这个限制来推广一个概念,还存在很多种可能性。科学的史 实指出,就是最简单的推广也有时成功,有时失败。我们必须 首先作一个猜测。在目前这个例子里,很容易猜出正确的推 广方法。新的、推广了的概念是非常成功的,它既帮助我们理 解抛在空中的石子的运动还帮助我们理解行星的运动。 速度”、“速度的改变”和“力”在曲线运动的普遍情况里 表示什么意思呢?我们首先说速度。如果一个很小的物体沿 着曲线从左至右运动。这样的小物体通常被称为一个质点。 在图8中,曲线上的点表示质点在某个时刻的位置。在这个时 刻和这个位置的速度是怎样的呢?伽利略的线索又指引我们 走向引出速度的那条路上去。我们必须再一次使用我们的想 象力去想象一个理想实验。质点在外力的影响下沿着曲线从 左至右运动。我们想象在给定的时间以及在图9上点子所表 示的位置上,所有的外力突然都停止作用了。那么,根据惯性 定律,运动应当是匀速直线的。实际上,我们自然不能使物体 完全不受外界的影响。我们只能作这样的推测:“假使 结果会怎样?”再根据这样推测所得出的结论来判断我们的推 测是否恰当,而月根据这些结论是否和实验相符来判断
在图10中的矢量表示当外力消失时所猜测的匀速运动 的方向。这就是所谓切线方向。通过显微镜来看运动着的质 点,人们可以看见曲线的很小部分,它显现为很小的直线段 切线就是它的延长线。因此图上画出来的矢量就代表在给定 时刻的速度。速度矢量就在切线上。它的长度就代表速度的 数值,或者就象代表汽车速率计上所表示的速率一样。 图10 将运动加以破坏来寻求速度矢量的这个理想实验不能把 它看得太认真。它只是帮助我们懂得应该把什么东西称为速 度矢量,并使我们能在给定的地点和时间确定出速度矢量。 在图10中画着一个质点沿一根曲线运动时在三个不同 位置上的速度矢量。在这个例子中,不仅速度的方向,而且速 度的数值(如矢量的长度所示),在运动中都是时刻在变化的。 这个新的速度概念是否满足在一切推广中所提出的要求 呢?换句话说:假使曲线变成了直线,它是否也简化为以前的 速度概念呢?这很明显,确是这样的。直线的切线就是这根直 线木身。速度矢量就隐伏在运动的线路上,正象运动着的小 车和滚着的圆球的情况一样。 其次便要介绍沿着曲线运动的质点的速度的改变。这也 可以有各种不同的方法,我们选择其中最简单和最方便的。 图10中画出的几个速度矢量代表路线上各不同点上的运动。 其中前面的两个矢量可以再画成为使它们从同一点出发(图
图 11),我们已经知道,对矢量来说,这样做是可以的。我们把 虚线表示的矢量称为“速度的改变”。它的起点是第一个矢量 的末端,而终点是第二个矢量的末端。乍一看来,这个速度的 改变的定义似乎不真实而且没有意义。在矢量1和2的方向 相同这一特殊情况中,这个定义就非常清楚了(图12)。自然, 这又回到直线运动上去了。如果这两个矢量具有相同的起点 那么虚线的矢量仍然是把它们的终点连接起来。图12和图 6完全相同,而以前的概念便成了新概念的一种特殊情况。应 该指出,在图中把两根线分开是因为假郊不这样的话,它们就 重合在一起,分辨不出来了。 现在我们来进行推广的最后一步。到目前为止,在我们 所作的猜测中,这将是最重要的一个。力和速度的改变之间 的联系必须这样建立起来:它能够使我们找出一个线索来了 解运动的普遍问题。 解释直线运动的线索是非常简单的:外力产生了速度的 改变;外力的矢量其方向跟速度改变的方向相同。然而现在应 该把什么看作是曲线运动的线索呢?完全一样!仅有的差别 是现在速度的改变的意义比以前更广阔了。我们只要对图10
和图11中的虚线矢量看一下,就能清楚地得到启示。如果曲 线上的每一点的速度都已知道,那么每一点的力的方向便可 以立刻找出来。我们必须取相距的时间间隔极小的两个时刻、 因而相应的两个位置也极相近,于是把这两根速度矢量画出 来。连接第一根矢量的末端与第二根矢量的末端的这根矢量 表示作用力的方向。但是重要的是,两根速度矢量只能并必 须是由“极短的时间间隔来分隔。对“极近”、“极短”这一类 词义作严格的分析是非常不容易的。就是这样的分析使牛顿 和莱布尼兹⑩发明了微积分。 把伽利略的线索加以推广的过程是冗长而曲折的。我们 在这里不能叙述这个推广的结果是如何的丰宫和有益。用上 了它以后,使许多在过去互不关联的和不能理解的事情都得 到简单而又圆满的解释。 从各种各样的运动中,我们只选择那最简单的,并应用刚 才所表迷的定律来解释它。 枪筒里射出来的子弹,斜向地抛出去的石子,水管里射出 来的一股水,它们所经行的路线都走成大家所熟知的抛物线。 设想在石子上附加一个速率计,那么石子在任何时刻的速度 矢量都可以画出来。这一结果在图13中充分地表示出来了。 作用在石子上的力的方向就是速度的改变的方向,而我们已 经知道怎样可以决定它。图14中指出了作用在石子上的力 图1 ① Leibnitz
图14 是垂直的,且朝下。这正和我们使石子从塔顶上掉下时完全 一样。路线和速度都完全不同了,但是速度改变的方向却都 是相同的,那就是,它们都朝向地球的中心。 把一个石子缚住在一根绳子的末端,并在水平面上挥动 它,于是它就沿着圆周运动。如果速率不变,那么表示这种运 动的图中所有的矢量的长度都相等(图1b)。然而速度矢量不 断地在改变,因为运动的路径不是直线的。只有在匀速直线 运动中才没有任何外力的作用。然而这里速度不是在数值方 面改变而是在方向方面改变的。根据运动定律,这种改变必 定是由某些外力所引起,而在这个例子中则是由于作用于石 子跟握绳的手之间的外力所引起的。于是立刻又发生了一个 问题:力在哪一个方向上作用呢?再用矢量图来回答。如图 图5 图16 18