大学物理 第三节薛定谔方程 是波函数所遵从的方程量子力学的基本方程 是量子力学的基本假设之一,其正确性由实验检验。 1.建立(简单→复杂,特殊→一般) ①一维自由粒子的振幅方程 (x,)=yeh(k42) oe her N LEt et =y(x).e h 与驻波类比 式中:v(x)=veb"振幅函数 第11页共45页
大学物理 第11页共45页 第三节 薛定谔方程 是波函数Ψ所遵从的方程— 量子力学的基本方程, 是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。 1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般） 一维自由粒子的振幅方程 Et i Et i p x i Et p x i Ψ x t Ψ e Ψ e e x e x x − − + − − ( , ) = = = ( ) 0 ( ) 0 式中： p x i x x e = 0 ( ) 振幅函数 与驻波类比
大学物理 et Y(r,t=y(x). e h et Et y(, t=yy=y(x)eh y(xel y(x). yu(x=y(x) 要求波函数y(x的模方,只需求振幅函数yx)的模方 ∵建立关于振幅函数vx)的方程—振幅方程 振幅函数y(x)=V0e px dy(x) e今1x p(x) dx dy(x) 2 y(x) 第12页共45页
大学物理 第12页共45页 * 2 2 * * ( ) ( ) | ( ) | | ( , ) | ( ) ( ) x x x Ψ x t Ψ Ψ x e x e E t i E t i = = = = − Et i Ψ x t x e − ( , ) =( ) 要求波函数Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数(x)的模方。 建立关于振幅函数 (x)的方程 —— 振幅方程 ( ) d d ( ) 0 p x i p e i x x x p x i x x = = ( ) d d ( ) 2 2 2 2 x p x x x − = * p x i x x e = 0 振幅函数 ( )
大学物理 非相对论考虑 自由粒子:势函数U=0 E=E px 2 k 2mE 2m 代入dv(x)p2二 y(x) dx 得d2y(x),2mE y(x)=0 即 维自由粒子的振幅方程 第13页共45页
大学物理 第13页共45页 非相对论考虑 自由粒子： m p E E mv x x 2 2 1 2 2 = k = = px 2mE 2 = 势函数 U = 0 ( ) d d ( ) 2 2 2 2 x p x x x − 代入 = * 得 ( ) 0 2 d d ( ) 2 2 2 + x = mE x x 即 一维自由粒子的振幅方程
大学物理 ②一维定态薛定谔方程 粒子在力场中运动,且势能不随时间变化 2 E-E +E=Px+U p 2m P<=2m(E-o) 2 代入dv(x) dx h2如(+)兴 得dv(x)2m 2 a 的(E-U)y(x)=0 维定态薛定谔方程 第14页共45页
大学物理 第14页共45页 一维定态薛定谔方程 2 ( ) 2 2 2 k p p m E U U m p E E E x x = − = + = + 粒子在力场中运动，且势能不随时间变化 ( ) ( ) 0 2 d d ( ) 2 2 2 + E −U x = m x x 即 一维定态薛定谔方程 得 ( ) d d ( ) 2 2 2 2 x p x x x − 代入 = *
大学物理 ③三维定态薛定谔方程 振幅函数v=v(x,y,z) 2m 2 2 2 (E-OV=O az h 拉普拉斯算符V2a2-a22 2 Ox Oy" 0z 2m (x,y,2)+2(E-U)y(x,y,2=)=0 即三维定态薛定谔方程 第15页共45页
大学物理 第15页共45页 三维定态薛定谔方程 ( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 + − = + + E U m x y z 拉普拉斯算符 2 2 2 2 2 2 2 x y z + + = ( ) ( , , ) 0 2 ( , , ) 2 2 + E −U x y z = m x y z 即 三维定态薛定谔方程 振幅函数 =(x, y,z)