·劳埃方程·关于点阵、例易点阵及Ewald球的思考前提：1）晶体结构客观存在，点阵是一个数学抽象，晶将晶体的空间点阵分解成三组互不平行体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这一客观事实的抽象，有严格的物理意义。的直线点阵，考察直线点阵上的衍射条件。2)例易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，每一组直线点阵上得到一个方程，整个没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。空间点阵上就有三个形式相似的方程，构3)Ewald球无实在物理意义，仅为数学工具。成一个方程组.4)具体数学计算，仍要使用Bragg方程，一维劳埃方程：单一原子列上的任意两个原子二维劳埃方程：单一原子面上的任意两个原子三维劳块方程：三维晶体上的任意两个原子·劳埃方程一维劳埃方程·散射线干涉一致加强的条件为&H2，即a(cosa-cosa)-a·式中：F任意整数，0，±1，±3，…称为衍射级数。·单一原子列衍射线方向（α）与入射线波长任意两相邻原子（A与B）散射线间光程差（8)（a）及方向（α）和点阵常数的相互关S=AM-BN=acosa-acosa,系，称为一维劳埃方程：a(s-s)=H当入射X射线的方向S,确定后，α也就随之确直线点阵上衍射圆锥的形成定，决定各级衍射方向α角可由下式求得：cosa=cosa,+H/a-入2929入射X射线粉末样品Debye环6
6 •关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考： 1) 晶体结构客观存在，点阵是一个数学抽象。晶 体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 3)Ewald球无实在物理意义，仅为数学工具。 4) 具体数学计算，仍要使用Bragg方程。 •劳埃方程 前提： 将晶体的空间点阵分解成三组互不平行 的直线点阵,考察直线点阵上的衍射条件. 每一组直线点阵上得到一个方程，整个 空间点阵上就有三个形式相似的方程，构 成一个方程组. 一维劳埃方程：单一原子列上的任意两个原子 二维劳埃方程：单一原子面上的任意两个原子 三维劳埃方程：三维晶体上的任意两个原子 •劳埃方程 任意两相邻原子（A与B）散射线间光程差（δ） δ = AM - BN = acosα - acosα0 M B N A α0 α 一维劳埃方程 1 2 1’ 2’ • 散射线干涉一致加强的条件为δ=Hλ， 即 a(cosα-cosα0)=Hλ • 式中：H—任意整数，0，±1，±3，.， 称为衍射级数。 • 单一原子列衍射线方向（α）与入射线波长 （λ）及方向（α0）和点阵常数的相互关 系，称为一维劳埃方程:a·(s-s0)=Hλ 2θ 2θ 入射X射线 Debye环 粉末样品 当入射X射线的方向S0确定后，α0也就随之确 定，决定各级衍射方向α角可由下式求得： cosα= cosα0+H/a•λ
·劳埃方程·劳埃方程三维劳埃方程二维劳埃方程三维晶体的衍射方向：a-(s-s.)=H^单一原子平面的衍射方向：a(cosα-cosα)-H2b-(s-s.)=K或a(cosα-cosα)=H2b(cosβ-cosβ,)=Kc(s-So)=Lac(cOS-COS%)=LAb(cosβ-cosβ)=K·或cos2α+cos?β+cos2%=1a (s-s)=-Ha劳埃方程的约束cosαtcos-+cos?=1性或协调性方程b-(s-s.)=Ka联系衍射方向与晶胞大小、形状的方程衍射必要条件·布拉格方程+反射定律D数值方程·布拉格方程·衍射失量方程衍射失量方程>失量表达式·厄瓦尔德图解·厄瓦尔德图解几何图解·劳埃方程+协调性方程失量方程的·劳埃方程投影方程第五章X射线衍射原理衍射方向反映的是晶体的晶胞大小与形状;5.1衍射方向通过衍射方向来了解晶体的晶5. 2 衍射强度胞大小与形状
7 二维劳埃方程 单一原子平面的衍射方向： a(cosα-cosα0)=Hλ b(cosβ-cosβ0)=Kλ • 或 a·(s-s0)=Hλ b·(s-s0)=Kλ •劳埃方程 三维晶体的衍射方向： a(cosα-cosα0)=Hλ b(cosβ-cosβ0)=Kλ c(cosγ-cosγ 0)=Lλ 劳埃方程的约束 性或协调性方程 •劳埃方程 或 cos2α0+cos2β0+cos2γ 0=1 cos2α+cos2β+cos2γ=1 a·(s-s0)=Hλ b·(s-s0)=Kλ c·(s-s0)=Lλ 三维劳埃方程 •布拉格方程 •衍射矢量方程 •厄瓦尔德图解 •劳埃方程 联系衍射方向与晶胞大小、形状的方程 数值方程 矢量表达式 几何图解 矢量方程的 投影方程 衍射必要条件 • 布拉格方程+反射定律 • 衍射矢量方程 • 厄瓦尔德图解 • 劳埃方程+协调性方程 衍射方向反映的是晶体的晶胞 大小与形状; 通过衍射方向来了解晶体的晶 胞大小与形状。 第五章 X射线衍射原理 5.1 衍射方向 5.2 衍射强度
5.2衍射强度I=?多晶材料I=AIm·电子的散射强度·原子的散射强度Im=BIb小晶体·晶胞衍射强度I,=CIa晶胞·小晶体衍射积分强度原子I-DI·多晶体衍射积分强度·电子的散射强度·散射基元：晶体中原子内的电子sing1=1。电子散射强度：Rmc偏振因子极化因子e41+cos?20·质子的质量>>电子质量，质子的散射可以1.=loR忽略不计·原子内各电子散射波干涉结果式中：e与m—一电子电荷与质量;一光速；散射线上任意点(观测点)与电子的矩离；28-一入射方向与散射线的央角,·原子的散射强度·原子的散射强度“理想"情况：原子中Z(原子序数)个电子集中在一点“理想"情况：原子中乙（原子序数）个电子集中在一点所有电子散射波间无位相差(Φ=0)所有电子散射波间无位相差(中=0)1、当入射线的方向与E,-ZE各电子散射线方向相I, - E,2同.20=0，Φ-02、入>>d，散射线间式中：E,：原子散射波振幅；L：原子散射强度位相差也可以视为零Z：原子序数；E：单个电子散射波振幅；28-2元I：电子散射强度-(BC- AD)=8
8 I=？ I =AIm Im=BIb Ia=DIe Ib=CIa 多晶材料 小晶体 晶胞 原子 5.2 衍射强度 •电子的散射强度 •原子的散射强度 •小晶体衍射积分强度 •多晶体衍射积分强度 •晶胞衍射强度 •电子的散射强度 • 散射基元:晶体中原子内的电子 • 电子散射强度： 式中：e与m——电子电荷与质量； c——光速； R——散射线上任意点(观测点)与电子的距离； 2θ——入射方向与散射线的夹角． 4 2 0 2 24 1 cos 2 ( ) 2 e e I I Rmc + θ = 偏振因子 极化因子 • 质子的质量＞＞电子质量，质子的散射可以 忽略不计 • 原子内各电子散射波干涉结果 4 2 0 2 24 sin e e I I R m c = φ •原子的散射强度 “理想”情况:原子中Z (原子序数)个电子集中在一点 所有电子散射波间无位相差(φ＝0) Ea＝ZEe Ia＝Ea 2 Ia＝Z2Ie 式中：Ea：原子散射波振幅；Ia：原子散射强度 Z：原子序数；Ee：单个电子散射波振幅； Ie：电子散射强度 •原子的散射强度 “理想”情况:原子中Z (原子序数)个电子集中在一点 1、当入射线的方向与 各电子散射线方向相 同。2θ＝0，φ＝0 所有电子散射波间无位相差(φ＝0) 2 2 ( ) BC AD π π φ δ λ λ == − 2、λ>> d，散射线间 位相差也可以视为零
·原子的散射强度·原子的散射强度1+cos20a非理想情况：电子散射波间存在相位差I,=loR'mc任意方向上原子散射强度因各电子散射线间Ia=fle的干涉作用小于Z2I。，引入一个因子f1+cos*20I.fil。 原子散射因子1=f2E2R-mf=量E.物理意义：原子散射波振幅与电子散射波振幅之比，f<z·晶胞衍射强度·晶胞衍射强度晶胞对入射X射线的散射：晶胞内各个原子OA= xja+yjb+zc散射波合成的结果2元。_2元OA·(s-HKL√波失量解析表达式振幅AAcos+iAsingS-Sp=ArHKL位相中\欧拉公式ri=Ha'+Kb'+LcAcosΦ+iAsing=Ae'eΦ= 2元(Hx, + Ky, + Lz,)Aeid2ai(x,+Ky,+L-,)Aei=f.结构因子的计算整数Fu -Z fer(trtt),2πi(Hx,+Ky,+L=))@ =(-1)"J=lj=l结构因子晶胞中含有原子数目：1Eb原子坐标：000O结构振幅F= fe2x(0) = fI,=FP1F=f2简单点阵F与hkl无关，所有晶面均有反射。9
9 •原子的散射强度 非理想情况：电子散射波间存在相位差 任意方向上原子散射强度因各电子散射线间 的干涉作用小于Z2Ie，引入一个因子f Ia = f2Ie 物理意义：原子散射波振幅与电子散射波 振幅之比，f < Z 原子散射因子 •原子的散射强度 4 2 0 2 24 1 cos 2 ( ) 2 e e I I Rmc + θ = Ia = f2Ie 4 2 2 0 2 24 1 cos 2 ( ) 2 a e I fI Rmc + θ = 9欧拉公式 cos sin i A iA Ae φ φ φ + = 9波矢量解析表达式 A iA cos sin φ + φ i Ae φ •晶胞衍射强度 晶胞对入射X射线的散射：晶胞内各个原子 散射波合成的结果 振幅A 位相Φ •晶胞衍射强度 S0 N O A S0 S S （HKL） M 0 2 2 OA s s ( ) π π φ δ λ λ = = •− 0 HKL s s r λ ∗ − = OA= xj a+yj b+zj c HKL r Ha Kb Lc ∗ ∗ ∗∗ =++ 2( ) H j j j φ = π x Ky Lz + + 2( ) j j j i i Hx Ky Lz Ae f ej φ π + + = 2( ) 1 j j j n i Hx Ky Lz HKL j j F fe π + + = = ∑ b e E F E = 2 b e I = F I 结构因子 结构振幅 2( ) 1 j j j n i Hx Ky Lz HKL j j F fe π + + = = ∑ 结构因子的计算 简单点阵 晶胞中含有原子数目： 原子坐标： 1 000 2 (0) i F fe f π = = 2 2 F = f ( 1) ni n e π = − 整数 F与hkl无关，所有晶面均有反射
结构因子的计算结构因子的计算2ni(Hx,+Ky,+L=j)2ni(Hx,+Ky,+L=))FHKL =ZFHKL=fe>feeni =(-1)"j=1j=1晶胞中含有原子数目：2晶胞中含有原子数目：2111111原子坐标：000,2-2-2原子坐标：000,2222miH+K+LFHK=ffe2zi(0)FHKL = f(I+e(H+K+L)体心点阵体心点阵结构因子的计算结构因子的计算n(110)，(200),(211),(310)(111)，(200)，(220)，(311)（100）（111),（210），（221)(100）)，（110），(112)，(221)=P晶胞中含有原子数目：2晶胞中含有原子数目：4原子坐标：000,2号22原子坐标：000.号0%19102fH+K+L=偶数4-4fHKL为同性数0H+K+L-奇数HKL为异性数0体心点阵面心点阵结构因子的计算111,112,113或021,022,023·F值只与晶胞所含原子数及原子位置有关而011，012，013或101，102，103与晶胞形状无关。以上各例计算中，均设晶胞内为同类原子(f晶胞中含有原子数目：2相同）；若原子不同类，F值的计算结果不同原子坐标：000,02fH+K=偶数H+K=奇数0底心点阵与L无关10
10 2( ) 1 j j j n i Hx Ky Lz HKL j j F fe π + + = = ∑ 结构因子的计算 体心点阵 晶胞中含有原子数目： 原子坐标： 2 000，111 , , 222 2( ) 2 (0) 2 1 2 H K L i i F fe fe HKL π π + + = + 2( ) 1 j j j n i Hx Ky Lz HKL j j F fe π + + = = ∑ 结构因子的计算 体心点阵 晶胞中含有原子数目： 原子坐标： 2 000，111 , , 222 ( ) (1 ) iH K L F fe HKL π + + = + ( 1) ni n e π = − 2( ) 1 j j j n i Hx Ky Lz HKL j j F fe π + + = = ∑ 结构因子的计算 体心点阵 晶胞中含有原子数目： 原子坐标： 2 000， F = 2f H+K+L=偶数 0 H+K+L=奇数 111 , , 222 ( 1) ni n e π = − （110）,（200）,（211）,（310） （100）,（111）,（210）,（221） 2( ) 1 j j j n i Hx Ky Lz HKL j j F fe π + + = = ∑ 结构因子的计算 面心点阵 晶胞中含有原子数目： 原子坐标： 4 000，1 1, ,0 2 2 1 1 ,0, 2 2 1 1 0, , 2 2 F = 4f HKL为同性数 0 HKL为异性数 ( 1) ni n e π = − （111）,（200）,（220）,（311） （100）,（110） ,（112）,（221） 2( ) 1 j j j n i Hx Ky Lz HKL j j F fe π + + = = ∑ 结构因子的计算 底心点阵 晶胞中含有原子数目： 原子坐标： 2 000， F = 2f H+K=偶数 0 H+K=奇数 1 1, ,0 2 2 与L无关 ( 1) ni n e π = − 111,112,113或021,022,023 011，012，013或101，102，103 •F值只与晶胞所含原子数及原子位置有关而 与晶胞形状无关。 •以上各例计算中，均设晶胞内为同类原子(f 相同)；若原子不同类，F值的计算结果不同