3.21流体流动及流体动力学 Adam powell 2003年4月23-30日 摘要 材料科学与工程主要研究材料的结构性能以及加工工艺之间的关系。加工工艺对结构的影 响主要是通过反应动力学,相变化以及传质传热来实现的。通常一个过程的关键控制步骤是对 某单元提供足够的能量或试剂,而试剂或能量常常又是通过流体传递的,因此流体流动对能量 以及质量的传递速率有很大的影响。由于在流体流动时既有扩散又有对流,而且对流流动时流 体速度对浓度和温度分布有影响,因此流体流动中的传质和传热要比在固体中的复杂。另外, 非线性的对流传递将导致湍流的发生。湍流的本质是对流,可以强化质量、热量及动量的扩散。 在接下来的四讲中将会介绍流体动力学的一些概念:动量传递,对流流动,流体性质的封 闭方程(奈维-斯托克斯方程),耦合流动,溶质/热量在流体中的扩散以及湍流流动及输送。最 后将介绍一定流动状态下流体与简单集合形状固体之间的传质、传热系数的计算方法,并将其 扩展到较复杂的情况。通过本部分的学习,将会使读者对于流体输送中的流体动力学具有较深 的了解,并得到系统的动力学知识。 目录: l.动量扩散剪应力压力和斯托克斯流动 1.1溶质扩散及热量扩散简介-- 12速度矢量场及动量扩散张量 333 -5 13动量扩散与机械应力的关系 14斯托克斯流动- 14.τ的分解方程- 142密度p的表达式 143质量守恒与连续性方程 144简化的封闭斯托克斯流动方程 15溶质扩散、热量扩散及动量扩散小结 16例题 16.1库爱特流动- 16.2由于重力作用沿倾斜面的流动-8 163绕过球体的流动 7练习 2.随体导数及奈维斯托克斯方程一 21随体导数- 10 2.1.1例题:热传导、对流、熔化--
1 3.21 流体流动及流体动力学 Adam Powell 2003 年 4 月 23－30 日 摘 要 材料科学与工程主要研究材料的结构性能以及加工工艺之间的关系。加工工艺对结构的影 响主要是通过反应动力学，相变化以及传质传热来实现的。通常一个过程的关键控制步骤是对 某单元提供足够的能量或试剂，而试剂或能量常常又是通过流体传递的，因此流体流动对能量 以及质量的传递速率有很大的影响。由于在流体流动时既有扩散又有对流，而且对流流动时流 体速度对浓度和温度分布有影响，因此流体流动中的传质和传热要比在固体中的复杂。另外， 非线性的对流传递将导致湍流的发生。湍流的本质是对流，可以强化质量、热量及动量的扩散。 在接下来的四讲中将会介绍流体动力学的一些概念：动量传递，对流流动，流体性质的封 闭方程（奈维-斯托克斯方程），耦合流动，溶质/热量在流体中的扩散以及湍流流动及输送。最 后将介绍一定流动状态下流体与简单集合形状固体之间的传质、传热系数的计算方法，并将其 扩展到较复杂的情况。通过本部分的学习，将会使读者对于流体输送中的流体动力学具有较深 的了解，并得到系统的动力学知识。 目录： 1. 动量扩散、剪应力、压力和斯托克斯流动-------------------------------------------------------------------3 1.1 溶质扩散及热量扩散简介--------------------------------------------------------------------------------3 1.2 速度矢量场及动量扩散张量-----------------------------------------------------------------------------3 1.3 动量扩散与机械应力的关系-----------------------------------------------------------------------------4 1.4 斯托克斯流动-----------------------------------------------------------------------------------------------5 1.4.1τ的分解方程-----------------------------------------------------------------------------------------5 1.4.2 密度 ρ的表达式-----------------------------------------------------------------------------------6 1.4.3 质量守恒与连续性方程----------------------------------------------------------------------------6 1.4.4 简化的封闭斯托克斯流动方程------------------------------------------------------------------6 1.5 溶质扩散、热量扩散及动量扩散小结--------------------------------------------------------------------7 1.6 例题-----------------------------------------------------------------------------------------------------------7 1.6.1 库爱特流动---------------------------------------------------------------------- --------------------7 1.6.2 由于重力作用沿倾斜面的流动----------------------- -------------------------------------------8 1.6.3 绕过球体的流动-------------------------------------------------------------------------------------9 1.7 练习------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 2. 随体导数及奈维-斯托克斯方程------------------------------------------------------------------------------9 2.1 随体导数-----------------------------------------------------------------------------------------------------10 2.1.1 例题：热传导、对流、熔化-------------------------------------------------------------------------11
22流体流动方程中的对流项- 22.1连续性方程-- 222动量对流 223奈维一斯托克斯方程-- 224例题:圆管内流动 23雷诺数 -14 2.3.1例题:绕球体的流动- 14 4湍流的形成- 2.5练习------------- 3层流边界层与曳力系数一 3.1简例:运动固体的“热边界层” ---16 3.2经典流动范例:平板上流动- 16 3.21平壁上流动的动量边界层- 3.22边界层与入口长度 18 3.2.3平壁上层流流动时曳力 3.3摩擦因数-------------------19 3.31平板上摩擦因数 3.32管内流动 3.33绕球体流动 3.34绕柱体流动- 34练习- 4传热和传质系数的计算 41对流传热和传质系数 23 41.1相对扩散系数:普朗特数---23 41.2无量纲传递系数:努塞尔数 23 42平壁强制对流- 42.1普朗特数小的情况 422普朗特数大的情况-- 42.3湍流的影响 43自然对流- 44小结:求解步骤- 4.5练习 6 无量纲数群组小结 2
2 2.2 流体流动方程中的对流项--------------------------------------------------------------------------------12 2.2.1 连续性方程------------------------------------------------------------------------------------------12 2.2.2 动量对流--------------------------------------------------------------------------------------------12 2.2.3 奈维—斯托克斯方程-----------------------------------------------------------------------------13 2.2.4 例题：圆管内流动---------------------------------------------------------------------------------14 2.3 雷诺数-------------------------------------------------------------------------------------------------------14 2.3.1 例题：绕球体的流动-------------------------------------------------------------------------------14 2.4 湍流的形成--------------------------------------------------------------------------------------------------14 2.5 练习-----------------------------------------------------------------------------------------------------------14 3 层流边界层与曳力系数---------------------------------------------------------------------------------------15 3.1 简例：运动固体的“热边界层”---------------------------------------------------------------------------16 3.2 经典流动范例：平板上流动----------------------------------------------------------------------------- 16 3.2.1 平壁上流动的动量边界层----------------------------------------------------------------------- 17 3.2.2 边界层与入口长度----------------------------------- --------------------------------------------18 3.2.3 平壁上层流流动时曳力--------------------------------------------------------------------------18 3.3 摩擦因数----------------------------------------------------------------------------------------------------19 3.3.1 平板上摩擦因数---------------------------------------------------- ------------------------------19 3.3.2 管内流动------------------------------------------------------------------------------------------- 20 3.3.3 绕球体流动---------------------------------------------------------------------------------------- 21 3.3.4 绕柱体流动---------------------------------------------------------------------------------------- 21 3.4 练习----------------------------------------------------------------------------------------------------------21 4 传热和传质系数的计算----------------------------------------------------------------------------------------22 4.1 对流传热和传质系数-------------------------------------------------------------------------------------23 4.1.1 相对扩散系数：普朗特数------------------------------------------------------------------------23 4.1.2 无量纲传递系数：努塞尔数-------------------------------------------------------------------- 23 4.2 平壁强制对流----------------------------------------------------------------------------------------------24 4.2.1 普朗特数小的情况---------------------------------------------------------------------------------24 4.2.2 普朗特数大的情况--------------------------------------------------------------------------------25 4.2.3 湍流的影响------------------------------------------------------------------------------------------25 4.3 自然对流-----------------------------------------------------------------------------------------------------25 4.4 小结：求解步骤---------------------------------------------------------------------------------------------26 4.5 练习-----------------------------------------------------------------------------------------------------------26 无量纲数群组小结------------------------------------------------------------------------------------------------26
1.动量扩散、剪应力、压力和斯托克斯流动 因为由剪切力引起的动量传递速率与动量梯度成正比,所以粘性剪切是一个扩散过程,这 和溶质及热量扩散非常相似。本章首先简单回顾溶质扩散和热量扩散,介绍动量扩散的概念, 剪应力张量的表达及压力的作用,并得到封闭系统的斯托克斯流动方程:斯托克斯流动方程是 个偏随体导数,其中的标量和矢量分别描述低速流体流动系统的压力与速度 1.1溶质扩散和热量扩散简介 在溶质扩散中,有一个浓度场Cx,y,z),单位是摩尔(或者克)单位体积;通量J,单位是 摩尔/(单位面积单位时间),因此守恒方程可以写作 =-V·j+G at 注:当忽略动量的对流传递时,斯托克斯流动依然成立(23节中)。 式中,G是由于化学物质、原子或由其它物质产生的起源项。J可由费克(Fck)第一定律得 J -DVC (其中D是扩散系数) 从而得到封闭的浓度控制方程: at V·DVC+G D值恒定时,上式可化为: aC DV20 在热量扩散过程中,场变量是T(xy,z),通量q的单位是每单位面积和单位时间的热能。 这样就需要把能量单位换成温度单位。在恒压条件下: aH =OC ot 式中,q仍可以通过下面的方程来求解,其中的k是热导率 q=-kVT 为方便起见,假定k为常数,可定义热扩散系数a=k/PCn,从而得到封闭的与温度T有 关的偏随体导数: kV+ 12速度矢量场与动量扩散张量 流体流动与上述溶质扩散和热量扩散不同,因为场变量是矢量场u(x,y,z),即流体速度 但是我们可以像质量及热量传递那样对每一扩散组分写出守恒方程及推导方程。描述每一组分 在各个方向动量传递的动量通量是一个二阶张量r,例如r是x方向的动量在y方向的传递
3 1. 动量扩散、剪应力、压力和斯托克斯流动 因为由剪切力引起的动量传递速率与动量梯度成正比，所以粘性剪切是一个扩散过程，这 和溶质及热量扩散非常相似。本章首先简单回顾溶质扩散和热量扩散，介绍动量扩散的概念， 剪应力张量的表达及压力的作用，并得到封闭系统的斯托克斯流动方程：斯托克斯流动方程是 一个偏随体导数，其中的标量和矢量分别描述低速流体流动系统的压力与速度。 1.1 溶质扩散和热量扩散简介 在溶质扩散中，有一个浓度场 C(x, y, z), 单位是摩尔（或者克）/单位体积；通量 J ，单位是 摩尔/（单位面积单位时间），因此守恒方程可以写作： j G t C = −∇ ⋅ + ∂ ∂ r (1) 注：当忽略动量的对流传递时，斯托克斯流动依然成立（2.3 节中）。 式中，G 是由于化学物质、原子或由其它物质产生的起源项。 J 可由费克（Fick）第一定律得: J = −D∇C （ 其中 D 是扩散系数） (2) 从而得到封闭的浓度控制方程： D C G t C = ∇ ⋅ ∇ + ∂ ∂ (3) D 值恒定时，上式可化为： D C G t C = ∇ + ∂ ∂ 2 (4) 在热量扩散过程中，场变量是 T(x, y, z), 通量 q 的单位是每单位面积和单位时间的热能。 这样就需要把能量单位换成温度单位。在恒压条件下： q q t T c t H p = −∇ ⋅ + & ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ (5) 式中， q& 仍可以通过下面的方程来求解，其中的 k 是热导率： q = −k∇T (6) 为方便起见，假定 k 为常数，可定义热扩散系数 p α = k / ρc ，从而得到封闭的与温度 T 有 关的偏随体导数： p c q k t T ρ & = ∇ + ∂ ∂ 2 (7) 1.2 速度矢量场与动量扩散张量 流体流动与上述溶质扩散和热量扩散不同，因为场变量是矢量场u (x, y, z), 即流体速度。 但是我们可以像质量及热量传递那样对每一扩散组分写出守恒方程及推导方程。描述每一组分 在各个方向动量传递的动量通量是一个二阶张量τ ，例如 yx τ 是 x 方向的动量在 y 方向的传递
由于热量扩散的存在,守恒方程比较复杂,但是动量密度pu却可以很容易地写出,所以ⅹ方 向的守恒方程分量为 a(x2) 公式(8)并不完整,仅仅描述了剪应力对ⅹ方向动量累积的贡献。 13动量扩散与机械应力的关系 对剪应力来说,这个“动量通量”,根据牛顿定律可以被认为是应力: F=- d(mv) (9) 因此动量累积速率等同于力,每单位面积的动量累积就是力或剪应力的累积。和机械应力 一样剪应力也是对称张量:rx=但动量通量剪应力张量r与机械应力之间有两点根本 机械应力与动量扩散的符号规定是相反的: (10) 在远古时代,力学工程师与化学工程师都分别蜗居在不同的山洞中,只有看到浓烟信号他 们才会走到一起,所以当他们遇到相同的问题时各自的说法不同,因此公式没有统一的表达 但作为材料工程师,我们却必须将二者统一起来。力学工程师将张力表达为正,压力表达为负 并规定箱子上方x方向大于下方的力称为正应力,即σ、>0。化学工程师认为作用于底部的 力大于顶部的力,从而引起x-动量沿着y轴正方向扩散,即r>0,这意味着x方向的剪应力 r>0时物体处于压缩状态。如图1所示: 剪切力 正应力 图1应力状态的符号规定 由于r是剪应力,又没有偏应力,因此对角线之和为零 +t+t=0 因此,剪应力τ的自由度比机械应力σ的小1(三维中5对6,二维中2对3)。由于自
4 由于热量扩散的存在，守恒方程比较复杂，但是动量密度 ρu 却可以很容易地写出，所以 x 方 向的守恒方程分量为 x y z ( ) xx yx zx ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂ ρ τ τ τ t 剪切 ux （8） 公式（8）并不完整，仅仅描述了剪应力对 x 方向动量累积的贡献。 1.3 动量扩散与机械应力的关系 对剪应力来说，这个“动量通量”，根据牛顿定律可以被认为是应力： dt d(mv) F = ma = （9） 因此动量累积速率等同于力，每单位面积的动量累积就是力或剪应力的累积。和机械应力 一样剪应力也是对称张量： yx zx τ = τ 。但动量通量/剪应力张量τ 与机械应力σ 之间有两点根本 的区别： 1.机械应力与动量扩散的符号规定是相反的： xy xy σ = −τ （10） 在远古时代，力学工程师与化学工程师都分别蜗居在不同的山洞中，只有看到浓烟信号他 们才会走到一起，所以当他们遇到相同的问题时各自的说法不同，因此公式没有统一的表达。 但作为材料工程师，我们却必须将二者统一起来。力学工程师将张力表达为正，压力表达为负， 并规定箱子上方x方向大于下方的力称为正应力，即 > 0 σ yx 。化学工程师认为作用于底部的 力大于顶部的力，从而引起x-动量沿着y轴正方向扩散，即τ yx > 0 ，这意味着x方向的剪应力 τ xx > 0时物体处于压缩状态。如图1所示： 剪切力 正应力 = > 0 yx xy τ τ − = > 0 yy xx τ τ = < 0 σ yx σ xy − = < 0 σ yy σ xx 图1 应力状态的符号规定 由于τ 是剪应力，又没有偏应力，因此对角线之和为零： τ xx +τ yy +τ zz = 0 （11） 因此，剪应力τ 的自由度比机械应力σ 的小 1 （三维中 5 对 6，二维中 2 对 3）。由于自
由度小,必须用P来补充r 0.+O+ (12) 3 在流体系统中,压力是一个附加的标量。 因此,流体剪应力与机械应力的关系为 (13) 其中I是单位矩阵 14斯托克斯流动 压力对动量产生影响是因为压力提供了一个沿着压力梯度方向的推动力。在式8中引入压 力可以得到x方向上动量守恒的完整公式: a(pu ,) ap ar atyr ar. (14) 三个方向的分量合起来可以用一个矢量公式来表示: a(pur) at--vp-v.T+F (15) 式中,F代表体积力,如重力,洛仑兹力等。上式就是斯托克斯流动的流动方程,在低速高粘 度条件下适用 公式15并不完整,矢量方程中只涉及到矢量u、张量r以及标量p和p,而在三维空间 中公式15有3个方程和10个未知数。如果我们把推导方程中的r表示成速度和密度的函数 再加上连续性方程,就可以消去5个未知数。 141的基本方程 可以通过类比溶质扩散和热量扩散的式子2和6求得τ。对于牛顿型流体,剪应力与速度 梯度成线性关系,其斜率为粘度系数η ryx=-7x=-7( (16) 式中,y是剪切形变的速度张量。机械力学研究应力与形变的关系;而由于规定流体没有 场应力,流体动力学研究应力与形变速率的关系。这就是为什么弹性方程表现出波的性质而流 体方程表现出扩散的性质。在括号里的两个偏微分是为了保持剪应力与形变的对称。动量扩散 通量与负的速度梯度成正比:溶质扩散通量与负的浓度梯度成正比,热量通量与负的温度梯度 成正比。对角线应力还有一项,在这里我们就不讨论了,但会出现在推导方程的矢量式中 z=-(V+vu-=V·u) 式中,T是第二个速度梯度外积转置的标记。转置是为了保持对称。 剪切张力是无量纲数,但剪切张力速率的量纲是1时间,所以粘度的量纲是时间×应力
5 由度小，必须用 P 来补充τ ： 3 xx yy zz p σ +σ +σ = − （12） 在流体系统中，压力是一个附加的标量。 因此，流体剪应力与机械应力的关系为： pI σ ij = −τ ij − （13） 其中 I 是单位矩阵。 1.4 斯托克斯流动 压力对动量产生影响是因为压力提供了一个沿着压力梯度方向的推动力。在式 8 中引入压 力可以得到 x 方向上动量守恒的完整公式： x x y z p t ux xx yx zx ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂(ρ ) τ τ τ （14） 三个方向的分量合起来可以用一个矢量公式来表示： p F t ux = −∇ − ∇ ⋅ + ∂ ∂ τ (ρ ) （15） 式中， F 代表体积力，如重力，洛仑兹力等。上式就是斯托克斯流动的流动方程，在低速高粘 度条件下适用。 公式 15 并不完整，矢量方程中只涉及到矢量 u 、张量τ 以及标量 p 和 ρ ，而在三维空间 中公式 15 有 3 个方程和 10 个未知数。如果我们把推导方程中的τ 表示成速度和密度的函数， 再加上连续性方程，就可以消去 5 个未知数。 1.4.1τ 的基本方程 可以通过类比溶质扩散和热量扩散的式子 2 和 6 求得τ 。对于牛顿型流体，剪应力与速度 梯度成线性关系，其斜率为粘度系数η ： ( ) x u y ux y YX yx ∂ ∂ + ∂ ∂ τ = −ηγ& = −η （16） 式中，γ& 是剪切形变的速度张量。机械力学研究应力与形变的关系；而由于规定流体没有 场应力，流体动力学研究应力与形变速率的关系。这就是为什么弹性方程表现出波的性质而流 体方程表现出扩散的性质。在括号里的两个偏微分是为了保持剪应力与形变的对称。动量扩散 通量与负的速度梯度成正比；溶质扩散通量与负的浓度梯度成正比，热量通量与负的温度梯度 成正比。对角线应力还有一项，在这里我们就不讨论了，但会出现在推导方程的矢量式中： u u uI T = − ∇ + ∇ − ∇ ⋅ 3 2 τ η( ） （17） 式中，T 是第二个速度梯度外积转置的标记。转置是为了保持对称。 剪切张力是无量纲数，但剪切张力速率的量纲是 1/时间，所以粘度的量纲是时间×应力