中国科学技术大学：《电磁学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 磁能

■在N个线圈中，总的电源作功是： dAr=∑a4=∑L4,a,+∑M1,alg (8.1.7) i=1 i=1 i,k=1 k≠i ■由M:=Mk以及上式右边第二项互换求和指标 和k结果不变，得： i,k=1 4成2d i,k=1 i,k=1 i.k= k≠i k≠i i≠k i≠k 于是，可将式(8.1.7)写成： dA'= ∑Mkdu,Hk)+∑Ll,d山， 2 i,k=1 i=l i≠k

■在N 个线圈中，总的电源作功是：             N i N k i i k i i i ki i k N i dA dAi L I dI M I dI 1 1 , 1 (8.1.7) ■由 以及上式右边第二项互换求和指标 i和k结果不变，得： ( ) 2 1 2 1 , 1 , 1 , 1 , 1 k N i k i k ik i N i k i k ik k i N k i i k ki i k N k i i k ki i k M I dI M I dI M I dI M d I I                  Mki  Mik ■于是，可将式（8.1.7）写成：         N i i i i N i k i k dA Mik d IiIk L I dI , 1 1 ( ) 2 1

将上式从始态（全部1，=0）至末态积分便得： 4+2, 23 i-1 i≠k 该功转换为系统的磁能 W 三拉1片 N (8.1.8) i,k=1 i≠k 于是，方程右边的第一项表示N个线圈系统的互 感磁能，第二项表示自感磁能

■将上式从始态（全部 I i  0 ）至末态积分便得：         N i i i N i k i k ik i k A M I I L I 1 2 , 1 2 1 2 1 ■该功转换为系统的磁能 Wm :          N i i i N i k i k m ik i k W A M I I L I 1 2 , 1 2 1 2 1 (8.1.8) 于是，方程右边的第一项表示N个线圈系统的互 感磁能，第二项表示自感磁能

■进一步，记Mm=L,则式(8.1.8)可表为： W W m= (8.1.9) i,k=1 ■设Φa=MaI=MkIk,它表示第k个线圈的电流 的磁场通过第个线圈的磁通，且令： Φ，= ∑D:=∑MkIk (8.1.10) k=1 k=1 于是式(8.1.9)又可写成： 形m=2∑1， (8.1.11) 式(8.1.9)与式(8.1.11)只不过是式 (8.1.8)的另一种表述方式，便于记忆

■进一步，记 Mii  Li ，则式（8.1.8）可表为：    N i k m ik i k W M I I , 1 2 1 (8.1.9) ■设 ，它表示第k个线圈的电流 的磁场通过第i个线圈的磁通，且令： ki Mki k ik k   I  M I         N k ik k N k i ki M I 1 1 (8.1.10) ■于是式（8.1.9）又可写成：     N i m i i W I 1 2 1 (8.1.11) 式（8.1.9）与式（8.1.11）只不过是式 （8.1.8）的另一种表述方式，便于记忆

§ 8.2戴流线圈在外磁场中的磁能 对两个载流线圈的系统，我们应用式(8.1.9】 求得磁能的表达式如下： Wm =号L1+)L,4g+M21,1 (8.2.1) 上式右边第一、第二项分别是两个载流线圈的 自感磁能，第三项是两个载流线圈的互感磁能 当我们只对两个载流线圈的相互作用感兴趣时， 即只研究它们的互感磁能，也就是互能，把它 记为W12，,其表达式为： W12=M12I12=①1212 (8.2.2)

§8.2 戴流线圈在外磁场中的磁能 n 对两个载流线圈的系统，我们应用式（8.1.9） 求得磁能的表达式如下： 2 2 1 1 2 2 12 1 2 1 1 . 2 2 Wm  L I  L I  M I I (8.2.1) 上式右边第一、第二项分别是两个载流线圈的 自感磁能，第三项是两个载流线圈的互感磁能。 ■ 当我们只对两个载流线圈的相互作用感兴趣时， 即只研究它们的互感磁能，也就是互能，把它 记为 W12 ，其表达式为： 12 12 1 2 12 2 W  M I I   I , (8.2.2)

式（8.2.2)可进一步写成： W2=12JB,(3）dS, (8.2.3) 我们可将该系统的互能看成为载流线圈2在外磁 场B,中所具有的磁能 对均匀外磁场中的载流线圈或非均匀外磁场中 的小载流线圈，式(8.2.3)右边的5)可从积 分号中提出，简记为B,以至： W2=B.(I2S2)=m·B. (8.2.4) 这是磁矩m在外磁场B中的磁能表达式，与第三章3.3 节例3.4中对应的电偶极子在外电场中的能量表达 式W。=-p·E相比差一负号，在§8.5中解释

式（8.2.2）可进一步写成： 2 12 2 1 2 ( ) , S W  I d  B r S (8.2.3) 我们可将该系统的互能看成为载流线圈2在外磁 场 中所具有的磁能。 ■对均匀外磁场中的载流线圈或非均匀外磁场中 的小载流线圈，式（8.2.3）右边的 可从积 分号中提出，简记为B，以至： B1 1 2 B(r) 12 2 2 W  B(I S )  mB. (8.2.4) 这是磁矩m在外磁场B中的磁能表达式，与第三章3.3 节例3.4中对应的电偶极子p在外电场中的能量表达 式 We   p  E 相比差一负号,在§8.5中解释