·232 传感器技术设计与应用 式中，△是纤芯与包层折射率的相对变化，称为相对折射率差。由此可见，△似乎 越大，光纤的收光效果越好，但实际应用的光纤，其△值是不大的，因而光纤的数值孔 径也并不大。这是因为4太大的光纤会产生较为严重的“模间色散”。 图12-7梯度折射率光纤中光线的传播情况 (2)梯度光纤的几何光学分析 梯度光纤的纤芯折射率不是一个常数，而是由纤芯中心的最大值1，逐渐减少到纤 芯与包层界面上的最小值2。为分析方便，将光纤纤芯的折射率分布写成 -grj R<a （12-5) r≥a 式中，参数α决定了折射率的分布情况。当=2时，叫做平方律折射指数分布。 由于该类光纤纤芯的折射率随而变，所以子午线就不再是直线而是曲线。其光线传 播情况可由图12-7所示。 在旁轴近似的情况下，旁轴光线的轨迹方程为 d'r 1 dn 正nd （(12-6)
·232· 式中， 是纤芯与包层折射率的相对变化，称为相对折射率差。由此可见， 似乎 越大，光纤的收光效果越好，但实际应用的光纤，其 值是不大的，因而光纤的数值孔 径也并不大。这是因为 太大的光纤会产生较为严重的“模间色散”。 a n2 n1 图 12–7 梯度折射率光纤中光线的传播情况 （2）梯度光纤的几何光学分析 梯度光纤的纤芯折射率不是一个常数，而是由纤芯中心的最大值 n1，逐渐减少到纤 芯与包层界面上的最小值 n2。为分析方便，将光纤纤芯的折射率分布写成 1 2 1 2 1 ( ) ( ) r n R a n r a n r a − = ≥ （12-5） 式中，参数 α 决定了折射率的分布情况。当 α=2 时，叫做平方律折射指数分布。 由于该类光纤纤芯的折射率随而变，所以子午线就不再是直线而是曲线。其光线传 播情况可由图 12-7 所示。 在旁轴近似的情况下，旁轴光线的轨迹方程为 2 2 d r dn 1 dz n dr = （12-6）
第12章光导纤维传感器 ·233· 式中，z是光线的轴向距离。由式(12-5)，在r<0,2的情况下，方程(12-6)成为 一简谐振动方程且具有通解 r=rcos(p)+(亿Ip)小sin(p匹) (12-7) 式中，p一(2Aa),0和6为入射光线的位置和方向。方程表明：所有光线在 传播距离z2mp(m为整数)时，都回复到入射时的位置和方向。所以这类光纤具有自 聚焦作用，称为自聚焦光纤。同时，所有光线的轴向速度相等，因此就不再出现“横间 色散”。当然，该结论只是在旁轴近似和几何光学近似下才成立，实际的光纤总是存在 一定的色散。 12.2.1.3光纤的波动光学分析 在“2”分析中，采用了几何光学的射线理论。当光纤直径小到与入射光波长接近 时，用射线理论得到的结果是不合适的，此时必须采用波动理论才能得到比较精确的 结果。 光纤的波动光学分析，就是将光纤看成圆柱形介质波导，利用电磁场理论（麦克斯 韦方程组)求出光纤中传输的各电磁场分量。实质上就是应用边界条件求解柱坐标系麦 氏方程组的过程。由于这个求解过程比较复杂，所以此处不做详细介绍，只引用有关的 几个基本概念 (1)传播模式的定义
12 ·233· 式中，z 是光线的轴向距离。由式（12-5），在 r<ɑ ，α=2 的情况下，方程（12-6）成为 一简谐振动方程且具有通解 0 cos( ) ( / ) sin( ) o r r pz r p pz = + （12-7） 式中，p=(2n1 /ɑ 2 ) 1 2 ，r0 和 r / 0 为入射光线的位置和方向。方程表明：所有光线在 传播距离 z=2mπ/p(m 为整数）时，都回复到入射时的位置和方向。所以这类光纤具有自 聚焦作用，称为自聚焦光纤。同时，所有光线的轴向速度相等，因此就不再出现“横间 色散”。当然，该结论只是在旁轴近似和几何光学近似下才成立，实际的光纤总是存在 一定的色散。 12.2.1.3 光纤的波动光学分析 在“2”分析中，采用了几何光学的射线理论。当光纤直径小到与入射光波长接近 时，用射线理论得到的结果是不合适的，此时必须采用波动理论才能得到比较精确的 结果。 光纤的波动光学分析，就是将光纤看成圆柱形介质波导，利用电磁场理论（麦克斯 韦方程组）求出光纤中传输的各电磁场分量。实质上就是应用边界条件求解柱坐标系麦 氏方程组的过程。由于这个求解过程比较复杂，所以此处不做详细介绍，只引用有关的 几个基本概念。 （1）传播模式的定义
·234 传感器技术设计与应用 光在光纤中传输，实际上就是交变电场和交变磁场在光纤中传播，在传输中电磁 场的不同分布形式称为模式。在光纤中各种不同模式的名称仍沿用电磁场理论中的标 准称谓。 a)TEm模：在轴向只有磁场分量，而横截面上只有E·,E,这种模式又称为横电 波，记为T正mn模，其中，m,n均为常数，分别表示p方向和r方向的波节数 b)TMm模：在轴向只有电场分量E2,而横截面上只有磁场分量H0,H这种模 式又称为横磁波，记为TMmn模， c)HEmn模和EHmm模：若在横向既有电场分量又有磁场分量，则称为混合模。 当电场分量占优势而磁场分量较弱时，混合模记为EHmn模。反之，则记为HEmn模。 通常，将能够约束在光纤纤芯中传输的所有电磁波模式统称为导模或芯模。它携带 光纤传输的信号能量。另外还有泄漏模和辐射模 (2)传播常数B 传播常数阝为电磁波在z方向的传播常数，它决定了电磁波在z方向的传播速度。 每一个模式都有一个唯一的传播常数阝与之对应，因此在多模光纤中，各个模式的传播 速度也不一样。B可表示为：B=k~ncos8=(2x/)%cos8 式中，0为光波传播方向与z轴（光纤芯轴）的夹角 (3)归一化频率V(或称V参数) 解满足光纤边界条件的麦克斯韦方程组，令方程解的系数行列式为零，可得到满足 方程有解的特征方程，在该特征方程中，定义】 瓷a-西 （12-8)
·234· 光在光纤中传输，实际上就是交变电场和交变磁场在光纤中传播，在传输中电磁 场的不同分布形式称为模式。在光纤中各种不同模式的名称仍沿用电磁场理论中的标 准称谓。 a）TEmn 模：在轴向只有磁场分量，而横截面上只有 E ，Er这种模式又称为横电 波，记为 TEmn 模，其中，m,n 均为常数，分别表示 方向和 r 方向的波节数。 b）TMmn 模：在轴向只有电场分量 E2，而横截面上只有磁场分量 H ，Hr这种模 式又称为横磁波，记为 TMmn 模。 c）HEmn 模和 EHmn 模：若在横向既有电场分量又有磁场分量，则称为混合模。 当电场分量占优势而磁场分量较弱时，混合模记为 EHmn 模。反之，则记为 HEmn 模。 通常，将能够约束在光纤纤芯中传输的所有电磁波模式统称为导模或芯模。它携带 光纤传输的信号能量。另外还有泄漏模和辐射模。 （2）传播常数 β 传播常数 β 为电磁波在 z 方向的传播常数，它决定了电磁波在 z 方向的传播速度。 每一个模式都有一个唯一的传播常数 β 与之对应，因此在多模光纤中，各个模式的传播 速度也不一样。β 可表示为： 0 1 1 0 1 1 = = k n n cos (2 / ) cos 式中，θ1 为光波传播方向与 z 轴（光纤芯轴）的夹角。 （3）归一化频率 V（或称 V 参数） 解满足光纤边界条件的麦克斯韦方程组，令方程解的系数行列式为零，可得到满足 方程有解的特征方程，在该特征方程中，定义： 2 2 1 2 0 2 a n n = − （12-8)
第12章光导纤维传感器 ·235· 称为归一化频率或V参数。 V参数是光纤传输特性的一个重要参数，由它可决定光纤的截止条件或单模传输的 条件。例如，对于阶跃光纤，能成为单模光纤的条件是 r-受ar-<20s (12-9)） 因此，当入射光波长确定，纤芯折射率1确定后，即可定出满足单模光纤条件的最 大纤芯半径或最大相对折射率差△（或包层折射率m),单模光纤只支持被叫做“基模 的单一模式HE11,这种光纤的设计使得所有较高的模式在工作波长上都被截止。 12.2.1.4光纤的损耗与色散 (1)光纤的传输损耗 光在光纤传输过程中，由于种种原因将会产生损耗。不同波长的光在光纤中的传输 损耗是不同的。损耗的程度可用衰减率来衡量， a)衰减率定义：假设光纤的入射光强为1。，经过1000m传输后强度下降到1，则 衰减率定义为 衰减率=l0s分(dBm) (12-10) b)引起传输损耗的原因 第一种为材料吸收。它是由光纤材料中的金属杂质如铁、铜、铬、镍的电子能级及 进入光纤芯及包层的氢氧根离子的振动能级对光能的吸收所引起的。 第二种为散射损耗。散射损耗主要包括由于光纤介质密度起伏引起的瑞利散射，由 于温度引起的动态密度起伏引起的布里渊散射及由于原子振动和旋转能级的吸收和再
12 ·235· 称为归一化频率或 V 参数。 V 参数是光纤传输特性的一个重要参数，由它可决定光纤的截止条件或单模传输的 条件。例如，对于阶跃光纤，能成为单模光纤的条件是 2 2 1 2 0 2 V a n n 2.405 = − （12-9） 因此，当入射光波长确定，纤芯折射率 n1 确定后，即可定出满足单模光纤条件的最 大纤芯半径或最大相对折射率差 （或包层折射率 n2），单模光纤只支持被叫做“基模” 的单一模式 HE11，这种光纤的设计使得所有较高的模式在工作波长上都被截止。 12.2.1.4 光纤的损耗与色散 （1）光纤的传输损耗 光在光纤传输过程中，由于种种原因将会产生损耗。不同波长的光在光纤中的传输 损耗是不同的。损耗的程度可用衰减率来衡量。 a）衰减率定义：假设光纤的入射光强为 0 I ，经过 1000m 传输后强度下降到 1 I ，则 衰减率定义为 衰减率 1 0 10 I - lg I = (dB/km) （12-10） b）引起传输损耗的原因: 第一种为材料吸收。它是由光纤材料中的金属杂质如铁、铜、铬、镍的电子能级及 进入光纤芯及包层的氢氧根离子的振动能级对光能的吸收所引起的。 第二种为散射损耗。散射损耗主要包括由于光纤介质密度起伏引起的瑞利散射，由 于温度引起的动态密度起伏引起的布里渊散射及由于原子振动和旋转能级的吸收和再
·236 传感器技术设计与应用 辐射所引起的拉曼散射。 第三种为弯曲损耗。这种损耗产生的原因已在前面分析中做过解释。 (2)光纤的色散特性 光纤色散是由于光纤所传信号不同频率成分或不同模式成分的群速不同，而引起传 输信号畸变的一种物理现象。对光纤色散的表示，常用"时延差”来描述，即在光纤中 不同速度的信号传过同样的距离会有不同的时延，从而产生时延差。时延差越大，色散 越严重！ a)光纤的色散的说明 光纤的色散指的是光纤中传输的各部分光之间存在的速度差，具体在性能上体现为 脉冲展宽。即若有一窄脉冲光输入光纤，由于光纤中存在色散各部分光的传输速度不 样，因此，经过一定距离的传输后，达到终点的时间各不相同。这样使原先脉冲光的脉 冲宽度在出射端展宽了，脉冲展宽的程度即反映了光纤色散的大小 b)引起光纤色散的原因 模式色散：在阶梯折射率多模光纤中由于各导入模的传播速度不一样，从而引起的 色散称为模式色散。 材料色散又称颜色色散：它的产生是因为光波在介质中的传播速度是波长的函数。 光纤的色散越大，所能传输的调制信号带宽就越窄，即传输信号的容量越小。 12.2.2光源和光探测器 12.2.2.1光的辐射和光吸收
·236· 辐射所引起的拉曼散射。 第三种为弯曲损耗。这种损耗产生的原因已在前面分析中做过解释。 （2）光纤的色散特性 光纤色散是由于光纤所传信号不同频率成分或不同模式成分的群速不同，而引起传 输信号畸变的一种物理现象。对光纤色散的表示，常用“时延差”来描述，即在光纤中， 不同速度的信号传过同样的距离会有不同的时延，从而产生时延差。时延差越大，色散 越严重。 a）光纤的色散的说明 光纤的色散指的是光纤中传输的各部分光之间存在的速度差，具体在性能上体现为 脉冲展宽。即若有一窄脉冲光输入光纤，由于光纤中存在色散各部分光的传输速度不一 样，因此，经过一定距离的传输后，达到终点的时间各不相同。这样使原先脉冲光的脉 冲宽度在出射端展宽了，脉冲展宽的程度即反映了光纤色散的大小。 b）引起光纤色散的原因 模式色散：在阶梯折射率多模光纤中由于各导入模的传播速度不一样，从而引起的 色散称为模式色散。 材料色散又称颜色色散：它的产生是因为光波在介质中的传播速度是波长的函数。 光纤的色散越大，所能传输的调制信号带宽就越窄，即传输信号的容量越小。 12.2.2.1 光的辐射和光吸收