若被积函数X(z)zn-1是有理分式,一般用 留数定理来计算围线积分 根据留数定理,x(n)等于围线C内全部极点 留数之和,即 x(m)=∑ReS[X(z)zn,ak 如果X(z)zn-1还满足在z=∞有二阶或二阶以 上的零点,则根据留数辅助定理,有 (n)=-∑ReS[X(z)z1,b a}是被积函数X(z)zn1在围线C内的一组极点 b1}是被积函数X(z)zm在围线C外的一组极点 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 ( ) Re [ ( ) , ] 1 k k n x n s X z z a − = 若被积函数X(z)zn-1是有理分式，一般采用 留数定理来计算围线积分 。 根据留数定理，x(n)等于围线C内全部极点 留数之和，即 如果X(z)zn-1还满足在 有二阶或二阶以 上的零点，则根据留数辅助定理，有 z = ( ) Re [ ( ) , ] 1 k k n x n s X z z b − = − {ak }是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 {bk }是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点
如果zk为单阶极点,按留数定理 ∑ReSX(x)2n1,=k=∑(-=k)X(=)= 如果z为m阶极点,则其留数为 m-1 ResX(z)z,=kl (m-1)Am(x-)x()21=1 在具体利用留数定理进行计算围线积分时,应根据被积 函数的特点及n值灵活选用公式来计算,可使问题简化 例如,在n小于某一值时,在=0在围线内部可能具有高 阶极点,这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 如果zk为单阶极点，按留数定理 k z z n k k k k n s X z z z z z X z z = − − = − 1 1 Re [ ( ) , ] ( ) ( ) 如果zk为 m 阶极点，则其留数为 k z z m n m k m k n z z X z z dz d m s X z z z = − − − − − − = [( ) ( ) ] ( 1)! 1 Re [ ( ) , ] 1 1 1 1 在具体利用留数定理进行计算围线积分时，应根据被积 函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题简化。 例如，在n小于某一值时，在z=0在围线内部可能具有高 阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多
例2-1-3已知序列的Z变换为 X(-)=(1-az 2>(求原序列xn) 解:x(n)=2丌 az 2/g 由于收敛域为>a,可知该序列必定是因果序列。 并且当n≥0时,z0处不是极点,被积函数仅有单阶极点 a,在收敛域内取围线C包含极点a,可求得 x(n)=Re sl ≥0 或 x(n=a"u(n) 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 ,求原序列x(n) 例 2-1-3已知序列的Z变换为 X z = − az z a −1 −1 ( ) (1 ) 解: z dz j z a az z dz j x n c n c n − = = − − − − 1 2 1 (1 ) 2 1 ( ) 1 1 1 并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点 a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得 n 0 由于收敛域为 z a ，可知该序列必定是因果序列。 ( ) ( ) , ] 0 1 ( ) Re [ x n a u n z a a n z a x n s n n n = = − = 或
例21-4已知序列的Z变换为 Y(=)=[(1-a)(-az]a pepla 求原序列x(n) 解由于收敛域|a|z|卜a为环域,知x(n)必为双 边序列,其被积函数为 jIm[z] 1/a XO )~n1 (1-ax)(z-a) Re[zl a(z-a z|= z|=|1/ 例2-1-4被积函数的极点 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 例 2-1-4已知序列的Z变换为 ( ) [(1 )(1 )] ,| | | | | | 1 1 1 X z = − az − az a z a − − − ( )( ) (1 )( ) ( ) 1 1 − − − − − = − − = a z a z a z az z a z X z z n n n 求原序列x(n) | | | | | | 1 a z a − 解 由于收敛域 为环域，知x(n)必为双 边序列, 其被积函数为 例2-1-4被积函数的极点
在收敛域|aza内,作包围原点的围线, 当n≥0时,只有一个单阶极点z=a,其围线积分为 x(n)=Re sl a] ≥0 a(z-arz-a 当n<0时,被积函数在围线内除了在z=a处有 个单阶极点,在z=0处为高阶极点,因为这时在 围线外X(z)zn1只有一个单极点z=a1,因此有 x(n)=-Re sl n< 0 a(z-a(z-a) 综上可得x(m) 数字信号处理第2章c2004
数字信号处理 第2章 ©2004 在收敛域 内，作包围原点的围线， 当 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为 | a | | z| | a 1 − n 0 0 1 , ] ( )( ) 1 ( ) Re [ 1 2 − = − − − = − n a a z a a z a z a x n s n n 0 1 , ] ( )( ) 1 ( ) Re [ 2 1 1 − = − − − = − − − − n a a z a a z a z a x n s n n 2 | | 1 ( ) a a x n n − = 当n<0时，被积函数在围线内除了在z=a处有 一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在 围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有 综上可得