D0I:10.13374/i.issnl00113.2008.09.020 第30卷第9期 北京科技大学学报 Vol.30 No.9 2008年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sep·2008 基于顾及像素空间信息的加权FCM聚类的图像分割 康家银)闵乐泉1) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要针对标准的FCM算法没有考虑像素的空间信息而对噪声比较敏感和没有考虑不同样本数据对聚类效果的不同影 响的不足，提出了一种顾及像素空间信息的基于图像的灰度直方图加权的FCM聚类算法，它在Szilagyi等提出的算法基础上 通过引入图像的灰度直方图加权对算法中的目标函数进行修改，对人工合成图像和真实图像的数值模拟结果均显示出该算 法的优良性能 关键词图像分割：空间信息：加权：模糊C均值 分类号TP391.41 Image segmentation based on weighted fuzzy C-means clustering accounting for pixel spatial information KANG Jiayin,MIN Lequan12) 1)School of Information Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT The standard FCM algorithm is noise sensitive because of not taking spatial information into account,and it considers that each feature datum has the same contribution to classifying results.To overcome the above problems,this paper presented a mod- ified FCM algorithm accounting for pixel spatial information based on gray histogram weight.The proposed algorithm was realized via introducing a gray histogram weight in the objective function given in Szilagyi s algorithm.Experimental results on both artificial syn- thesized images and realistic images demostrated the sound performances of the proposed algorithm. KEY WORDS image segmention:spatial information:weighting:fuzzy C-means 图像分割是图像分析和模式识别的首要问题， 针对第一个问题，近年来一些研究者在考虑像 也是图像处理的经典难题之一，它是图像分析和模 素空间信息的前提下，通过修改标准FCM聚类算 式识别系统的重要组成部分，并决定图像的最终分 法的目标函数使得图像分割的效能提高5)].文 析质量和模式识别的判别结果山.模糊C均值 献[8]通过引入一个称之为线性加权和图像（该图像 (fuzzy C-means,FCM)聚类算法，是一种非监督的 事先由原图像与原图像的局部邻域均值图像形成) 聚类算法，已经被成功的应用到图像分割中] 对目标函数进行了修改，从而考虑了像素的空间信 相对于硬C均值聚类算法[，FCM能够在分割结果 息，并提出了一种基于图像灰度等级的快速FCM 中保存原始图像的更多信息，然而一方面由于标准 聚类算法(EnFCM), 的FCM聚类算法没有顾及像素的空间信息，从而 针对第二个问题，文献[6]提出了一种基于数据 使得该算法对噪声比较敏感可；另一方面没有考虑 特征加权的聚类算法，在灰度图像分割中，所研究 不同样本矢量对聚类效果的不同影响，即认为各个 的数据为像素，其特征为灰度值，从一幅图像的灰 样本矢量（特征数据）对聚类结果的贡献或影响是相 度直方图可知，像素的不同灰度等级出现的频次是 同的[61 不同的，相应的对聚类结果的贡献或影响理应不同. 收稿日期：2007-09-03修回日期：2008-01-08 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·60674059) 作者简介：康家银(1974-)，男，博士研究生，E-mail:jiayinkang@gmail-com:闵乐泉(1951一)，男：教授，博士生导师
基于顾及像素空间信息的加权 FCM 聚类的图像分割 康家银1） 闵乐泉12） 1） 北京科技大学信息工程学院北京100083 2） 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 针对标准的 FCM 算法没有考虑像素的空间信息而对噪声比较敏感和没有考虑不同样本数据对聚类效果的不同影 响的不足提出了一种顾及像素空间信息的基于图像的灰度直方图加权的 FCM 聚类算法它在 Szilagyi 等提出的算法基础上 通过引入图像的灰度直方图加权对算法中的目标函数进行修改．对人工合成图像和真实图像的数值模拟结果均显示出该算 法的优良性能． 关键词 图像分割；空间信息；加权；模糊 C 均值 分类号 TP391∙41 Image segmentation based on weighted fuzzy C-means clustering accounting for pixel spatial information KA NG Jiayin 1）MIN Lequan 12） 1） School of Information EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he standard FCM algorithm is noise sensitive because of not taking spatial information into accountand it considers that each feature datum has the same contribution to classifying results．To overcome the above problemsthis paper presented a modified FCM algorithm accounting for pixel spatial information based on gray histogram weight．T he proposed algorithm was realized via introducing a gray histogram weight in the objective function given in Szilagyi’s algorithm．Experimental results on both artificial synthesized images and realistic images demostrated the sound performances of the proposed algorithm． KEY WORDS image segmention；spatial information；weighting；fuzzy C-means 收稿日期：2007－09－03 修回日期：2008－01－08 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60674059） 作者简介：康家银（1974－）男博士研究生E-mail：jiayinkang＠gmail．com；闵乐泉（1951－）男教授博士生导师 图像分割是图像分析和模式识别的首要问题 也是图像处理的经典难题之一它是图像分析和模 式识别系统的重要组成部分并决定图像的最终分 析质量和模式识别的判别结果［1］．模糊 C 均值 （fuzzy C-meansFCM）聚类算法是一种非监督的 聚类算法已经被成功的应用到图像分割中［2－3］． 相对于硬 C 均值聚类算法［4］FCM 能够在分割结果 中保存原始图像的更多信息．然而一方面由于标准 的 FCM 聚类算法没有顾及像素的空间信息从而 使得该算法对噪声比较敏感［5］；另一方面没有考虑 不同样本矢量对聚类效果的不同影响即认为各个 样本矢量（特征数据）对聚类结果的贡献或影响是相 同的［6］． 针对第一个问题近年来一些研究者在考虑像 素空间信息的前提下通过修改标准 FCM 聚类算 法的目标函数使得图像分割的效能提高［57－8］．文 献［8］通过引入一个称之为线性加权和图像（该图像 事先由原图像与原图像的局部邻域均值图像形成） 对目标函数进行了修改从而考虑了像素的空间信 息并提出了一种基于图像灰度等级的快速 FCM 聚类算法（EnFCM）． 针对第二个问题文献［6］提出了一种基于数据 特征加权的聚类算法．在灰度图像分割中所研究 的数据为像素其特征为灰度值．从一幅图像的灰 度直方图可知像素的不同灰度等级出现的频次是 不同的相应的对聚类结果的贡献或影响理应不同． 第30卷 第9期 2008年 9月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．9 Sep．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．09．020
第9期 康家银等：基于顾及像素空间信息的加权FCM聚类的图像分割 ,1073 基于以上分析，本文在EFCM算法的基础上， 将原图像中各像素的灰度值x:进行局部邻域内的 提出了一种基于图像的灰度直方图加权的顾及像素 线性加权，然后由原图像和局部邻域均值得到线性 空间信息的FCM改进算法(spatially weighted 加权和图像S: FCM,SWFCM),算法中的权值由直方图中各灰度 Xi (5) 级出现的概率给出 其中S:表示了在图像S中第i像素的灰度值；N:表 1改进的FCM聚类算法 示以x:为中心的邻域内全体像素的集合，x表示x: 1.1FCM聚类算法 邻域内各像素的灰度值；Nr是该集合中像素的个 FCM算法最先由Dunn提出，后经Bezdek改 数，即基(cardinality); ∑x/Nn如同一个均值滤波 EN 进.FCM算法用于图像分割是根据图像中像素和c 器，a为一惩罚系数，相应的，EnFCM分割算法的 个聚类中心的每一个中心的加权隶属度，对目标函 数进行迭代优化.FCM算法的目标函数为)： 目标函数定义如下： J 空空嘘‖x-I2 名合婚∥-‖2 (6) (1) k=1=1 其中={，l=1,2,…,g,是由式(5)中定义 其中X={x,=1,2,…,N|x:∈R4}为数据集，本 的图像中灰度为l的像素的全体，V={vk}(k=1, 文中x:就是图像中各像素的灰度值；c为聚类的类 2,…,c)为聚类中心矩阵；U={uu(k=1,2,…,c, 数且2≤c≤N-1;m为模糊加权指数且1<m< l=1,2,…,q)为模糊隶属度矩阵，且满足约束条 ∞；V=iv{(k=1,2,,c)为聚类中心矩阵；U= {u(k=1,2,,c;i=1,2,,N)为模糊隶属度 件：对于任意的k有u=1.g表示给定图像 矩阵，且满足下面的约束条件： 的灰阶数（如对于一幅8位图像，q=256.g的值远 小于像素的总数N)·Y为灰度值等于I的像素的 =1 .0K空w<N (2) 数目(1=1,2,9g).自然地有∑=N.类似于 标准的FCM聚类算法，在约束条件“对于任意的l, 使目标函数J最小的迭代优化算法如下 (1)确定聚类数目c、模糊加权指数m、迭代终 有兰=1时，求式（的的极小值，令人对和 止阈值e以及允许的最大迭代次数nmr· 的偏导数为0，可得到极小值的必要但不充分条 (2)初始化聚类中心矩阵v(k=1,2,…,c) 件为： (③)用当前聚类中心按下式计算隶属度函数 (5-y)2(m- (7) ‖x-y%D2m-) (3) (-) -, (4)用当前隶属度函数按下式更新各类的聚类 wi Pg =1 中心 (8) 1 之uxi 在式(6)中，将灰度级作为待分类的样本.这样做的 (4) 结果一方面加速了分割过程；另一方面分类的样本 =1 数只与灰级的个数有关，而不会随图像尺寸的增大 (5)选取合适的矩阵范数，如果‖v(m+)一 而增大，然而在式(6)中却没有考虑不同灰度级样 v()‖<e或n>nmm,则算法终止；否则n=n十 本对聚类效果的不同影响，即认为它们对聚类结果 1,转到(3) 的贡献是相同的，实际上由于不同灰度级样本出现 1.2改进的FCM聚类算法 的概率不同，因而对聚类的贡献理应不同，鉴于此， 文献[8]提出了一种顾及像素空间信息的用于 在式(6)的基础上对目标函数修改： 灰度图像分割的FCM聚类快速算法，EnFCM.为 叙述简便，将原图像X记为X=ix:},其中x:是图 =2空i5-: (9) 像X中第i像素的灰度值，在该算法迭代之前，先 其中，01为灰度级样本(1=1,2，…，q)在聚类中
基于以上分析本文在 EnFCM 算法的基础上 提出了一种基于图像的灰度直方图加权的顾及像素 空间 信 息 的 FCM 改 进 算 法 （spatially weighted FCMSWFCM）算法中的权值由直方图中各灰度 级出现的概率给出． 1 改进的 FCM 聚类算法 1∙1 FCM聚类算法 FCM 算法最先由 Dunn 提出后经 Bezdek 改 进．FCM 算法用于图像分割是根据图像中像素和 c 个聚类中心的每一个中心的加权隶属度对目标函 数进行迭代优化．FCM 算法的目标函数为［3］： J＝ ∑ c k＝1∑ N i＝1 u m ki‖xi－vk‖2 （1） 其中 X＝｛xii＝12…N｜xi∈R d｝为数据集本 文中 xi 就是图像中各像素的灰度值；c 为聚类的类 数且2≤ c≤ N－1；m 为模糊加权指数且1＜ m＜ ∞；V＝｛vk｝（ k＝12…c）为聚类中心矩阵；U＝ ｛uki｝（ k＝12…c；i＝12…N）为模糊隶属度 矩阵且满足下面的约束条件： uki∈［01］ ∑ c k＝1 uki＝1 ∀ i0＜ ∑ N i＝1 uki＜ N∀k （2） 使目标函数 J 最小的迭代优化算法如下． （1） 确定聚类数目 c、模糊加权指数 m、迭代终 止阈值ε以及允许的最大迭代次数 nmax． （2） 初始化聚类中心矩阵 vk（ k＝12…c）． （3） 用当前聚类中心按下式计算隶属度函数 uki＝ 1 ∑ c r＝1 ‖xi － vk‖ ‖xi － vr‖ 2／（ m－1） （3） （4） 用当前隶属度函数按下式更新各类的聚类 中心 vk＝ ∑ N i＝1 u m kixi ∑ N i＝1 u m ki （4） （5） 选取合适的矩阵范数如果‖ V （ n＋1） － V （ n）‖＜ε或 n＞ nmax则算法终止；否则 n＝ n＋ 1转到（3）． 1∙2 改进的 FCM聚类算法 文献［8］提出了一种顾及像素空间信息的用于 灰度图像分割的 FCM 聚类快速算法EnFCM．为 叙述简便将原图像 X 记为 X＝｛xi｝其中 xi 是图 像 X 中第 i 像素的灰度值．在该算法迭代之前先 将原图像中各像素的灰度值 xi 进行局部邻域内的 线性加权然后由原图像和局部邻域均值得到线性 加权和图像 ζ： ζi＝ 1 1＋α xi＋ α NR ∑ j∈ Ni xj （5） 其中ζi 表示了在图像ζ中第 i 像素的灰度值；Ni 表 示以 xi 为中心的邻域内全体像素的集合xj 表示 xi 邻域内各像素的灰度值；NR 是该集合中像素的个 数即基（cardinality）；∑ j∈ Ni xj／NR 如同一个均值滤波 器α为一惩罚系数．相应的EnFCM 分割算法的 目标函数定义如下： Js＝ ∑ c k＝1∑ q l＝1 γlu m kl‖ξl－vk‖2 （6） 其中ξ＝｛ξll＝12…q｝ξl 是由式（5）中定义 的图像中灰度为 l 的像素的全体V＝｛vk｝（ k＝1 2…c）为聚类中心矩阵；U＝｛ukl｝（ k＝12…c l＝12…q）为模糊隶属度矩阵且满足约束条 件：对于任意的 l有 ∑ c k＝1 ukl＝1．q 表示给定图像 的灰阶数（如对于一幅8位图像q＝256．q 的值远 小于像素的总数 N）．γl 为灰度值等于 l 的像素的 数目（ l＝12…q）自然地有 ∑ q l＝1 γl＝ N．类似于 标准的 FCM 聚类算法在约束条件“对于任意的 l 有 ∑ c k＝1 ukl＝1”时求式（6）的极小值令 Js 对 vk 和 ukl的偏导数为0可得到极小值的必要但不充分条 件为： ukl＝ （ξl － vk） －2／（ m－1） ∑ c r＝1 （ξl － vr） －2／（ m－1） （7） vk＝ ∑ q l＝1 γlu m klξl ∑ q l＝1 γlu m kl （8） 在式（6）中将灰度级作为待分类的样本．这样做的 结果一方面加速了分割过程；另一方面分类的样本 数只与灰级的个数有关而不会随图像尺寸的增大 而增大．然而在式（6）中却没有考虑不同灰度级样 本对聚类效果的不同影响即认为它们对聚类结果 的贡献是相同的．实际上由于不同灰度级样本出现 的概率不同因而对聚类的贡献理应不同鉴于此 在式（6）的基础上对目标函数修改： Js＝ ∑ c k＝1∑ q l＝1 wlγlu m kl‖ξl－vk‖2 （9） 其中wl 为灰度级样本ξl（ l＝12…q）在聚类中 第9期 康家银等： 基于顾及像素空间信息的加权 FCM 聚类的图像分割 ·1073·
.1074 北京科技大学学报 第30卷 的权系数.其值可以通过图像的灰度直方图计算如 当1-名叫 (13) 下： -六1=0.19 求L,对uu和v的偏导数，有： (10) 其中，Y和g的意义与式(6)相同，即q表示给定图 L=0片mwM01‖9-%2+(-1)=0 d ukl 像的灰阶数；Y,为灰度值等于l的像素的数目(l= (14) 12,…,g),且有空%=N.显然1满足条件 =1 歌-=会w1=0 a入 (15) 】0=1,即01可认为是各灰度级出现的概率， 由式(14)可知： 11/(m-1) 也就是说，由式(10)可知各灰度级的权值可由灰度 图像的归一化直方图给出 whu-m lv: (16) 将式(16)代入(15)中，得： 同样在约束条件：对于任意的1，当会地1 x(m-) (m-=1 1 、mwIYl 台15-， 时，求式(9)的极小值，令J对k和的偏导数为 0,可得到极小值的必要条件为： (17) (5-2(m- 因此有： (-,)2a (11) ,m01Y) (I专-，I3)w wihuu =1 (18) (12) wu暗 最后，将式(18)代入(16)得： 显然，由式(12)可知权系数01的主要作用在于聚 (-,I3)a= (1-3(m-)= r=1 类中心的调整，当01=1/g时，即认为各个样本对 聚类影响一致时，SWFCM就退化为EFCM算法， 1 下面以定理的形式给出SWFCM, ‖专-名(m (19) 定理设={，l=1,2,…,g表示一幅灰度 1-,网 级图像，其中为灰度图像？中灰度为（的像素的 类似得到： 全体，图像被划分成c类，在约束条件ku∈[0， 2L=0台-220M8(5-g)=0(20) avk 空m=1.V1.0<空mu<gV号下达代优 由式(20)得： 化目标函数(9)使其达到最小，则w和'%必须满足 下面的等式： 》- 01u (21) (-y)2火m- 所以有： (-) ∑D1YuR =1 (22) 名01u吸 身a 证毕. hu暗 改进的FCM聚类算法一SWFCM,可以按照 证明利用拉格朗日乘数法，定义一带有约束 以下迭代步骤完成， 条保∈[0.刂空u=1,1.<空 u< (1)设定聚类数目2≤c≤g一1和参数m>1, 算法终止阈值c>0,允许的最大迭代次数nmax· q,H的新目标函数如下： (2)初始化各个聚类中心%(k=1,2,…,c) L,-会兰随5nl2+ (3)运用式(5)计算新的灰度级图像ξ. (4)用当前聚类中心v%根据式(11)计算隶属
的权系数．其值可以通过图像的灰度直方图计算如 下： wl＝ γl N l＝01…q （10） 其中γl 和 q 的意义与式（6）相同．即 q 表示给定图 像的灰阶数；γl 为灰度值等于 l 的像素的数目（ l＝ 12…q）且有 ∑ q l＝1 γl ＝ N．显然 wl 满足条件 ∑ q l＝1 wl＝1即 wl 可认为是各灰度级出现的概率 也就是说由式（10）可知各灰度级的权值可由灰度 图像的归一化直方图给出． 同样在约束条件：对于任意的 l当 ∑ c k＝1 ukl＝1 时求式（9）的极小值令 Js 对 vk 和 ukl的偏导数为 0可得到极小值的必要条件为： ukl＝ （ξl － vk） －2／（ m－1） ∑ c r＝1 （ξl － vr） －2／（ m－1） （11） vk＝ ∑ q l＝1 wlγlu m klξl ∑ q l＝1 wlγlu m kl （12） 显然由式（12）可知权系数 wl 的主要作用在于聚 类中心的调整当 wl＝1／q 时即认为各个样本对 聚类影响一致时SWFCM 就退化为 EnFCM 算法． 下面以定理的形式给出 SWFCM． 定理 设ξ＝｛ξll＝12…q｝表示一幅灰度 级图像其中 ξl 为灰度图像ζ中灰度为 l 的像素的 全体图像被划分成 c 类．在约束条件 ukl∈ ［0 1］ ∑ c k＝1 ukl＝1∀ l0＜ ∑ q l＝1 ukl＜q∀k 下迭代优 化目标函数（9）使其达到最小则 ukl和 vk 必须满足 下面的等式： ukl＝ （ξl － vk） －2／（ m－1） ∑ c r＝1 （ξl － vr） －2／（ m－1） ； vk＝ ∑ q l＝1 wlγlu m klξl ∑ q l＝1 wlγlu m kl ． 证明 利用拉格朗日乘数法定义一带有约束 条件 ukl∈ ［01］ ∑ c k＝1 ukl＝1∀ l0＜ ∑ q l＝1 ukl＜ q∀k 的新目标函数如下： Ls＝ ∑ c k＝1∑ q l＝1 wlγlu m kl‖ξl－vk‖2＋ ∑ q l＝1 λl 1－ ∑ c k＝1 ukl （13） 求 Ls 对 ukl和 vk 的偏导数有： ∂Ls ∂ukl ＝0⇔ mwlγlu m－1 kl ‖ξl－vk‖2＋λl（－1）＝0 （14） ∂Ls ∂λl ＝0⇔ ∑ c k＝1 ukl－1＝0 （15） 由式（14）可知： ukl＝ λl mwlγl‖ξl－vk‖2） 1／（ m－1） （16） 将式（16）代入（15）中得： λl mwlγl 1／（ m－1） ∑ c r＝1 1 ‖ξl－vr‖2 1／（ m－1） ＝1 （17） 因此有： λl mwlγl 1／（ m－1） ＝ 1 ∑ c r＝1 （‖ξl － vr‖2） －1／（ m－1） （18） 最后将式（18）代入（16）得： ukl＝ ∑ c r＝1 （‖ξl － vr‖2） 1／（ m－1） （‖ξl － vk‖2） 1／（ m－1） ＝ 1 ∑ c r＝1 ‖ξl － vk‖2 ‖ξl － vr‖2 1／（ m－1） （19） 类似得到： ∂Ls ∂vk ＝0⇔－2∑ q l＝1 wlγlu m kl（ξl－vk）＝0 （20） 由式（20）得： ∑ q l＝1 wlγlu m klξl＝ ∑ q l＝1 wlγlu m klvk （21） 所以有： vk＝ ∑ q l＝1 wlγlu m klξl ∑ q l＝1 wlγlu m kl （22） 证毕． 改进的 FCM 聚类算法－－－SWFCM可以按照 以下迭代步骤完成． （1） 设定聚类数目2≤c≤q－1和参数 m＞1 算法终止阈值ε＞0允许的最大迭代次数 nmax． （2） 初始化各个聚类中心 vk（ k＝12…c）． （3） 运用式（5）计算新的灰度级图像ξ． （4） 用当前聚类中心 vk 根据式（11）计算隶属 ·1074· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第9期 康家银等：基于顾及像素空间信息的加权FCM聚类的图像分割 ,1075. 度I (5)用当前隶属度1按式(12)更新各类的聚 空[购1 Vpe= N (23) 类中心vk (6)选取合适的矩阵范数，如果‖v(a+)一 其中N是像素的总个数，：由式(I)定义· v()‖<e或n>nmr,运算终止；否则n=n十1， 返回步骤(4)， 当算法收敛时，得到各类的聚类中心和各个灰 度级样本对于各类的隶属度，完成模糊聚类划分. 2 最后将模糊聚类结果进行去模糊化，将模糊聚类转 (a) (b) 变为确定性分类，实现最终的聚类分割， 2实验结果与分析 为了验证算法SWFCM的性能，通过一些实验 (c) (d) 用来比较本算法与其他三种聚类算法FCM③]，En~ FCM8]和Ahmed[]的性能.利用三种图像进行算 图2加有高斯噪声合成图像的分割结果.(a)FCM分割结果； 法的测试：一种是人工合成图像，另两种是实际图 (b)EnFCM分割结果；(c)Ahmed分割结果；(d)SWFCM分割结 果 像 Fig.2 Segmented results of the image degraded by Gaussian noise: 2.1采用人工合成图像进行实验 (a)FCM;(b)EnFCM:(c)Ahmed:(d)SWFCM 图1(a)所示的是一幅人工合成的图像，共有四 类.相应的灰度值分别为：50（左上角），100（右上 角)，150（左下角）和200（右下角）.其中每一类（子 图像)含有100×100像素，将均值为0，方差为 0.05的高斯噪声(=0，o=0.05)和噪声浓度为 0.01的盐椒噪声(d=0.01)分别加到该图像中，被 (a) (b) 噪声污染了的图像分别如图1(b)和图1(c)所示 (c) (d) (a) (b) (c) 图3加有盐椒噪声合成图像的分割结果.(a)FCM分割结果； 图1人工合成图像.(a)原始图像：(b)含有高斯噪声的图像： (b)EnFCM分割结果：(c)Ahmed分割结果：(d)SWFCM分割结 (c)含有盐椒噪声的图像 果 Fig.1 Artificial synthetic image:(a)original image:(b)image de- Fig.3 Segmented results of the image degraded by Salt and Pepper graded by Gaussian noise:(e)image degraded by Salt and Pepper noise:(a)FCM:(b)EnFCM:(c)Ahmed;(d)SWFCM noise 图2(a)(d)分别为利用FCM、EnFCM、 上面这个验证函数的思想是：Ve越小则分割 Ahmed和SWFCM分割含有高斯噪声合成图像的 效果（性能）越好.表1列出了FCM、EnFCM、 结果.参数设置为：c=4,m=2,a=5,e=10-5,局 Ahmed和SWFCM聚类算法分别分割加有高斯和 部邻域的大小为5X5的窗口. 盐椒噪声的合成图像（分别见图1(）和图1(c)时 类似于加有高斯噪声合成图像的分割，利用 的Ve·此外，上述四种算法分割图1(b)和图1(c) FCM、EnFCM、Ahmed和SWFCM分割加有盐椒噪 所示的图像的迭代次数和分割正确率(segmentation 声合成图像的结果分别如图3(a)一(d)所示. accuracy,SA)也分别列在表1中，其中分割正确率 为了评价聚类算法的性能，通常采用分割熵 定义为：正确分割的像素个数除以像素的总个 (partition entropy)Ve进行定量评价，Ve定义如 数10 下： 从图2和图3可知，FCM算法对于噪声很敏 感.而其他三种算法都很好地消除了噪声
度 ukl． （5） 用当前隶属度 ukl按式（12）更新各类的聚 类中心 vk． （6） 选取合适的矩阵范数如果‖ V （ n＋1） － V （ n）‖＜ε或 n＞ nmax运算终止；否则 n＝ n＋1 返回步骤（4）． 当算法收敛时得到各类的聚类中心和各个灰 度级样本对于各类的隶属度完成模糊聚类划分． 最后将模糊聚类结果进行去模糊化将模糊聚类转 变为确定性分类实现最终的聚类分割． 2 实验结果与分析 为了验证算法 SWFCM 的性能通过一些实验 用来比较本算法与其他三种聚类算法 FCM ［3］EnFCM ［8］和 Ahmed ［9］ 的性能．利用三种图像进行算 法的测试：一种是人工合成图像另两种是实际图 像． 2∙1 采用人工合成图像进行实验 图1（a）所示的是一幅人工合成的图像共有四 类．相应的灰度值分别为：50（左上角）100（右上 角）150（左下角）和200（右下角）．其中每一类（子 图像）含有100×100像素．将均值为0方差为 0∙05的高斯噪声（μ＝0σ＝0∙05） 和噪声浓度为 0∙01的盐椒噪声（ d＝0∙01）分别加到该图像中被 噪声污染了的图像分别如图1（b）和图1（c）所示． 图1 人工合成图像．（a）原始图像；（b）含有高斯噪声的图像； （c）含有盐椒噪声的图像 Fig．1 Artificial synthetic image：（a） original image；（b） image degraded by Gaussian noise；（c） image degraded by Salt and Pepper noise 图 2（a） ～ （d） 分 别 为 利 用 FCM、EnFCM、 Ahmed 和 SWFCM 分割含有高斯噪声合成图像的 结果．参数设置为：c＝4m＝2a＝5ε＝10－5局 部邻域的大小为5×5的窗口． 类似于加有高斯噪声合成图像的分割利用 FCM、EnFCM、Ahmed 和 SWFCM 分割加有盐椒噪 声合成图像的结果分别如图3（a）～（d）所示． 为了评价聚类算法的性能通常采用分割熵 （partition entropy ） V pe 进行定量评价．V pe 定义如 下［5］： V pe＝ －∑ N i＝1 ∑ c k＝1 ［ ukilg uki］ N （23） 其中 N 是像素的总个数uki由式（1）定义． 图2 加有高斯噪声合成图像的分割结果．（a） FCM 分割结果； （b） EnFCM 分割结果；（c） Ahmed 分割结果；（d） SWFCM 分割结 果 Fig．2 Segmented results of the image degraded by Gaussian noise： （a） FCM；（b） EnFCM；（c） Ahmed；（d） SWFCM 图3 加有盐椒噪声合成图像的分割结果．（a） FCM 分割结果； （b） EnFCM 分割结果；（c） Ahmed 分割结果；（d） SWFCM 分割结 果 Fig．3 Segmented results of the image degraded by Salt and Pepper noise：（a） FCM；（b） EnFCM；（c） Ahmed；（d） SWFCM 上面这个验证函数的思想是：V pe越小则分割 效果 （性 能） 越 好．表 1 列 出 了 FCM、EnFCM、 Ahmed 和 SWFCM 聚类算法分别分割加有高斯和 盐椒噪声的合成图像（分别见图1（b）和图1（c））时 的 V pe．此外上述四种算法分割图1（b）和图1（c） 所示的图像的迭代次数和分割正确率（segmentation accuracySA）也分别列在表1中．其中分割正确率 定义为：正确分割的像素个数除以像素的总个 数［10］． 从图2和图3可知FCM 算法对于噪声很敏 感．而其他三种算法都很好地消除了噪声． 第9期 康家银等： 基于顾及像素空间信息的加权 FCM 聚类的图像分割 ·1075·
,1076. 北京科技大学学报 第30卷 表1四种聚类算法分割含有两类噪声的合成图像时的结果比较 高斯噪声，还是在分割加有盐椒噪声的摄影师图像 Table 1 Comparison of the clustering results of two kind noise degrad- 时，都对噪声不具有免疫功能，即对噪声比较敏感 ed synthetic images using four FCM algorithms 而其他三种算法都很好地消除了噪声的影响， 噪声类型 算法 Vpe 选代次数 SA/o FCM 0.4165 82 65.1125 EnFCM 0.2039 15 96.6400 高斯 Ahmed 0.3663 16 96.6000 SWFCM 0.2012 11 96.6725 (a) D FCM 3.2083×10-7 56 92.3350 EnFCM 0.0553 12 97.2450 盐椒 Ahmed 0.0716 13 97.1925 SWFCM 0.0478 97.8562 (e) (d) 此外，从表1可以看出，与算法EnFCM和 图5加有高斯噪声的摄影师图像的分割结果.(a)FCM分割结 Ahmed相比，SWFCM聚类算法在分割含有两种不 果；(b)EnFCM分割结果：(c)Ahmed分割结果；(d)SWFCM分 同类型噪声的人工合成图像时各项性能均是最好 制结果 的，即：分割熵V最小，迭代次数最少，分割正确率 Fig.5 Segmented results of the Cameraman image degraded by Gaussian noise:(a)FCM:(b)EnFCM;(c)Ahmed;(d)SWFCM 最高， 2.2采用真实图像进行实验 本文采用了两种真实图像进行算法测试实验 一种是“摄影师”图像，另一种是MR脑图像（取自 于文献[8]) 图4(a)所示为一幅大小为309×306像素的摄 (a) (b) 影师图像.将均值为0，方差为0.05的高斯噪声 (4=0,σ=0.05)和噪声浓度为0.01的盐椒噪声 (d=0.01)分别加到该图像中，被噪声污染了的图 像分别如图4(b)和图4(c)所示. (c) (d) 图6加有盐椒噪声的摄影师图像的分制结果.(a)FCM分割结 果；(b)EnFCM分割结果：(c)Ahmed分割结果：(d)SWFCM (3) (b) 分割结果 Fig6 Segmented results of the Cameraman image degraded by Salt 图4摄影师图像.()原始图像：(b)含有高斯噪声的图像： and Pepper noise:(a)FCM:(b)EnFCM:(e)Ahmed: (c)含有盐椒噪声的图像 (d)SWFCM Fig.4 Cameraman image:(a)original image:(b)image degraded by Gaussian noise:(c)image degraded by Salt and Pepper noise 表2四种算法在分割含有两类噪声的摄影师图像时的结果比较 Table 2 Comparison of the clustering results of two kind noise degrad- 图5(a)~(d)分别为利用FCM、EnFCM、 ed Cameraman images using four FCM algorithms Ahmed和SWFCM分割含有高斯噪声摄影师图像 噪声类型 算法 Vpe 迭代次数 的结果，参数设置为：c=2,m=2,a=5,e=10-5, FCM 0.1241 21 局部邻域的大小为5×5的窗口， EnFCM 0.0973 9 高斯 类似于加高斯噪声摄影师图像的分割，利用 Ahmed 0.0998 10 SWFCM 0.0914 5 FCM、EnFCM、Ahmed和SWFCM分割加有盐椒噪 FCM 2.1723×10-8 声摄影师图像的结果分别示于图6(a)~(d) 19 EnFCM 0.0924 11 四种算法在分割含有两种不同噪声的摄影师图 盐椒 Ahmed 0.1033 9 像时的分割熵Ve分别如表2所示， SWFCM 0.0895 从图5和图6可知，FCM算法无论在分割加有
表1 四种聚类算法分割含有两类噪声的合成图像时的结果比较 Table1 Comparison of the clustering results of two kind noise degraded synthetic images using four FCM algorithms 噪声类型 算法 V pe 迭代次数 SA／％ FCM 0∙4165 82 65∙1125 高斯 EnFCM 0∙2039 15 96∙6400 Ahmed 0∙3663 16 96∙6000 SWFCM 0∙2012 11 96∙6725 FCM 3∙2083×10－7 56 92∙3350 盐椒 EnFCM 0∙0553 12 97∙2450 Ahmed 0∙0716 13 97∙1925 SWFCM 0∙0478 8 97∙8562 此外从表 1 可以看出与算法 EnFCM 和 Ahmed 相比SWFCM 聚类算法在分割含有两种不 同类型噪声的人工合成图像时各项性能均是最好 的即：分割熵 V pe最小迭代次数最少分割正确率 最高． 2∙2 采用真实图像进行实验 本文采用了两种真实图像进行算法测试实验． 一种是“摄影师”图像另一种是 MR 脑图像（取自 于文献［8］）． 图4（a）所示为一幅大小为309×306像素的摄 影师图像．将均值为0方差为0∙05的高斯噪声 （μ＝0σ＝0∙05）和噪声浓度为0∙01的盐椒噪声 （ d＝0∙01）分别加到该图像中被噪声污染了的图 像分别如图4（b）和图4（c）所示． 图4 摄影师图像．（a） 原始图像；（b） 含有高斯噪声的图像； （c） 含有盐椒噪声的图像 Fig．4 Cameraman image：（a） original image；（b） image degraded by Gaussian noise；（c） image degraded by Salt and Pepper noise 图 5（a） ～ （d） 分 别 为 利 用 FCM、EnFCM、 Ahmed 和 SWFCM 分割含有高斯噪声摄影师图像 的结果．参数设置为：c＝2m＝2a＝5ε＝10－5 局部邻域的大小为5×5的窗口． 类似于加高斯噪声摄影师图像的分割利用 FCM、EnFCM、Ahmed 和 SWFCM 分割加有盐椒噪 声摄影师图像的结果分别示于图6（a）～（d）． 四种算法在分割含有两种不同噪声的摄影师图 像时的分割熵 V pe分别如表2所示． 从图5和图6可知FCM 算法无论在分割加有 高斯噪声还是在分割加有盐椒噪声的摄影师图像 时都对噪声不具有免疫功能即对噪声比较敏感． 而其他三种算法都很好地消除了噪声的影响． 图5 加有高斯噪声的摄影师图像的分割结果．（a） FCM 分割结 果；（b） EnFCM 分割结果；（c） Ahmed 分割结果；（d） SWFCM 分 割结果 Fig．5 Segmented results of the Cameraman image degraded by Gaussian noise：（a） FCM；（b） EnFCM；（c） Ahmed；（d） SWFCM 图6 加有盐椒噪声的摄影师图像的分割结果．（a） FCM 分割结 果；（b） EnFCM 分割结果；（c） Ahmed 分割结果；（d） SWFCM 分割结果 Fig．6 Segmented results of the Cameraman image degraded by Salt and Pepper noise： （ a ） FCM； （ b ） EnFCM； （ c ） Ahmed； （d） SWFCM 表2 四种算法在分割含有两类噪声的摄影师图像时的结果比较 Table2 Comparison of the clustering results of two kind noise degraded Cameraman images using four FCM algorithms 噪声类型 算法 V pe 迭代次数 FCM 0∙1241 21 高斯 EnFCM 0∙0973 9 Ahmed 0∙0998 10 SWFCM 0∙0914 5 FCM 2∙1723×10－8 19 盐椒 EnFCM 0∙0924 11 Ahmed 0∙1033 9 SWFCM 0∙0895 5 ·1076· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷