新的坐标？，一1,2，.，3W,叫做简正坐标。将会证明，与运 动的每一个简正模式相联系有一个简正坐标，反之亦然。简正坐 标是用质权笛卡儿位移坐标：通过下列线性方程 2=∑9： -1,2,.,3N (1) 11 来定义的，式中：是这样来选择的，即使得以新坐标表示的动能 和势能具有 2T-∑% 2w-340 (2) 来=1 k=1 形式.换句话说，以简正坐标表示的势能没有交又项的乘积，仅有 ?的平方项，而动能仍保留其原来的形式. 现在就来论证，是怎样与2-2节方程(12)的相关联 节，以及是怎样与简正频率2相关联的.注意，指标：和i是 表示9坐标的，而及和1是表示Q坐标的. 线性变换 来联结如同9和Q的两组量的“组线性代数方 程，称为个线性变换。若已给定原来坐标的数值，则由方程(1) 便可得到新坐标(Q)的数值.下列方程组 -22: =1,2,·,3N (3) 当Q已知时，便给出4的数值，因而称为变换(1)的逆变换.将 (3)式代入(1)式，或反之将(1)式代入(3)式，可以看到 (4) sH是Kronecker 8符号. 符号(1)k常用做有系数1的变换的逆变换系效 运动方程 若用简正坐标，则运动方程变为 d or =+2：=0 =1,2,·,3N(5) t806606 它的解为 k=人Acos(t十) =1,2,.,3N(6) ·21· PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
式中K:和（为任意常数.以g表示的解可从(3）式获得，其结 果为 -空Kes(a,+6 (7) 1 将这种形式的通解和2-3节方程(1)给出的通解作一比较，就可 看出 l=lt和女e1 (8) 因此，标志运动简正模式的系数：和由简正坐标Q←变换到原来 坐标：的系数，相同，而久期方程的根2黄是2V表达式中？的 系数. 正交性 向简正坐标的变换还有一个十分重要的性质。将 一组坐标的平方之和变换到另一组坐标平方之和的某种变换称为 一个正交变换.因为公→2，所以？给出4的变换是一个 正交变换.由(3)得到 急-盆04一空 (9) 1 最初项和最后顶的等式是简正坐标定义的一部分，因(9)式正 确，下面的关系 hdiu (10) 必须成立.而且，利用包括以9，给出变换[系数对一()k:】 的相似论证，可以看出 ∑(-)(-= (11) 与(4)和(8)式的比较表明， (11):=1i (12) 正交变换的这种性质十分方便.[内此，如表2-1那样的一个变换 系数表，即给出9至Q的变换（竖速），也给出由？到4的逆变换 (核读). 代表运动简正模式的图也可用米表示简正坐标，只要所画的 ·22· PDF文件使用"pdfFactory Pro'”试用版本创建，fineprint,.com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
表21正文变换的变换泵数 2,N l,5N G3N 箭头代表的不是以平常的单位，而是以经过质量调整*的坐标： 标度的位移就行了。箭头沿着坐标9：方向的分量正比于【，且因 为()：一1：，所以这种图不仅表示原子处于运动简正模式时 的相对振幅，而且也表示出定义简正坐标？（例见图2-1）的变换 系数” 0e=∑9： (13) 2-5零频率的运动模式 -组特殊的坐标前面已经提过，2-2节久期方程(11)的 3V个根中有六个零值.现在就来证明此点，证明的根据是，有六 个零频率的运动模式，即三个平动和三个转动。久期方程的根取 决于分子的性质而不取决于建立方程的特殊坐标系的性质。因此 可能使用一组特殊的坐标究，咒2，·，究N,它具有下列性质：(a) 它可通过正交变换以9定义；(b)其中的6个咒为 X=9肌之m2q 咒-9%，之m语9 a=l 一译者连。 (1)= 性质的类似变换称为正交变换，它将乞：计变焕成上0，. ·23 PDF文件使用"pdfFactory Pro'”试用版本创建ww,fineprint.com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
R-9北之mg d: (1) R,=9儿之m(b.gu-c9 a= 究，=9∑m(co9n一4a) R-元之ne.9-6gn） 式中9。一m△.等，指标a是用来表示原子而不是表示坐标的， 这种记号法只不过是正则坐标91,2，·，9w的另一种记数方法， 用以区别出与三个坐标方向有关的量.aa,b,c。是第“个原子 在平衡位置时的坐标.刃是选择得使变换为正交的归一常数，上 面的条件并不能完整地说明咒的其它情况，但这并不需要.以咒 表示的动能和势能具有 2r-之 2p-∑F.RR (2) 形式，用2-2节相同的步骤得到久期方程 Fu-2 Fu F F1N F1Fa-1F2· F2,3N F3 FF为-1. F3,3N 0(3) 4。· ·。 . ◆ 。 ·Fway-元 平动的彰响 下面将证明整个分子沿x方向的一个无限小 的平动x使巩，变化到究，+肌，：∑∑m,但不会影响其它的咒.平 d=1 动t使每个。加上T,因为qa=m△xa,所以它使每个ga加上 m:.这样由巩，的定义得 %,-9几∑mqa→9∑m(gn+mx)=咒+儿xm (4) ·24+ PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn
定义头的变换可号为 咒.-2(lo9a+mo9u十no9n) (5; 式中量！a,ma和na为变换系数.因为变换是正交的， 是0n十mm+w）-0kt (6) 代入由(1)式取的la,ma和na的值，绘出 () 因而，在方向的平动x对究。有如下影响： R。→∑[la(9a+mr)+mo4u+no9:】 =咒。+r∑me=咒.8≠1 (8) 所以，咒，是代表在x方向平动的坐标，而其它坐标则与这一平动 无关. 完全相同的论证，说明咒和究：分别代表在y和：方向的平 动。考感绕x,y和：轴无限小转动的影向，用相同的方法求得这 些运动分别为究，咒，和究。所量度，并且它们不影响其它的究， 势能的形式由于势能只取决于分子的内部构型，因此它 不为平动或转动所改变.在x方向的平动x有 3N 2r3F戏 2F,(9究4+Y)i, ya主 +》Fm(保+r）+F(风+Y+三F成， =∑Fw咒究。+2Y∑F咒。+Y”F: (9) 效应，式中Y=见x∑洲。.因为2V必须不为此平动所改变，即 必须与丫无关，所以不管外取什么值，下式必须成立 Fie0 =1,2,·,3N (10) 对在y和方向的平动和绕x,y及：轴作无限小的转动，作相同 ·25· PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.com,cn
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.com.cn