归一化条件来确定[2-2节方程(13)】 +绿=1分+场一1 (17) 在前面处理过的f=方，和m:一m,的特殊情况下，用(11)，（16) 和(17)式可引出结果 (18) ·32· PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
因而简正坐标为 01m2(g:-g2)02=2(g1+9) (19) 用这些坐标表示的势能和动能具有 27mQ1+122 (20) 2T-?+03 形式。此处和是久期方程的两个根.读者应能对于上面考 虑过的特殊情况证实这个结果。 2-8线型分子 前面各节涉及到这一事实，即线型分子（如CO,CH等）是特 殊的，因它们仅有五个墨频率的运动模式，随之有3N一5个振动 的简正模式。在线型分子的情况下，2-1节方程(5)给出关于运 动坐标系的三个条件就减到了两个方程，若分子轴取：方向，这两 个方程为 macuAya=0 =1 (1) 这是正确的，因为所有原子的平衡位置均位于x轴上，使这些平衡 位置的坐标分别为aa,b,ca,仅c。不等于零.因为一共只有五 个条件，所以只有五个零频率的运动.那个脱落的条件是禁止围 绕“轴转动，因为把线型分子考虑成是由质点组成的，除非它已变 形，否则是不能围绕其轴转动的. 但是，当某一振动的过程使分子弯到线外时，讨论围绕其轴转 动的可能性就有意义了，这样一个转动不被上面任何条件所禁 止，而可产生围浇该轴的一个角动量.但目前所考虑的离开平衡 的位移是无限小的，因此不会产生这样的问题. 线型分子势能中的二次项，不包含任何沿轴位移和垂直轴位 移的交义乘积；即不包含△x△g或△y△#类型的项（这里c可 ·33· PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
等于)。这是由于分子和它的势能两者都对称于这个轴的结果. 所以如象△x.△日这样项的系数必须为零，因为这样的项当△x。 为正和△x。为负时所得势能不同.用相同的论证可以看到△x。和 △ya之间不能有交义乘积.线型分子的 久期方程因此会有许多零元素，若坐标 的编号这样选择，首先为所有的x,然后 为y,最后为，则久期方程便有图2-6 所示那样的一般形式，在图中阴影面表 示方程具有非零元素的部分，而非阴 面表示所有元素为翠的部分。具有这种 位移坐标时 期方程 形式的久期方程称为因子化的，阴影部 于劳脂函数的 分称为因子，因为当整个行列式展开时 对称生 可能注行因子分解。 能写为几个因子的乘积，已展开的每一 所有非零元紫落在阴影面 上，而这三块分别对应于 个阴影块考虑为一个较小的、分离的行 △x,△y和△ 列式.如此因子化的久期方程，其结果 就等同于一些对应于阴影块的较小而分离的行列方程. 因为一线型分子的久期方程劈裂成三个因子，一个包含坐标 △x,另一个包含△ya,第三个包含△a,接着由久期方程与振动 简正模式间的关系（见2-2节)，便有x,y和：三个方向的振动 因此简正振动所包含的位移要么沿着分子的轴，要么与该轴成直 角，但两者决不在振动的同一个简正模式里。（当然，这不阻止分 子在一种混合状态中振动，但这样一种运动不是振动的一个简正 模式，而是简正模式的叠加) 线型分子对其轴对称性的另一结果是位移与轴成直角的简正 振动以相同的简并频率成对发生。这之所以是正确的，是因在这 样的一个分子中有x和y方向在物理上的不可区别性的缘故. 所有原子位于同一平面的分子有这样的性质，势能的二次项 没有在平面内的位移和垂直于平面位移的交叉项，其理由与对于 线型分子相似的结果相同。因此，对于一平面分子，其久期方程 至少有两个因子，而其振动的简正模式或者是在平面上的或者是 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
垂直于乎面的运动.但是，平面分子并非必然显出任何的简并 在第六章将会表明，久期方程的因子分解与分子的对称生有 关，而且这种分解能发生在既不是线型也不是平面分子的情况 中. 参考文献 [1] a8c7m Mechanics. New York and London,1927. 在分子上的应用可卷看： ，Verhandi.det.phys诀Ge,16,737(1914). D.M.Demnison,Regr.Mod.(1931). 【2」未经证明而用于本章的数学定理，其证明可参看： G.Birkhoff and S.MacLane,"A Survey of Modern Algebra",Macmi. llan,New York,1944. M.Bocher,"Higher Algebra",Macmillan,New York,1929. R.A.Frazer,W.J.Duncan,and A.R.Collar,"Elementary Matrices", Cambridge,New York and London,1938. ·35· PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn