部分分式展开法 部分分式展开法用于求序列的Z变换为下述有理 分式形式时的逆Z变换。 ∑ bz X(二) B() i=0 +∑ 若假定序列为因果序列,则一定有N≌M。当 Ⅹ(z)的N个极点都是单极点时,可以展开成以下的 部分分式的形式 X()=4+21=-H2ma 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 部分分式展开法用于求序列的Z变换为下述有理 分式形式时的逆Z变换。 2．部分分式展开法 = − = − + = = N i i i M i i i a z b z A z B z X z 1 0 1 ( ) ( ) ( ) max[ ] 1 ( ) 1 0 1 k N k k k z z z z A X z A − = += − 若假定序列为因果序列，则一定有N≥M。当 X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的 部分分式的形式
其中z为X(z)的单极点,A1(k=0,1…,N为常数。 A对应的序列为8(n),由例2-1-3知,求和式中的各 项所对应的序列为z(n)。因而上式的逆Z变换为 x(n)=A(n)+∑4=vn) 可按留数定理求得各系数A(k=0,1…,N)如下 为了方便通常利用X()/z的形式求取 A=k(o) 6 Re sl A=(1-=)X(z) sRe o 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 其中zk为X(z)的单极点, Ak(k=0,1…,N)为常数。 A0对应的序列为δ(n)，由例2-1-3知，求和式中的各 项所对应的序列为 z u(n) 。因而上式的逆Z变换为 n k ( ) ( ) ( ) 1 0 x n A n A z u n n k k N k = = + , ] ( ) (1 ) ( ) Re [ ,0] ( ) (0) Re [ 1 0 k z z k k N N z z X z A z z X z s z X z s a b A X k = − = = = = = − 可按留数定理求得各系数Ak(k=0,1…,N)如下， 为了方便通常利用X(z)/z的形式求取
当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时,若 设除单极点外,在z处有一个s阶的极点,则其展开式修 改为 X(2)=∑B=+∑ ∑n k=1 式中B1(k=0,1…,N为X()整式部分的系数,可用 长除法求得。A仍按上面的方法计算,C的计算公式为 k X(=) k=1 s-k) dz 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若 设除单极点外，在zi处有一个s阶的极点，则其展开式修 改为 s i k s k k k N s k k k M N k z z C z z A X z B z 1 (1 ) ( ) 1 1 1 0 1 − = − − = − − = − + − = + 式中Bk(k=0,1…,N)为X(z)整式部分的系数，可用 长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为 k s z X z z z dz d s k C i z z s s k i s k k ] 1, , ( ) [( ) ( )! 1 − = − = − = −
例2-1-5已知X(2) (-2(z-0.5) >2求X(z)的原序列 解:将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式 X(z) z(z-2)(x-0.5)z-22-0.5 由求系数A的公式求得 A1=4/3,A2=-1/3 因为x(z)的收敛域为>2,为因果序列, 从而求得 (n)=-(2)"u(n) 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 例2-1-5 已知 2 求X(z)的原序列。 ( 2)( 0.5) ( ) 2 − − = z z z z X z ( 2)( 0.5) 2 0.5 ( ) 1 2 − + − = − − = z A z A z z z z X z 4/3, 1/3 A1 = A2 = − 解：将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式 由求系数Ak的公式求得 (0.5) ( ) 3 1 (2) ( ) 3 4 x(n) u n u n n n = − 因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列， 从而求得 z 2
3.长除法(幂级数展开法) 按定义Z变换为z1的幂级数,只要在给定的 收敛域内将X(z)展开成幂级数形式,则级数中的 系数就是原序列x(n)。 在具体进行长除法时,要根据收敛域,先确 定序列是左边序列还是右边序列,对于左边序列 Z变换为z的正幂级数,分子分母多项式应按升幂 排列展开,对于右边序列,Z变换为z的负幂级数 ,分子分母应按降幂排列进行展开 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 按定义Z变换为z -1的幂级数，只要在给定的 收敛域内将X(z)展开成幂级数形式，则级数中的 系数就是原序列x(n)。 3．长除法(幂级数展开法) 在具体进行长除法时，要根据收敛域，先确 定序列是左边序列还是右边序列，对于左边序列 Z变换为z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂 排列展开，对于右边序列，Z变换为z的负幂级数 ，分子分母应按降幂排列进行展开