第章量子行为 定量地说明,假如我们足够准确地测定板的动量从而由反冲的动量的测量来确定电子经过 的是哪一个孔,那么按测不准原理,该板a位置的测不准量将使在检测器处观察到的图样沿 方向上下移过一个相当于从极大值到最近的极小值之间的距离.这样一种无规则的移动 正好将干涉图样抹去,因而观察不到干涉现象 测不准原理“保护着量子力学,海森伯认识到,如果有可能以更商的准确度同时测出 动量与位置的话,量子力学大夏就将倒塌.所以他提出这一定是不可能的.于是人们试图 找出一个能同时准确测量的方法,但是没有一个人找到一种方法能够以任何更高的准确度 同时测出任何东西—屏障、电子、台球弹子,等等一一的位置与动量.量子力学以其冒险 的但准确的方式继续存在着
2 波动观点与粒子观点的关系 §-1几率波. 本章我们将讨论波动观京与粒子观点之间的关系。由上一章我们已经知道,波动观点 和粒子观点都不正确.通常,我们总是力图推确地描述事物,至少也要做到足够地准确,以 使我们的学习深入时无须改变这种描述—一它可以扩充但却不会改变!然而当我们打算 谈及波动图像或粒子图像时两者都悬近似的,并且都将发生变化.所以,从某种意义上来 说,我们在这一章中所学习的东西并不是准确的;这里的论证是半直观的,我们将在以后使 之更为准确,但是,当我们用量子力学作出正确解释时,有一些事情将会有一点改变.我们 之所以要这样来处理,其原因当然在于我们不想立刻就深入到量子力学中去而是希望对子 我们将会碰到的几种效应至少能有某种概念.而且,我们所有的经验都与波动以及粒子有 关,因此在我们掌握对量子力学振幅的完整数学描述之前,先应用波动利粒子的概念来理 解一定场合下所发生的事情是颇为方便的.我们在这样做时将力图闸明那些最薄弱的环 节,但是其中大多数还是相当正确的一因为只是解释的问题 首先,我们知道量子力学中描述世界的新方法—新的框架—是对每个可能发生的 寡件给予一个振幅而且如果此事件涉及到接收一个粒子那么就给出在不同位置与不同时 间找到该粒子的振幅.于是,找到该粒子的几率就正比子振幅绝对值的平方.一般地讲,在 不同场所与不同时刻找到粒子的振幅是随着位置和时间而变化的. 在一种特殊情况下,振幅在空闻与时间上像-k那样呈正弦的恋化(别忘了这些振 幅是复数,而不是实数),它有一个确定的频率和波数k.结果表明这对应于一种经典的 板限情况,也就是说,我们可以认为在此情况中有一个粒子,它的能量E为已知,并且B与 颜率之间的关系是 囡=o, 而且粒子的动量P亦是已知的,它与波数配之间的关系是 P=hk (22) 这一情况说明粒子的概念受到了限制,我们这 么经常使用的粒子的概念一它的位置、动量等等 在某些方面已不再令人满意了。比如,假设在不同 的位置上找到一个粒子的振幅是eo-kr),则其绝 图2-1长度为4x的波包 对值的平方是常数,而这就意味着在所有的点上找 到粒子的几率都相等,这就是说,我们不知道粒子究竟在何处一它可以在任何地方 粒子的位置是非常不准确的 另一方面,如果一个粒子的位置知道得比较清楚,而且我们可以相当准确地预测它的 话,那么在不位置找到它的几率必定限制在一定的区域内,我们称其长度为A.在此区 域之外几率则为零,由子这个几率是某个振幅的绝对值的平方,如果绝对值的平方为零则
第2章波动观点与粒子观点的关系 振幅亦为零,结果我们就有一个长度为4的波列(图2-1),此波列的波长(波列中波节之间 的距离)就对应于该粒子的动量 这里我们遇到了有关波动的一件奇妙的事情—一件很简单的,与量子力学毫无关系 的事悄.任何人,即使完全不懂量子力学只要他研究过波的话就会知道:对,个短的波列 我们不可能规定一个唯一的波长,这样的波列没有一个确定的波长;由于波列的长度是有 限的,因此相应地在波数上存在着不确定性,于是在动量上也就存在着不确定性 §22位置与动量的测量 现在我们来考虑这种概念的两个例子—一即看一下如果量子力学是正确的话,为什么 在位置与(或)动量上会存在着不确定性的理由.在前间我们已经看到,如果事情不是这样 即如果有可能同时(精确)测定任何东西的位置与动量一我们就会遇到一个佯谬;幸 而这样一种佯谬并不存在由波动图像中可以自然地得出不确定性这一事实表明,一切都很 协调 这里有一个很容易理解的例子,表明位置与动量之间 的关系.假设我们有一个单缝,一些具有一定能量的粒子 从很远的地方飞来,也就是说它们全都大致水平地飞来(图 2-2).我们将集中注意动量的垂直分量.从经典的意义上 说,所有这些粒子都具有一定的水平动量,譬如说约.所 以,从经典意义上说,粒子穿过狭缝前的垂直动量y是确 定知道的.图中粒子既不向上,也不朝下运动,因为它来图22粒子穿过狄缝的符射 自很远的地方,当然这一来它的垂直动量就是零了.现在我们假设这个粒子通过宽度为B 的狭缝.当它从B缝穿出后,我们就以一定的精确度,即±B),得知它的垂直位置y值这 就是说,在位置上的测不准量4y约为B.现在我们也许想说由于我们已知动量是绝对水 平的,因而4是零;但这是错的.我们曾一度知道动量是水平方向的,但除此之外就不知 道了.在粒子穿过狭缝前我们不知道它们的垂直位置.现在使粒子穿过狄缝,我们就发现 它的垂宜位置,但却失去了有关该粒子垂直动量的信息!为什么?按照波动理论,当波通过狭 缝后,就像光那样会散开或衍射.因此粒子跑出狭缝后,就有可能不笔直地飞行.由于衍 射效应,粒子出射的图样散开,其张角(我们可将它定义为是第一极小值的角度)就是对粒子 出射的最后角度的不确定性的一种度量 整个图样是怎样散开的呢?所谓散开就是说粒子有一定的往上或往下运动的可能性,也 就是说其动量具有向上或向下的分量我们说可能性与粒子是因为可以用一个粒子计数器 检测B这个衍射图样而且当计数器(臂如说在图22的C处)接收到一个粒子时接收的是 整个粒子这样从经典意义上来说粒子要从狭缝射出往上偏至O处就得具有垂直的动量, 为了对动量的散布有一个大致的概念,我们设垂直动量y的散布等于90,这里y是 水平动量.那么在散开的图样中4有多大?我们知道第一极小值出现在46角上,这时,从 狭缝的一边传出的波必须比从另边传出的波多走过一个波长(在第一卷第30章中已得出 过这个结论).因此40为M/B,这样此实验中的4就是pM/B.注意:如果使B变小,亦 1)更确地说,我们所知的坐标的误差是士B/2,但是我们现在只对一般的概念感兴趣,所以不必因为2而操
费受物理学讲义(第三卷) 即对粒子的位置进行比较准确的测量,那么衍射图样就变宽.我们记得,在用微波做狭缝实 验时,当我们将狭缝关小时,狭缝两侧强虔的分布就变宽.所以狭缝越窄,图样就越宽,而 我们发现粒子具存侧向动量的可能性就越大.这样垂直动量的测不准量就与的测不准量 成反比.事实上,我们看到两者的乘积为m03,但是λ是波长,P是动量,按照量子力学,波 长乘动量就是普朗克常数.因此我们得到下列规则:垂直动量的测不准量与垂直位置上 的测不准量的乘积约为h d34≈h 我们不可能设计这样一个系统,在其中既知避粒子的垂直位置,又能以比式(23)所表示的 更大确定性来预言它的垂直运动.这就是说垂直动量的测不准量必须超过/4y,这里4y 是我们的位置上的测不准量 有时,人们说量子力学是完全错误的.当粒子从左边飞来时它的垂直动量是零,现在 它穿过了狭缝,它的位置也知道了,位置与动量两者似乎都能以任意高的准确度知道.不 错,我们可以接收一个粒子,在接收时确定了它的位置如何,以及为了到达那里应具有多少 动量.这些都完全正确,但这并不是测不准关系(2,3)所涉及的事,式(23)所说的是对一种 状况的可预知性,而不是对于过去的陈述,“我知道粒子穿过狭缝前的动量是多少,现在又 知道它的位置”这种说法没有什么意思,因为我们现在已失去了关于动量的知识,粒子通过 了狭缝这一事实已使我们不再能预言垂直动量.我们所谈的是一种预言性的理论,而不只 是一种事后的测量.所以我们必须谈论能够预言的事 现在我们从另一个角度来看一下.我们稍微定量地考虑同样现象的另一个例子.在前 个例子中我们曾以经典方法测量了动量.那就是说我们考虑了方向、速度利角度,等 等所以是用经典分析得出动量.然而,由于动量与波数有关,所以自然界中还有另一种测 量粒子(光子或其他粒子)动量的方法,它没有经典的类比,因为它利用的是式(22).那 就是测量波的波长.我们试用这种方式来测量动量 假设有一个刻有许多线条的光栅(图2-3),并且有一束粒 子射阿此光栅.我们已屡次讨沦过这样一个问题:如果粒子具 有确定的动量,那么,由于干涉效应,我们会在某个方向上得到 个十分尖锐的图样.我们也谈过在测量这个动量时可以精确 到什么程度,也就是说,这样的光栅分辨率有多大我们不拟再作 一次推导,而只是参考第一卷第30章的结果,在那里已经得出 利用衍射 用一个给定的光栅能够测出的波长的相对测不准量为1/Nm, 光确定功量 其中N是光栅线条数,m是行射图样的级数,亦即 A 2m 现在式(24可以改新写为 忑2Nm"E 这里L是图2-8中所示的距离.这段距离是粒子或者波或者其他某种东西从光栅底端反 射后必须跑过的总路程与它们从光栅顶端反射后必须跑过的总路程之差,这就是说,形成 行射图样的波即为来自光树不同部分的波.首先到达的波来自光栅的底端和波列的始端, 而其余到达的波则来自波列的后面各部分利光栅的不同部分,最后一个波最末到达,它包括
第2章波动观点与粒子观点的关系 了波列中与最前端相距为L的一点.所以为了使在我们的光谱中能有一条与一定 的动量对应的锐线[其测不准量由式(2.4)给出],我们必须有一列长度至少为五的波列 如果波列太短,我们就没有用到整个光.形成光谱的波只是从光栅中很短的扇形区反射 的波,光栅的作用没有很好发挥—我们将得到一个很大的角展度,为了得到较窄的角展 度,我们必须利用整个光栅,这样至少在某些时刻整个波列应同时从光栅的各部分散射出 来.因此为了使波长的测不准量小于式(25)所给出的值,波列的长度必须为工.顺便说一 因此 d (27) 这里L是波列的长度 这意味着,如果有一长度小于L的波列,那么在波数上的测不准量必然超过2/D,.或 者说波数的测不准量乘以波列的长度—暂时我们称之为4--将大于23,我们之所以 称波列长度为4是因为这是粒子在位置上的测不准量.如果波列只存在于有限长度之中, 那么,这就是我们能找到粒子的区域在测不准量da范围以内.波的这种性质,即波列的长 度乘以相应波数的测不准量至少为2这一点,是每个研究波的人都知道的,这与量子力学 毫无关系,这只是说,如果我们有一长度有限的波列的话,没有办法很精确地数出波的数 目.我们试从另一途径来看看其中的理由 假定我们有一长为L的有限波列;那么,由于它在两端必定减少(如图2-1所示),所以 在长度L中波的数目是不确定的,其测不准量约为±1,但在长度L中的波数是k/2x, 可见h是不确定的,我们又重新得出式(2.7)的结果它只是波的一种特性.无论波是在空 间传播,}是每厘米的弧度数,J是波列的长度,还是波在时间上展开,ω是每秒的振动数, 2是波列持续的时间“长度”都会出现同样的情况.这就是说:如果只是持续一定的有限时 间型的波列,那么频率的测不准量则由下式确定: =2/ 我们已经着重指出,这些都只是波的性质例如,在声学理论中就已为人们所熟知了 要点在于,在量子力学中,我们将波数解释为对粒子动量的一种量度,即P=M,这样, 式(27就告诉我们如≈/4.因此,这就表明了经典动量概念的适用界限.(显然,如果 我们想用波来表示粒子的话,动量的概念必定受到某种限制!)我们发现了一条规则使我们 对于经典概念在何时失效具有一些认识,这的确很好 §8晶体衍射 下面我们考虑粒子波在晶体上的反射.晶体是一块厚厚的东西,它全部由排列得很好 的相同原子组成(我们将在后面包括一些较复杂的情况).问题是对于一束给定的光(X射 线)、电子、中子等等,怎样布置原子的排列才能在某给定方向上得到强的反射极大值.为 了得到强的反射,来自所有原子的散射都必须是同位相的.同相波的数量和反相波的数量 不能相等,不然波会相互抵销掉.正如我们已经说明过的那样,解决这个问题的方法是找出 等相位的区域;它们就是一些对入射方向和反射方向成相等角度的平画(图2-4)