中山大学：《高级金融理论》讲义PDF电子书

多期证券市场中的均衡 16证券组合选择与一阶条件 ·预算约束(1.62)和(1.6.3)本应为≤型不等式,但由于效用函数被假设为递增的,故可写成 等式。 ·预算约束(1.6.2)和(1.6.3)可分别写成 (1.6.4) wt+2t(h, p) (1.6.5) ·问题(1.6.1)的 Lagrange函数为 L(c,h,入)=u(c)+A(5o)u(50)-p(50)h(50)-c(50 A(+o(t)+z(h,p)(51)-c(5t 其中(5t)为相应于预算约束(1.63)的 Lagrange乘子 ·问题(1.6.1)的一阶必要条件为 ac(5) 0,vst,t=0,,,T OL ah(st) 0,Vt;,t=0, 0e()-X()=0,w,t=0,…,T 6.6 A(5()=∑(t+1)+x(t+1)(+1) (1.6.7) 如果u是拟凹的,则上述条件与预算约束还是充分的 如果假设au/c(5t)>0,则条件(1.6.7)变成 p()=∑(t+)+m(+ du/ac(Et) 将其写成分量的形式为 ()=∑(+)+x(5+1 du/ac(Et) 上式表明,证券j在节点t的价格等于证券j在t的子节点5+1的带红利的支付乘以在节 点5t+1的消费与在节点ξt的消费之间的边际替代率后关于t的所有子节点求和 ·在任何时刻的证券价格与下一时刻的证券支付之间的这个关于在多期模型和两期模型中是一 李仲飞 11 eptember 6, 2005

❦❧♠ ♥♦♣qrst✉✈✇ 1.6 ♣q❋●❍■❏❧❑▲▼ • ◆❖P◗ (1.6.2) î (1.6.3) ❘➓ ● ≤ í❴❍❙★❚✏■✳✵➷➬❯✯❡ ● ✷✸✗★❱❂❲✿ ❍❙✌ • ◆❖P◗ (1.6.2) î (1.6.3) ❂✪ë ❲✿ c0 = w0 − p0h0 (1.6.4) ct = wt + zt(h, p), t = 1, . . . , T (1.6.5) • ❈❉ (1.6.1) ✗ Lagrange ➷➬● L(c, h, λ) = u(c) + λ(ξ0)[w(ξ0) − p(ξ0)h(ξ0) − c(ξ0)] + X T t=1 X ξt∈Ft λ(ξt)[w(ξt) + z(h, p)(ξt) − c(ξt)] ❑ ã λ(ξt) ●➏ ➓■◆❖P◗ (1.6.3) ✗ Lagrange ➐ ✟✌ • ❈❉ (1.6.1) ✗❄❳❨ñ❩ ✹● ∂L ∂c(ξt) = 0, ∀ξt, t = 0, . . . , T ∂L ∂h(ξt) = 0, ∀ξt, t = 0, . . . , T ✼ ∂u ∂c(ξt) − λ(ξt) = 0, ∀ξt, t = 0, . . . , T (1.6.6) λ(ξt)p(ξt) = X ξt+1⊂ξt [p(ξt+1) + x(ξt+1)]λ(ξt+1) (1.6.7) • ❉ü u ✛❬❭✗★❪❳❫❩✹❴ ◆❖P◗✮✛❵✪✗✌ • ❉ü✯❡ ∂u/∂c(ξt) > 0, ❪❩✹ (1.6.7) ❛✿ p(ξt) = X ξt+1⊂ξt [p(ξt+1) + x(ξt+1)] ∂u/∂c(ξt+1) ∂u/∂c(ξt) ý ❑ ❲✿✪✻ ✗❜❙● pj(ξt) = X ξt+1⊂ξt [pj(ξt+1) + x(ξt+1)] ∂u/∂c(ξt+1) ∂u/∂c(ξt) , j = 1, . . . , J ❳❙✶❝★ÐÑ j ó➅➆ ξt ✗❙❚❍■ÐÑ j ó ξt ✗✟ ➅➆ ξt+1 ✗ ➇ ✘✙✗✕✖➐ ✲ ó➅ ➆ ξt+1 ✗ÿ￾ ❴ó➅➆ ξt ✗ÿ￾❞é✗❡❢❣✱❤➌✐■ ξt ✗ ✽ ✹✟➅➆❥ î✌ • ó ✥✦✓✔✗ÐÑ❙❚❴❦❄✓✔✗ÐÑ✕✖❞é✗❝ ✎✐■ ó ï❧ìíî➎ ❧ìí ã✛❄ ❺✗✌ c ❤✐❥ 11 September 6, 2005

7一般均衡 第一章多期证券市场中的均衡 §1.7一般均衡 多期证券市场中的均衡由一个证券价格向量p.一簇证券组合策略{h}和一簇消费计划{c} 组成,满足 1.证券组合决策h和消费计划c2是代理人i的依价格p的选择问题的解; 2.市场出清,即 (1.7.1) ·通过将各代理人的预算均衡约束相加,可知(1.7.1)→(1.7.2) 如果没有冗余的证券(即:2(h,p)=0→h=0),则(1.7.2)→(1.7.1) 如果存在冗余的证券,则对应于满足(1.7.2)的消费计划组的所有证券组合策略组中至少 有一个满足(1.71),即市场出清 ·(1.7.1)表示证券是零供应的。证券持有量应视为净交易量。如果每个证券是正供应的,设每 个代理人i的初始证券组合为而,但为简便起见假设没有初始消费禀赋,则此时,最优证券组 合策略h的市场结清条件应为 ∑砖()=∑v 如果将l理解为净交易:h=而-高,则上式与(1.71)一致 §18注记 渐近解决不确定性的事件树模型是不适用的,当 时间是连续的 状态集是无穷的。 在连续时间设置下,下时刻t代理人的信息用事件的σ-代数(σ-域)来描述,而不是用分划 来描述 September 6, 2005 ⊙李仲飞

1.7 ❧♠✈✇ ❦❧♠ ♥♦♣qrst✉✈✇ §1.7 ❂♥♦♣ • ï❧ÐÑÒÓ ã✗qr✏❄✎ÐÑ❙❚✺✻ p. ❄sÐÑ❢❣❽❾ {h i} î❄sÿ￾✁✂ {c i} ❢✿★t✉ 1. ÐÑ❢❣✈❽ h i îÿ￾✁✂ c i ✛✱ ➑✲ i ✗õ❙❚ p ✗❆❇❈❉✗ ➒✇ 2. ÒÓ❯①★✼ X i h i = 0 (1.7.1) X i c i = X i w i (1.7.2) • ❰Ïý✒ ✱ ➑✲ ✗◆❖qrP◗➏→★❂② (1.7.1)⇒(1.7.2) – ❉ü❁✹③④✗ÐÑ (✼ ❀ z(h, p) = 0 ⇒ h = 0), ❪ (1.7.2)⇒(1.7.1) – ❉ü⑤ ó ③④✗ÐÑ★❪✧➓■t✉ (1.7.2) ✗ÿ￾✁✂❢✗✽ ✹ÐÑ❢❣❽❾❢ã⑥⑦ ✹❄✎t✉ (1.7.1) ★✼ÒÓ❯①✌ • (1.7.1) ✶✷ÐÑ✛❈⑧➓✗✌ÐÑ✢✹ ✻ ➓⑨ ●⑩ ◗❘✻ ✌❉ü✍✎ÐÑ✛⑦⑧➓✗★❡✍ ✎✱ ➑✲ i ✗❶❷ÐÑ❢❣● hˆi 0 , ❚ ●❸❹❺❻✯❡❁✹❶❷ÿ￾✴✵★❪✰✓★❼❽ÐÑ❢ ❣❽❾ h¯i ✗ÒÓ❾①❩✹ ➓ ● X i h¯i (ξt) = X i ˆh i 0 , ∀ξt, ❉üý h i ➑➒●⑩ ◗❘❀ h i = ¯h i 0 − hˆi 0 , ❪❳❙ ❴ (1.7.1) ❄❿✌ §1.8 ➀➁ • ➂➃➒ ✈❴➄Ý➅✗ ✸✹➆ ìí✛❴➇✵✗★ä – ✓é✛➈➉✗✌ – ➊➋Ö✛➌➍✗✌ • ó ➈➉✓é❡➎ ❦ ★ ❦ ✓✔ t ✱ ➑✲ ✗➏✱✵✸✹✗ σ- ✱➬ (σ- ➐) þ➑❫★❏❴✛✵✪✂ þ➑❫✌ September 6, 2005 12 c ❤✐❥

第二章多期套利与正性 21引言 与在单期模型一样,在多期模型中,将来支付与它们的当前价格之间的关系有两个特别重要 的性质:线性性与正性。 §22一价定律与线性性 ·多期市场中的一价定律:任何两个具有相同支付的证券组合策略,有相同的时刻0价格,即 z(h,p)=z(h, p)=poo= poho ·条件(2.2.1)等价于 2(h,p)=0→poho=0 这是因为,根据定义,z(h,p)是h的线性函数 ·如果代理人的效用函数在时刻0严格递增,则一价定律在均衡时成立。(试证明) 价定律成立的另一个充分条件是:(请证明) 1.存在具有正的非零支付的证券组合策略, 2.效用函数在那个支付不为零的任何时刻是严格递增的 假设一价定律成立 ·支付定价泛函是映射q:M(P)→R q()=p0ho,Vz∈M(p),其中h使得z=z(h,p) 虽然生成支付z的证券组合策略h可能不唯一。但一价定理保证,所有这些策略的时刻0价 格pho是相同的。这样支付定价泛函是有定义的 支付定价泛函q给每个支付指配了生成这个支付的证券组合策略的时刻-0价格。 q是M(p)上的线性泛函: q(x+2)=q(2)+q(2),V2,z′∈M(p) 证明:∵z,z∈M(p),∴丑,M使得 由于z(h,p)是线性的, z+2=(h, p)+z(h,p)=z(h+h, p). 因此 q(x+2)=p0(h+h')o=poho+p0=q(2)+q(2)

➒➓➔ →➣↔↕➙➛➜ §2.1 ➝➞ ❴ó❆ ❧ìí❄❺★ó ï❧ìí ã★ýþ✕✖❴✑❭✗ä➋❙❚❞é✗✐➟✹➎ ✎ êëðñ ✗➅➠❀➡ ➅➅❴ ⑦➅✌ §2.2 ❂➢➤➥❁➦➧➧ • ï❧ÒÓã✗❄❙Ý➨ ❀ ✥✦➎ ✎➩✹➏ ❹✕✖✗ÐÑ❢❣❽❾★✹ ➏ ❹✗✓✔ 0 ❙❚★✼ z(h, p) = z(h 0 , p) ⇒ p0h0 = p0h 0 0 (2.2.1) • ❩ ✹ (2.2.1) ❍❙■ z(h, p) = 0 ⇒ p0h0 = 0 ❝ ✛❩● ★➫➭ÝÞ★ z(h, p) ✛ h ✗ ➡ ➅➷➬✌ • ❉ü✱ ➑✲ ✗✳✵➷➬ó ✓✔ 0 ✺❚✷✸★❪❄❙Ý➨ ó qr✓✿➯✌ (➲Ð❝) • ❄❙Ý➨✿➯✗➳❄✎❵✪❩ ✹ ✛ ❀ (➵Ð❝) 1. ⑤ ó ➩✹⑦✗❇❈✕✖✗ÐÑ❢❣❽❾★ 2. ✳✵➷➬ó➸ ✎✕✖❴● ❈✗✥✦✓✔✛✺❚✷✸✗✌ • ✯❡❄❙Ý➨✿➯✌ • ✕✖Ý❙➺➷ ✛➻➼ q : M(p) → R, q(z) = p0h0, ∀z ∈ M(p), ❑ ã h ➽Õ z = z(h, p) • ➾å❛✿✕✖ z ✗ÐÑ❢❣❽❾ h ❂❃❴➚❄✌❚❄❙Ý➑➪ Ð★✽ ✹ ❝❞❽❾✗✓✔ 0 ❙ ❚ p0h0 ✛ ➏ ❹✗✌❝ ❺✕✖Ý❙➺➷✛✹ÝÞ✗✌ • ✕✖Ý❙➺➷ q ✬✍✎✕✖✜✫▼ ❛✿❝ ✎✕✖✗ÐÑ❢❣❽❾✗✓✔ -0 ❙❚✌ • q ✛ M(p) ❳✗➡ ➅➺➷ ❀ q(z + z 0 ) = q(z) + q(z 0 ), ∀z, z0 ∈ M(p) Ð❝ ❀ ∵ z, z0 ∈ M(p), ∴ ∃h, h0 ➽Õ z = z(h, p), z0 = z(h 0 , p). ✏■ z(h, p) ✛ ➡ ➅✗★ z + z 0 = z(h, p) + z(h 0 , p) = z(h + h 0 , p). ❩✰ q(z + z 0 ) = p0(h + h 0 )0 = p0h0 + p0h 0 0 = q(z) + q(z 0 ). 13

2.3套利与正的定价 二章多期套利与正性 根据例131,每个证券的红利由一个购买并持有证券组合策略生成。因此x∈M(),vp.而 这个购买并持有证券组合策略的时刻-0价格是po,于是 q(a,)=pio 定价的结果与实际一致 23套利与正的定价 多期市场中的一个强套利是这样一个证券组合策略h,它具有正的支付2(h,p)和严格负的时 刻0价格ph0 个套利是这样一个证券组合策略,它要么是一个强套利,要么具有正的非零支付和为零 的时刻-0价格,即 Pho≤0,z(h,p)≥0且其中至少有一个严格不等式 强套利空套利 ·例23.1考虑例1.2.1.假设有一证券在事件φ和的红利为1,在其它处为0。该证券在 时刻θ来看是有风险的,但在时刻1就变成无风险的。如果该证券的价格为p(50)=0,p(与) 1,p(5b)=0.那么,在ξ。购买该证券并在两个子节点均为零持有,这一证券鈕合策略h是 一个套利但不是一个强套利,因为 的时刻-0价格pho=0 在g的支付z(h,p)(5)=-p(59)=1 h在5的支付2(h,p)(5b)=0 h在g的支付z(h,p)(5g)=x(59)=1 h在5b的支付2(h,p)(E9b)=r(59)=1 h在5og的支付z(h,p)(5bg)=0 h在5b的支付2(h,p)(5b)=0 即z(h,p)=(1,0,1,1,0.0)>0 不存在强套利台[对任意证券组合策略h,2(h,p)≥0→pho≥0 证明:→)设z(h,p)≥0.若p0ho<0,则h为强套利.因此必有pho≥0 )若存在强套利h,则poho<0,x(h,p)≥0,这与充分性假设矛盾 ·不存在套利台h,2(h,p)>0→Poo>0 证明:→)设2(h,p)>0.若p0h<0,则h为强套利,从而为套利;若poho=0,则h为 套利.因此比有p0b0>0. )若存在套利h,则 Pho≤0.,z(h,p)≥0,且其中至少有一个严格不等式 因此,若z(h,p)>0,则由上式有poho≤0,这与充分性假设矛盾;若(h,p)=0,则由一价 定律有pho=0,这与上式矛盾 September 6, 2005 ⊙李仲飞

2.3 ➶➹❏➘✉➴➷ ❦➬♠ ♥♦➶➹❏➘➮ • ➫➭â 1.3.1, ✍✎ÐÑ✗✘✙✏❄✎➽➾➚✢✹ÐÑ❢❣❽❾❛✿✌❩✰ xj ∈ M(p), ∀p . ❏ ❝ ✎➽➾➚✢✹ÐÑ❢❣❽❾✗✓✔ -0 ❙❚✛ pj0, ■✛ q(xj ) = pj0. Ý❙✗❾ü ❴➱❢❄❿✌ §2.3 ✃❐❁❒❮➤➢ • ï❧ÒÓã✗❄✎ ❰ÏÐ ✛ ❝ ❺❄✎ÐÑ❢❣❽❾ h, ✑ ➩✹⑦✗✕✖ z(h, p) î✺❚⑨✗✓ ✔ 0 ❙❚ p0h0. • ❄✎ ÏÐ ✛ ❝ ❺❄✎ÐÑ❢❣❽❾★✑ ñÑ✛❄✎ÒÓ✙★ñÑ➩✹⑦✗❇❈✕✖î● ❈ ✗✓✔ -0 ❙❚★✼ p0h0 ≤ 0, z(h, p) ≥ 0 Ô ❑ ã ⑥⑦✹❄✎✺❚❴❍❙❜ • ÒÓ✙ ⇒ : Ó✙ • ➣ 2.3.1 ↔↕Õ 1.2.1. Ö×➹ ➭➙➛➠➤➥ ξgg Ø ξgb ➩ÙÐÚ 1 ★ ➠➸ ✥ÛÚ 0 ✌ Ü ➙➛➠ ➡➢ 0 ÝÞ✧➹ßà ➩★á➠➡➢ 1 âãÚäßà ➩✌åæÜ ➙➛➩çèÚ p(ξ0) = 0, p(ξg) = −1, p(ξb) = 0, éê★ ➠ ξg ➦➧Ü ➙➛ë ➠ì ➯í ➲➳î Úï➶➹ðñòóôõö÷ø h ✧ òùÏÐáú✧ òù❰ÏÐðûÚ h üýþ -0 çè p0h0 = 0 h ÿ ξg ü￾✁ z(h, p)(ξg) = −p(ξg) = 1 h ÿ ξb ü￾✁ z(h, p)(ξb) = 0 h ÿ ξgg ü￾✁ z(h, p)(ξgg) = x(ξgg) = 1 h ÿ ξgb ü￾✁ z(h, p)(ξgb) = x(ξgb) = 1 h ÿ ξbg ü￾✁ z(h, p)(ξbg) = 0 h ÿ ξbb ü￾✁ z(h, p)(ξbb) = 0 ✂ z(h, p) = (1, 0, 1, 1, 0, 0) > 0. • ✄☎✆ÒÓ✝ ⇔ [✞✟✠✡☛☞✌✍✎ h, z(h, p) ≥ 0 ⇒ p0h0 ≥ 0] ✡✏✑ ⇒) ✒ z(h, p) ≥ 0. ✓ p0h0 < 0 ð✔ h ✕✖✗✝✘✙✚✛✜ p0h0 ≥ 0. ⇐) ✓☎✆✖✗✝ h, ✔ p0h0 < 0, z(h, p) ≥ 0, ✢✣✤✥✦✧✒★✩✘ • ✄☎✆✗✝ ⇔ [∀h, z(h, p) > 0 ⇒ p0h0 > 0] ✡✏✑ ⇒) ✒ z(h, p) > 0. ✓ p0h0 < 0 ð✔ h ✕✖✗✝ð✪✫✕✗✝✬✓ p0h0 = 0 ð✔ h ✕ ✭✗✝✘✙✚✮✜ p0h0 > 0. ⇐) ✓☎✆✗✝ h, ✔ p0h0 ≤ 0, z(h, p) ≥ 0, ✯✰✱✲✳✜✭✴✵✶✄✷✸✘ ✙✚ð ✓ z(h, p) > 0, ✔✹✺ ✸✜ p0h0 ≤ 0 ð ✢✣✤✥✦✧✒★✩✬✓ z(h, p) = 0, ✔✹✭✻ ✼✽✜ p0h0 = 0 ð ✢✣✺ ✸★✩✘ September 6, 2005 14 c ✾✿❀

第二章多期套利与正性 4一期模型 ·定义:支付定价泛函q称为是正的如果 q(2)≥0,Vz≥0,z∈M(p); 称为是严格正的如果 q(2)>0,Vz>0,z∈M(p) ·q为严格正的兮不存在套利不存在强套利兮q为正的 定理23.2支付定价泛函是严格正市台近存,套利 证明:不存在套利兮【2(h,p)>0-→9(2(h,p)=pho>0台q是严格正的 定理233支付定价泛函是正市台近存强套利 证明:不存在强套利兮[z(h,p)≥0岑q(2(h,p)=p0h0≥0兮q是正的 q为严格正的空q是正的 例2.34例23,中市单只市支付定价泛函为 q(2)=0.Vz∈M(p) 这是为场。0市价格为0.这”零泛函是正市但是严格正市所以存,多期强套 利 82.4一期模型 多期模型由多个一期模型组成。 单期模型中的(强)套利概念可应用于多期模型的任何非终端事 在时刻t<T的事件t处的一期强套利是一个证券组合h()它具有正的一期支付 p(5t+1)+x(t+1)h(5t)≥0,V5+1CEt 和严格负的价格 p()h()<0 在时刻t<T的事件处的一期套利是一个证券组合MG)它要么是一个一期强套利要 么具有正的非零一期支付和零价格。等价地 p(t)h(Et)≤0 p(5t+1)+x(5+1)h(Et)≥0,vt+1Ct 且其中至少有一个严格不等式成立 ·在每个非终端事件不存在一期套利兮不存在多期套利 证明:→)根据前面介绍的多期无套利的充要条件只需证明如下关系成立 2(h,p)>0→pho>0 李仲飞 September 6, 2005

❁❂❃ ❄❅❆❇❈❉❊ 2.4 ❋ ❅●❍ • ✼■✑❏❑✼✻▲▼ q ◆✕❖P◗ð❘❙ q(z) ≥ 0, ∀z ≥ 0, z ∈ M(p); ◆✕❖✵✶P◗ð❘❙ q(z) > 0, ∀z > 0, z ∈ M(p). • q ✕✵✶P◗ ⇔ ✄☎✆✗✝ ⇒ : ✄☎✆✖✗✝ ⇔q ✕P◗✘ • ❚❯ 2.3.2 ￾✁❱❲❳❨❩❬❭❪ü ⇔ ú❫ ÿ❴❵❛ ✡✏✑✄☎✆✗✝ ⇔ [z(h, p) > 0 ⇒ q(z(h, p)) = p0h0 > 0] ⇔ q ❖✵✶P◗❛ • ❚❯ 2.3.3 ￾✁❱❲❳❨❩❪ü ⇔ ú❫ ÿ❜❴❵❛ ✡✏✑✄☎✆✖✗✝ ⇔ [z(h, p) ≥ 0 ⇒ q(z(h, p)) = p0h0 ≥ 0] ⇔ q ❖P◗✘ • q ✕✵✶P◗ ⇒ : q ❖P◗✘ ❝ 2.3.4 ❞ 2.3.1 ❡ü❢❣óôü￾✁❱❲❳❨❤ q(z) = 0, ∀z ∈ M(p) ✐ ❩ û ❤ýþ 0 ü óô❲❭❤ 0 ❛ ✐ù ï❳❨❩❪ü❥ú ❩❬❭❪ü ð❦❧ú❫ ÿ♠ ♥ ❜❴ ❵❛ §2.4 ♦♣qr • st✉✈✹ s✴✭t✉✈☞✇❛ • ①t✉✈✱◗ (✖) ✗✝②③④⑤⑥⑦st✉✈◗✟⑧⑨⑩❶❷❸❛ • ✆❹❺ t < T ◗❷❸ ξt ❻◗✭t✖✗✝❖✭✴✡☛☞✌ h(ξt) ð❼❽✜P◗✭t❏❑ [p(ξt+1) + x(ξt+1)]h(ξt) ≥ 0, ∀ξt+1 ⊂ ξt ❾✵✶❿◗✻✶ p(ξt)h(ξt) < 0 • ✆❹❺ t < T ◗❷❸ ξt ❻◗✭t✗✝❖✭✴✡☛☞✌ h(ξt) ð❼➀➁❖✭✴✭t✖✗✝ð➀ ➁❽✜P◗⑨➂✭t❏❑❾ ➂✻✶❛✷✻➃ð p(ξt)h(ξt) ≤ 0 [p(ξt+1) + x(ξt+1)] h(ξt) ≥ 0, ∀ξt+1 ⊂ ξt ✯✰✱✲✳✜✭✴✵✶✄✷✸✇➄❛ • ✆➅✴⑨⑩❶❷❸✄☎✆✭t✗✝ ⇔ ✄☎✆st✗✝ ✡✏✑ ⇒) ➆➇➈➉➊➋◗st➌✗✝◗✤➀➍❸ ð➎➏✡✏❘➐➑➒✇➄ z(h, p) > 0 ⇒ p0h0 > 0 c ✾✿❀ 15 September 6, 2005