在国际单位制中就是N5=kB。在厘米克秒(cg)中,我们把泊(pose)定义为1=。 水的粘度系数是00 Poise或厘泊( centipoise)。许多流体粘度系数都是以厘泊( centipoise)为 单位的,在国际单位制中厘泊 (centipoise)-=001x3 14.2密度ρ的表达式 密度通常只是压力P的函数。例如理想气体状态方程就给出了十分接近真实值的密度表达 n p (18) 在液相或低速气相流动中(低于3马赫,压力变化不超过绝压平均值的10%),偏差非常小 因而密度可以看为是定值。这个条件对于不可压缩流体来说是充分不必要条件,关于这一点将 在22.1中详细阐述 143质量守恒与连续性方程 与密度和剪应力不一样,压力不能简单地表示成其他变量的函数。但是质量守恒定律可以 求解封闭的斯托克斯流动系统。质量通量是一个乘积项,等于密度与速度的乘积pu(巧合的 是,其也是动量密度):由于相界面以及其他一些因素可能导致平衡系统的密度不均匀,因此密 度梯度本身并不会引起传递,换句话说就是没有“质量扩散”。从质量守恒方程即连续性方程可 以推出质量累积速率等于对流质量通量散度 (19) 通常写为 op+uVppVu=o (20) 如果流体不可压缩,则前两项为零,上式变为 V·tt=0 (21) 144简化的封闭斯托克斯流动方程 付于η与p恒定的牛顿型流体,可以将式15写为 u +nlV2u+v( Vu u)]+F 当流体不可压缩时,ⅴ·u=0,所以剪切张力散度的第二、三项为零;将剩余项除以pρ +2t+ F (23) 参数U=n/是动力学粘度系数,也称作动量扩散系数。由于式22与扩散方程在形式上 很相似,因此动力学粘度系数与热扩散系数a=k/Cp相似。以水为例,它的动力学粘度系数 6
6 在国际单位制中,就是 m s kg m N s 2 ⋅ = ⋅ 。 在厘米-克-秒(cgs)中,我们把泊(poise) 定义为 1 2 cm erg ⋅s 。 水的粘度系数是 0.01poise,或厘泊(centipoise)。许多流体粘度系数都是以厘泊(centipoise)为 单位的,在国际单位制中厘泊(centipoise) =0.001 2 m N ⋅s 。 1.4.2 密度 ρ 的表达式 密度通常只是压力 P 的函数。例如理想气体状态方程就给出了十分接近真实值的密度表达: RT p V n ρ = = (18) 在液相或低速气相流动中(低于 3 马赫,压力变化不超过绝压平均值的 10%),偏差非常小, 因而密度可以看为是定值。这个条件对于不可压缩流体来说是充分不必要条件,关于这一点将 在 2.2.1 中详细阐述。 1.4.3 质量守恒与连续性方程 与密度和剪应力不一样,压力不能简单地表示成其他变量的函数。但是质量守恒定律可以 求解封闭的斯托克斯流动系统。质量通量是一个乘积项,等于密度与速度的乘积 ρu (巧合的 是,其也是动量密度):由于相界面以及其他一些因素可能导致平衡系统的密度不均匀,因此密 度梯度本身并不会引起传递,换句话说就是没有“质量扩散”。从质量守恒方程即连续性方程可 以推出质量累积速率等于对流质量通量散度: ( u) t ρ ρ = −∇ ⋅ ∂ ∂ (19) 通常写为 + ⋅∇ + ∇ = 0 ∂ ∂ u p u t ρ ρ (20) 如果流体不可压缩,则前两项为零,上式变为: ∇ ⋅ u = 0 (21) 1.4.4 简化的封闭斯托克斯流动方程 对于η 与 ρ 恒定的牛顿型流体,可以将式 15 写为: p u u uI F t u T = −∇ + ∇ + ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ ∇ ⋅ + ∂ ∂ ( )] 3 2 [ ( ) 2 ρ η (22) 当流体不可压缩时,∇ ⋅ u = 0 , 所以剪切张力散度的第二、三项为零;将剩余项除以 ρ : ρ ν ρ F u p t u + ∇ + ∇ = − ∂ ∂ 2 (23) 参数υ =η ρ 是动力学粘度系数,也称作动量扩散系数。由于式 22 与扩散方程在形式上 很相似,因此动力学粘度系数与热扩散系数 p α = k ρc 相似。以水为例,它的动力学粘度系数
00kg/(ms)=10m2/s 1000kg/m 式21,23组成了不可压缩牛顿型流体在粘度恒定时的斯托克斯流动方程 1.5溶质扩散、热量扩散和动量扩散小结 表一对溶质扩散,热扩散及动量扩散作了小结(括号中的数字是上面公式的编号)。 表1溶质,热量及动量扩散的比较 方程溶质扩散 热量扩散 动量扩散 守恒方程cC=-,万+0 H T =-V·q+q(5) a(our) F ot t t 推导方程(1) (15) q=kVT(6) 扩散系数J=-DVC(2) I=-n(Vu+Vu -=V 扩散方程|D=D T DVC+G =kV2+4(7) (17) 7/p F +2l+ (23) 6例题 16.1库爱特流动 库爱特( Couette)流动是两平行板间流动的简化,即一板运动,一板静止。例如,在两个 大的水平板间有一层lmm厚的水。上板以lcm/s的速度运动。我们讨论两种情况:(1)系统最 终达到的稳态:(2)从静止到稳态过程中的瞬态 稳态稳态时速度的时间导数为零。只要在流动方向上没有体积力或压力差,稳态时式23变 (24) 如果流体只沿着上板移动的方向流动,即ⅹ方向流动,且速度只在垂直平板的方向(y方 向)变化,则上式可化简为随体导数: (25) 通解为: Av+B
7 是 6 2 4 3 10 m /s 1000kg/m 0.001kg/(m s) − = ⋅ 式 21,23 组成了不可压缩牛顿型流体在粘度恒定时的斯托克斯流动方程。 1.5 溶质扩散、热量扩散和动量扩散小结 表一对溶质扩散,热扩散及动量扩散作了小结(括号中的数字是上面公式的编号)。 表 1 溶质,热量及动量扩散的比较 1.6 例题 1.6.1 库爱特流动 库爱特(Couette)流动是两平行板间流动的简化,即一板运动,一板静止。例如,在两个 大的水平板间有一层 1mm 厚的水。上板以 1cm/s 的速度运动。我们讨论两种情况:(1)系统最 终达到的稳态;(2)从静止到稳态过程中的瞬态。 稳态 稳态时速度的时间导数为零。只要在流动方向上没有体积力或压力差,稳态时式 23 变 为 0 2 ∇ u = (24) 如果流体只沿着上板移动的方向流动,即 x 方向流动,且速度只在垂直平板的方向(y 方 向)变化,则上式可化简为随体导数: 0 2 2 = dy d ux (25) 通解为: ux = Ay + B (26) 方程 溶质扩散 热量扩散 动量扩散 守恒方程 推导方程 扩散系数 扩散方程 J G t C = −∇ ⋅ + ∂ ∂ (1) J = −D∇C (2) D=D D C G t C = ∇ + ∂ ∂ 2 (4) q q t T c t H p = −∇ ⋅ + & ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ (5) q = −k∇T (6) p α = k ρc p c q k t T ρ & = ∇ + ∂ ∂ 2 (7) p F t ux = −∇ − ∇ ⋅ + ∂ ∂ τ (ρ ) (15) u u uI T = − ∇ + ∇ − ∇ ⋅ 3 2 τ η( (17) υ =η ρ ρ ν ρ F u p t u + ∇ + ∇ = − ∂ ∂ 2 (23)
上式是一维稳态动量扩散的表达式,与稳态溶质扩散及热扩散的表达式相似。 扩散研究的对象一般是通量,而在这里是剪应力(使流体流动每单位面积上需要的力)。剪应力 的表达式为 b=-10N001/ 0.00lm =-0.01 (27) 因为ⅹ方向的动量沿着y轴的负方向扩散,因此剪应力为负。必须对上板施加一个x方向 的力,对下板施加一个x逆方向的力,来维持这个流动场 瞬态现在讨论一下流体刚开始流动时的性质。在t=0时刻,平板与流体均为静态,这时上板 开始以lcm/s的速度在ⅹ方向上运动。假设在ⅹ方向上没有压力梯度或体积力,式23可变为 d-u at 这是基本的扩散方程。当初始条件为速度恒定,且边界条件是y=lmm,在短的时间间隔内 上式的解为 erfc( 在y=0处速度接近于零时上式成立。已知erfc(2)=0.005,我们可以将erfc(2)作为判断的标准 令 (y=0时) 2√vt 从上式求t得 (31) 到目前为止,误差函数方法还是有效的。 这个时间间隔与溶质扩散时间间隔一样,是长度的平方除以动量扩散系数。事实上,对于 溶质或热量扩散,我们可以用“较长时间”表达式 来近似等于上面稳态解成立的时间,在这里是(001)2/(10°m2/s)=1秒。 在t=0时刻,初始条件与边界条件的单一性导致了剪应力的单一性。在t=0时刻,erfc函数在 y=lmm处的导数是无穷大的,从而需要一个无穷大的剪应力来使速度从0阶跃到lcm/s。剪应 力可以表示为1/√t,所以时间积分和每单位面积的脉冲是有限的。只要电动机能够提供一个相 对于稳态很大的动力,边界条件就会被近似满足,从而erfe的解基本正确 16.2由于重力作用沿着倾斜面的流动 (这部分参见 DR Poirier与 G.H. Geiger合编的“ Transport Phenomena in Materials Processing”的第二章) 8
8 上式是一维稳态动量扩散的表达式,与稳态溶质扩散及热扩散的表达式相似。 扩散研究的对象一般是通量,而在这里是剪应力(使流体流动每单位面积上需要的力)。剪应力 的表达式为: 2 2 3 0.01 0.001 0.01 / 10 m N m m s m N s y ux YX = − ⋅ = − ∂ ∂ = − − τ η (27) 因为 x 方向的动量沿着 y 轴的负方向扩散,因此剪应力为负。必须对上板施加一个 x 方向 的力,对下板施加一个 x 逆方向的力,来维持这个流动场。 瞬态 现在讨论一下流体刚开始流动时的性质。在 t=0 时刻,平板与流体均为静态,这时上板 开始以 1cm/s 的速度在 x 方向上运动。假设在 x 方向上没有压力梯度或体积力,式 23 可变为 2 2 dy d u t ux x =ν ∂ ∂ (28) 这是基本的扩散方程。当初始条件为速度恒定,且边界条件是 y=1mm,在短的时间间隔内, 上式的解为: ) 2 1 1 ( t mm y erfc s cm ux ν − = × (29) 在 y=0 处速度接近于零时上式成立。已知 erfc(2)=0.005,我们可以将 erfc(2)作为判断的标准: 令 2 2 t 1 = − ν mm y (y=0 时) (30) 从上式求 t 得 16ν (1 ) 2 mm t = (31) 到目前为止,误差函数方法还是有效的。 这个时间间隔与溶质扩散时间间隔一样,是长度的平方除以动量扩散系数。事实上,对于 溶质或热量扩散,我们可以用“较长时间”表达式: ν 2 ~ L t (32) 来近似等于上面稳态解成立的时间,在这里是(0.001 ) (10 / ) 1 2 6 2 m m s = 秒 。 在 t=0 时刻,初始条件与边界条件的单一性导致了剪应力的单一性。在 t=0 时刻,erfc 函数在 y=1mm 处的导数是无穷大的,从而需要一个无穷大的剪应力来使速度从 0 阶跃到 1cm/s。剪应 力可以表示为1 t ,所以时间积分和每单位面积的脉冲是有限的。只要电动机能够提供一个相 对于稳态很大的动力,边界条件就会被近似满足,从而 erfc 的解基本正确。 1.6.2 由于重力作用沿着倾斜面的流动 (这部分参见 D.R.Poirier 与 G.H.Geiger 合编的“Transport Phenomena in Materials Processing” 的第二章)
16.3绕过球体的流动 个半径为R的实心球以相对于流体的速度Ⅴ在流体中运动。若以球体为参照系,则球 是静止的,而离球体较远的流体则以相同的速度运动,靠近球体的流速却比较小,甚至在球体 表面的速度为零。 在球坐标中,r是距球心的距离,O是流动场对称轴的纬度角(因此静止时θ=丌),φ是 圆心角。在球坐标中,稳态流速与压力是 V1 3R,1(R 2r 4r4(r p=po-pgh--n 式中,h是重力的反方向 以上各式可以用来计算流体对球体施加的曳力,以及球体对流体的曳力。总应力的法向量 是牵引力t ·n+ 这是固体表面对流体在每单位面积上施加的力。对其积分可求出固体对流体所施加的合力 因此,加上负号之后就变为对固体的曳力。 +pn ) dA 当z=0且a/=0时,积分得 0+prlA=6rnRV (38) 式中z是θ=0的方向,即流动方向。 17练习 证明163节中绕球体做斯托克斯流动的流体速度场及压力场(即式33到35)也满足在球体 坐标系中的斯托克斯方程 2证明163节在球体表面,即r=R处,由速度场给出的剪应力与压力积分后可得到式38 3式37中给出的绕球体流动的总曳力等于浮力(液固密度差乘以球体体积),从而解出在斯托 克斯流动中上浮或者下沉的球形颗粒的最终速度 随体导数及奈维-斯托克斯方程 对流传递包括由于物体相对于参照系的运动而引起的溶质、热量、质量及动量传递。在流 体系统中,对流传递相对于只有扩散来说增强了传递速率。人们一般不用对流来描述固体的传 9
9 1.6.3 绕过球体的流动 一个半径为 R 的实心球以相对于流体的速度 V∞ 在流体中运动。若以球体为参照系,则球 是静止的,而离球体较远的流体则以相同的速度运动,靠近球体的流速却比较小,甚至在球体 表面的速度为零。 在球坐标中,r 是距球心的距离,θ 是流动场对称轴的纬度角(因此静止时θ =π ),φ 是 圆心角。在球坐标中,稳态流速与压力是 cosθ r R 2 1 r R 2 3 u V 1 3 r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ − + (33) θ sinθ r R 4 1 r R 4 3 u V 1 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∞ − − (34) ρ η cosθ r R R V 2 3 p p gh 2 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∞ (35) 式中,h 是重力的反方向 以上各式可以用来计算流体对球体施加的曳力,以及球体对流体的曳力。总应力的法向量 是牵引力 t 。 t = τ ⋅ nˆ + pnˆ (36) 这是固体表面对流体在每单位面积上施加的力。对其积分可求出固体对流体所施加的合力。 因此,加上负号之后就变为对固体的曳力。 F = −∫ 球面 ( ) τ ⋅ nˆ + pnˆ dA (37) 当 0 r 0 τ rφ = 且∂ ∂φ = 时,积分得 ( ) prˆ dA 6 RV zˆ ˆ F rˆ 0 d rr r ∞ = = − + + = ∫ τ τ θ πη π θ θ (38) 式中 zˆ 是θ = 0 的方向,即流动方向。 1.7 练习 1 证明 1.6.3 节中绕球体做斯托克斯流动的流体速度场及压力场(即式 33 到 35)也满足在球体 坐标系中的斯托克斯方程。 2.证明 1.6.3 节在球体表面,即 r=R 处,由速度场给出的剪应力与压力积分后可得到式 38 3.式 37 中给出的绕球体流动的总曳力等于浮力(液固密度差乘以球体体积),从而解出在斯托 克斯流动中上浮或者下沉的球形颗粒的最终速度。 2 随体导数及奈维-斯托克斯方程 对流传递包括由于物体相对于参照系的运动而引起的溶质、热量、质量及动量传递。在流 体系统中,对流传递相对于只有扩散来说增强了传递速率。人们一般不用对流来描述固体的传