我们可以继续应用直接的推理方法。思想的出发点仍然 是伽利略的惯性定律。我们着实还可以应用这个在解决运动 的难题中极有价值的线索从而推出许多结论来。 让我们考察在平滑桌子上朝不同方向运动的两个球。为 了想象得清楚些,假定这两个方向是相互垂直的。因为没有 任何外力,所以球的运动是绝对均匀的。再假定它们的速率 也相等,即这两个球在相同的时间间隔内经过相同的距离。但 如果说这两个球具有相同的速度是否正确呢?可以答是,也可 以答否!假使两辆汽车的速率计上都表示每小时40英里,我 们通常便说它们的速率或速度相等,而不管它们是朝哪一个 方向开行的。但科学必须创造自己的语言和自己的概念,供 它本身使用。科学的概念最初总是日常生活中所用的普通概 念,但它们经过发展就完全不同。它们已经变换过了,并失 去了普通语言中所带有的含糊性质,从而获得了严格的定义, 这样它们就能应用于科学的思维。 根据物理学家的观点米看,这样说更合适得多:朝着不 同方向运动的两个球的速度是不同的。虽然这纯粹是习惯 上的说法,但这样说更为方便:从同一点出发、沿着不同的 道路行驶的四辆汽车,尽管速率计上所记录的速率都是每 小时40英里,它们的速度是不同的。速率(只考虑绝对值) 和速度(还考虑方向)的区别说明物理学如何从日常生活的 概念出发,然后把它加以改变:使它更适合于科学的往后发 展 如果长度已经测量出米,那么这结果可以用多少个单位 来表示。一根棍的长度也许是三米零七厘米;某件东西的重 量也许是两公斤零三克;而时间间隔则是多少分多少秒。这 里在每一种情况里,测量的结果都是用一个数来表示的。但
是单用一个数还不足以表示某些物理概念。认识到这一点是 科学研究中的一大进步。例如对表征速度来说,方向和大小 都是同样重要的。既有数值又有方向的这种量称为矢量。表 示它的符号通常是一根箭。速度就可以用一根箭来表示,更 简单地说,速度是用矢量来表示,它的长度是某种选定单位的 长度的若于倍,用以表示速度的数值,它的方向就是运动的方 向 如果四辆汽车从同一点以相同的速率而四向出发,那么 它们的速度可以用等长的四根箭来表示,就象在图1中所画 的那样。图中所用的比例尺是每一英寸表示每小时40英里。 用这种方法,任一速度都可用一矢量来表示,反过来,如果比 例尺已知,那么根据这种矢量图就可以确定速度。 图1 如果两辆汽车在马路上相擦而过,并且速率计上表示的 都是每小时40英里,那么我们用箭头指向相反方向的两根箭 来表征这两个不同的矢量(图2)。这正如纽约地下火车指示 上行和“下行”的箭头应该用相反的方向一样。不过所有上 行的火车不论经过哪个车站或在哪一条线路上行驶,只要速 率相同,都有相同的速度,它们可以单单用一个矢量米表示
图2 图3 矢量并没有说明火车经过哪一个站或者它沿着许多平行轨道 中的哪一条在行驶。换句话说在习惯上,所有象图8中所画 的矢量都可以认为是相等的;它们或者是处在同一直线上,或 者是相互平行,因此它们具有朝着相同方向的箭头。图4表 示不同的矢量,它们或者长度不同,或者方向不同,或者长度 和方向都不同。这四个矢量还可以用另一种方法来画:使它 们都从同一点出发(图b)。因为出发点是无关紧要的,所以 这些矢量既可以表示从同一地点开出的四辆汽车的速度,也 可以表示在不同地方以指定的速率和方向开行的四辆汽车的 速度 图B 11
现在就可以用这种矢量图来描写前面已经讨论过的直线 运动的情况。我们说过:沿着直线作匀速运动的小车,只要朝 着它运动的方向推它一下,就会增加它的速度。若用图来表 ,这可以画成两根矢量:短的那根表示推以前的速度,而长 的一根和前者有相同的方向,表示推以后的速度(图6。虚 线矢量的意义是很清楚的,它代表因椎而产生的速度的变化。 如果在力的方向和运动的方向相反、而运动缓慢下去的情况 下图又稍有不同了。虚线的矢量仍表示速度的改变,但在这 种情况下它的方向却不同(图7)。很明显,不但是速度本身, 而且速度的变化也都是矢量。但是任何一个速度的变化都是 由外力引起的;因此力也必须用一个矢量来表示。为了表征 个力,光说我们用多大的劲推小车是不够的,我们还应当说 明我们朝着哪一个方向推。力,正如速度和速度的改变一样, 不能单月一个数来表示,应当用一个矢量来表示。因此外力 也是一个矢量,而且一定跟速度改变的方向相同。在上面两 个图中,虚线的矢量既表明力的方向,也表明速度改变的方 向 这里怀疑论者也许会说,他看不出引入矢量有什么好处 以上所完成的无非都是把早已知道的论据翻译成为一种不通 2 图6
俗的复杂的语言而已。在这个阶段,确实很难使怀疑论者相 倌他们是错误的。实际上,目前他们暂时是对的。但是我们 将要看到,正是这种奇怪的语言,引起重要的推广,其中矢量 就显示了它的重要性。 运动之谜 以上我们只谈了直线运动,我们还远远没有理解在自然 界中所观察到的许多运动。我们必须考察曲线运动,下一步 我们就来确定出主宰这些运动的定律。这是一件很不容易的 事情。在直线运动的情况中,速度、速度的改变、力等概念是 很有用的。但是我们不能立刻看出怎样能把它们应用到曲线 运动里去。甚至我们可以想象老的概念已不适于描述一般运 动,因而需要创造新的概念。我们应该循着旧路走呢?还是 应该另找一条新路走呢? 把概念加以推广是科学上常用的办法。推广的方法不 定只有一种,通常有很多种。但是不管是哪一种推广,都必须 严格地满足一个要求:假如原来的条件完备时,推广了的概念 必须化成原来的概念。 我们可以用目前所讨论的例子很好地来说明这个意义。 我们可以首先试着把速度、速度的改变和力等概念推广到沿 曲线而运动的情况里去。在科学术语上,当我们讲到曲线的 时候,已把直线包括进去了。直线是曲线的一种特殊的、平凡 的例子。因此,如果速度、速度的改变和力被引用于曲线运 动,那么它们就自发地被引用于直线运动。但是这个结果不 应跟以前所得到的结果相互矛盾。如果曲线变成直线那么所 有推广了的概念都必须化成描述直线运动的已熟知的概念。 但是要唯一地确定这个推广,这样一个限制是不够的。根据 13二