第三章复变积分 第5页 为此,设z是G内一点,z+△z是它的邻点,如图35,则 F(2)=/f()d,F(z+4z)= f(odc 因为积分与路径无关,所以 △FF(z+△2)-F(2) 由此可得 △F f(sds-f(z) z+△z [f()-f(2】d 2+△2 f()-f(x)}·|d 由于f(z)是连续的,故对于任给的ε>0,存在δ>0,使当K-2<6时,|f()-f(2)<ε,所以 f(2)≤ 14z E·|△z|=E, 即得 △F=f(2) △z-0△z 这就证明了F(2)在G内可导,并且F(2)=f(2).口 原函数如果函数(2)的导数(2)=f(2),则更(z)称为f(z)的原函数.上面定义的f(2) 的不定积分就是f(z)的一个原函数.对于给定的一个函数f(z)来说,原函数不是唯一的.任意两 个原函数之间只相差一个常数.这是因为,如果西1(2)与重2(2)都是f(x2)的原函数,则 1(2)=f(2),2(2)=f(2 所以,國1(2)-2(2)]=0, 更1(2)-重2(2)=C 知道了被积函数的原函数,可使复变积分的计算大为简化.设更(2)为f(2)的一个原函数,则 f(2)的不定积分 F(a f(a)dz=(z)+C 但是,显然有 所以 / ∫(2)dz=(z)-(x0)
▲▼◆ ❖ P ◗ ❘ ❙ 5 ❚ ✱✼✧✥ z ✘ G ✖✴ ✳✧ z + ∆z ✘✾✢❯✳✧❖✃ 3.5 ✧❆ F(z) = Z z z0 f(ζ) dζ, F(z + ∆z) = Z z+∆z z0 f(ζ) dζ. ◆✱✖✗❁st❄❅✧✏ Ï ∆F ∆z = F(z + ∆z) − F(z) ∆z = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ. ⑦✼❰ ✺ ∆F ∆z − f(z) = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ − f(z) = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) − f(z) dζ ≤ 1 |∆z| Z z+∆z z f(ζ) − f(z) · dζ . ⑦❥ f(z) ✘❙❚✢✧✍✉❥✮ ✈✢ ε > 0 ✧✿ ✩ δ > 0 ✧✹✸ |ζ − z| < δ ✻ ✧ |f(ζ)− f(z)| < ε ✧✏ Ï ∆F ∆z − f(z) ≤ 1 |∆z| · ε · |∆z| = ε, ♦✺ F 0 (z) = lim ∆z→0 ∆F ∆z = f(z). ❐❱Û Ü✰ F(z) ✩ G ✖❰ ❑✧❍❀ F 0 (z) = f(z) ✤ ❲❅❆ ❖P★✙ Φ(z) ✢❑✙ Φ 0 (z) = f(z) ✧❆ Φ(z) ❇✱ f(z) ✢❳★✙✤✜✛✫✬✢ f(z) ✢①✫✖✗❱✘ f(z) ✢ ✴●❳★✙✤✉❥✈✫✢✴●★✙ f(z) ❨ ✑✧❳★✙①✘❩ ✴ ✢✤✮✯❏ ● ❳★✙➃➄✒❬❭✴●❜✙✤❐✘◆✱✧❖P Φ1(z) ❁ Φ2(z) ❩ ✘ f(z) ✢❳★✙✧❆ Φ 0 1 (z) = f(z), Φ0 2 (z) = f(z). ✏ Ï ✧ Φ1(z) − Φ2(z) 0 = 0 ✧ Φ1(z) − Φ2(z) = C. ❪➮✰ ❦ ✖★✙✢❳★✙✧❰ ✹✔✕✖✗✢❫❴❵✱Õ✞✤✥ Φ(z) ✱ f(z) ✢ ✴●❳★✙✧❆ f(z) ✢①✫✖✗ F(z) = Z z z0 f(z) dz = Φ(z) + C. ❛✘✧❢❣✪ F(z0) = Φ(z0) + C = 0, C = −Φ(z0). ✏ Ï Z z z0 f(z) dz = Φ(z) − Φ(z0).
32单连通区域的 Cauchy定理 第6页 例32计算积分/zdz,n为整数 解当n为自然数时,z在全平面解析, zn+1是它的一个原函数.因此,对于z平面 上的任意一条积分路线,均有 当n=-2,-3,-4,……时,zn在不包含z=0点在内的任意一个单连通区域内解析,其原函数 仍可取为2n+1.因此,仍有 1n+1 但由于下一节例3的原因,此结果对于不包含z=0点在内的任意区域均成立 当n=-1时,2-1也是在不包含z=0在内的任一区域内解析,但其原函数应为lnz.因此, 在不包含z=0的任一单连通区域内, 需要特别注意,在一个单连通区域内,上面的积分当然与路径无关.但是对于不同的单连通 区域,同样的起点与终点也还会給出不同的积分值·从计算的过程看,这里的原函数是多值函数 因此积分值与由a变化到b的方式有关.当限制在不含z=0的一个单连通区域内时,就是把lnz 限制在某一个单值分枝内,故积分值lnb-lna是唯一确定的.而对于不同的单连通区域,就可能 对应于hz的不同单值分枝,因而积分值也就可能不同
§3.2 ýþÿ✁✂ Cauchy ✄☎ ✞ 6 ✟ ④ 3.2 ❫❴✖✗ Z b a z ndz ✧ n ✱❜✙✤ ❷ ✸ n ✱ ❝❣✙ ✻ ✧ z n ✩❞ ✚✛➹➘✧ 1 n + 1 z n+1 ✘✾✢ ✴●❳★✙✤◆✼✧✉❥ z ✚✛ ✜✢✮✯✴Ù✖✗s✣✧✌✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ✸ n = −2, −3, −4, · · · ✻ ✧ z n ✩ ①✔✕ z = 0 ✳ ✩ ✖ ✢ ✮✯✴●➪❙➶➈➉ ✖ ➹➘✧❬❳★✙ ❡ ❰ ❃✱ 1 n + 1 z n+1 ✤◆✼✧❡✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ❛ ⑦❥q✴❢❣ 3 ✢❳◆✧✼❤P✉❥①✔✕ z = 0 ✳ ✩ ✖ ✢ ✮✯➈➉✌✐✿✤ ✸ n = −1 ✻ ✧ z −1 ❮ ✘ ✩ ①✔✕ z = 0 ✩ ✖ ✢ ✮✴➈➉ ✖ ➹➘✧❛❬❳★✙ à ✱ ln z ✤◆✼✧ ✩ ①✔✕ z = 0 ✢ ✮✴➪❙➶➈➉ ✖ ✧ Z b a dz z = ln b − ln a. ❥✎✱➊❦ ✯ ✧ ✩✴●➪❙➶➈➉ ✖ ✧✜✛✢✖✗✸❣❁st❄❅✤❛✘ ❧➥✪ ♠➠➙➭➯ ➒➓✧♠♥➠♦➡♣q➡✦rst ✉✪ ♠➠✤✥✵ ✤✬❫❴✢✈ ☛✇✧❐❒✢❳★✙✘①❈★✙✧ ◆✼✖✗❈❁ ⑦ a ✕✞❀ b ✢ ✡ã ✪❅✤✸✾② ✩ ①✕ z = 0 ✢ ✴●➪❙➶➈➉ ✖✻ ✧❱✘✭ ln z ✾② ✩③✴●➪❈✗④ ✖ ✧✍✖✗❈ ln b − ln a ✘❩ ✴⑤ ✫✢✤✆✉❥①②✢➪ ❙➶➈➉✧❱ ❰ ✓ ✉ à ❥ ln z ✢①②➪ ❈✗④✧◆✆✖✗❈❮ ❱ ❰ ✓①②✤