1.2不确定性与信息 第一章多期证券市场中的均衡 ●u10 ●16 ●u17 ●u21 时刻0 时刻 时刻 时刻3 图1.1:事件树 September 6, 2005 ⊙李仲飞
1.2 ⑥⑦⑧⑨⑩❶❷ ❸❹❺ ❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄ ➅➆ ➅ ➇ ➈ ➉ ➈ ➊ ➋ ➊ ➌ ➍ ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 ω7 ω8 ω9 ω10 ω11 ω12 ω13 ω14 ω15 ω16 ω17 ω18 ω19 ω20 ω21 ω22 ✲ t ➍➞ 0 ➍➞ 1 ➍➞ 2 ➍➞ 3 ➎ 1.1: ➏➐➑ September 6, 2005 6 c ➒➓➔
第一章多期证券市场中的均衡 1.2不确定性与信息 例121假设相关信息仅是两个公司的利泂报告。每个报告要么说好(G),要么说坏(B) 个公司在时刻1发行报告,另一个公司在时刻g发行报告,则状态集Ω由两个报告的四种 可能局势组成 图1.2:事件树 Ω={GG,GB,BG,BB} 信息滤子为 IGG, GBJ, BG, BB 2={GG},{GB},{BG},{BB}} 在时刻θ,代理人什么也不知道,在时刻1知道公司1的利涧报告,在时刻2知道ρ个公司 的利润报告。时刻1的事件有 IGG, GB1, Eb=BG, BBH 时刻2的事件有 09=IGG, 5gb=(GB, Sbg =(BG, 5bb=(BBI 所有将来事件集为 代理人关于状态的信息须正常地反映在所有经济变量中,如禀赋、证券价格、红利、证券组合 持有、消费计划,等等。具体来说,如果不能基于时刻t代理人可获得的信息区分某些状态 那么考虑时刻t这些状态下的消费计划或证券价格是没有意义的。说明这些变量的一个方法 是,把它们表示成状态集Ω上的函数,并要求它们关于分割是可测的 定义:如果t时的消费用函数ct:9→R表示的话,那么ct关于Ft的可测性是指ct在每个 st∈Ft上是常数,即 ∈5t→c(u)=ct(u) 我们把这个共同的值记作ct(t),简记为c(t).下同 用c表示对所有t∈F,由c(st)组成的向量,维数等于Ft中的事件数(+) ⊙李仲飞 7 September 6, 2005
❸❹❺ ❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄ 1.2 ⑥⑦⑧⑨⑩❶❷ → 1.2.1 ➣↔✾↕❂❃➙ ✽➛➜➝➞✹➟➠➡➢➴ ➤ ➜➡➢➥➦➧➨ (G) ➚➥➦➧➩ (B) ➴ ➫➜➝➞➭➯➲ 1 ➳➵➡➢➚➸➫➜➝➞➭➯➲ 2 ➳➵➡➢➚➺➻➼➽ Ω ➾➛➜➡➢✹➚➪ ➶➹➘➴➷➬✮ ξgg ξgb ξbg ξbb ξg ξb ξ0 ➎ 1.2: ➏➐➑ Ω = {GG, GB, BG, BB} ❂❃➮ q➱ F0 = {∅, Ω} F1 = {{GG, GB}, {BG, BB}} F2 = {{GG}, {GB}, {BG}, {BB}} ➭➯➲ 0 ➚✺✻✼✃➦❐❒❮❰➚➭➯➲ 1 ❮❰➝➞ 1 ✹➟➠➡➢➚➭➯➲ 2 ❮❰ 2 ➜➝➞ ✹➟➠➡➢➴ ➯➲ 1 ✹❣❤✸ ξg = {GG, GB}, ξb = {BG, BB} ➯➲ 2 ✹❣❤✸ ξgg = {GG}, ξgb = {GB}, ξbg = {BG}, ξbb = {BB} ✷✸ÏÐ❣❤➽ ➱ Ξ = {ξg, ξb, ξgg, ξgb, ξbg, ξbb} • ✳✴✵➱➊ ú❙❏✥✦Ñ■ÒàÓÔ➝ Ò ➢✄☎Õ■✄ ➚÷Ö×❧ ✩✪❉❩❧Ø ❍ ❧ ✩✪✶✷ Ù ➢ ❧➋➌Ú ✔➚❙❙➴➡Ûýþ➚÷❚✛✛ ❜➊➍➞ t ✳✴✵➎êë❏✥✦Ü➏Ý✗ú❙➚ øÞßà➍➞ t ➷✗ú❙⑨❏➋➌Ú ✔á✩✪❉❩Ó❄➢âã❏➴þ ÿ➷✗Õ■❏✺✁➈ä Ó➚å❘✑æç✰ú❙û Ω è❏❢✇➚✈❳❨❘✑➱➊ ➏❲ Ft Ó ➶é✹. • ✢ã✮÷❚ t ➍❏➋➌➄❢✇ ct : Ω → R æç❏✧➚øÞ ct ➱➊ Ft ❏➎ê✣Óë ct ➝✁ ❨✽ ξt ∈ Ft èÓÒ✇➚ü ω, ω0 ∈ ξt ⇒ ct(ω) = ct(ω 0 ) ì ✑å➷✁í❯❏❶❂Ï ct(ξt), î❂❈ c(ξt). ⑨❯➴ • ➄ ct æç✂ Ò ➢ ξt ∈ Ft, ï c(ξt) ✶✰❏ð■➚ñ✇❙➊ Ft ✄ ❏❨✽✇ ](Ft). c ✁✂ 7 September 6, 2005
1.3多期证券市场 第一章多期证券市场中的均衡 这样,我们用同一符号c表示作为F可测函数以及作为向量的消费计划。 类似地,用c表示可测函数c的T+1元组{c,c1,…,cr},同时表示k+1维向量 (c():∈三U{o}) ·定义:如果T+1元组c中的每一个函数ct是升可测的,那么称d适应于信息滤子F 813多期证券市场 设存在J个证券,证券有例子包括债券、股票、期权、期货 每个证券由它在各个时刻支付的红利刻画 ·红利是指证券持有者有权享有的任何支付。对股票,红利就是分配给股东的公司利润。对债 券,红利就是息票支付以及到期支付。 用x(t)表示证券j在事件t的红利 用r(5t)表示J个证券在事件t的红利向量,即x(5+)=(x1(t),…,xJ(5t) 用xj表示证券j在所有t时刻事件￡t的红利xj(5t)构成的向量: rt=(x;(t):t∈Ft) 用x表示所有J个证券在所有t时刻事件的红利构成的向量 在时刻0没有红利, ·有可能一个证券仅在单个时刻有非零红利。例如:在时刻t到期的,面值为1的零息债券,在 每个时刻t事件的红利等于1,而在其它时刻红利为0 证券在除了终端时刻T外的所有时刻交易 ·用p(5t)表示证券j在事件￡t的价格,t=0,…,T 用p(5t)表示个证券在事件t的价格向量 p(t)=(p1(5t),…,p(t) 出于符号上的原因,我们有时刻T的价格p(r),尽管交易在时刻T不发生.这些价格设为0 用pt表示证券j在所有t时刻事件t的价格p/()构成的向量 pt=(pj(5t):5t∈) 用p表示所有J个证券在所有t时刻事件的价格构成的向量 用h3(t)表示证券j在事件st的持有量 用h(5t)表示J个证券在事件t的证券组合,为向量 h(t)=(h1(+),…,hJ(t) September 6, 2005 ⊙李仲飞
1.3 ❻❼❽❾❿➀ ❸❹❺ ❻❼❽❾❿➀➁➂➃➄ – ➷ ù ➚ì ✑➄❯✺òó ct æçÏ❈ Ft ➎ê❢✇ ❐❒Ï❈ð■❏ ➋➌Ú ✔➴ – ôõà➚➄ c æç Ft ➎ê❢✇ ct ❏ T + 1 ✪✶ {c0, c1, . . . , cT }, ❯➍æç k + 1 ñð■ (c(ξ) : ξ ∈ Ξ S {ξ0}) • ✢ã✮÷❚ T + 1 ✪✶ c ✄ ❏✺✁❢✇ ct Ó Ft ➎ê❏➚øÞ ❴ cö÷ ➊ ✥✦❵④ F. §1.3 øùúûüý • Ùþÿ J ✁✁➚✁✂✄☎①✆✝✁✞✟✠✞✡☛✞✡☞✌ • ✍✎✁✏✑ÿ✒ ✎✓✔✕✖✗✘✙✔✚✌ • ✘✙✛✜✁✢✂✣✂☛✤✂✗✥✦✕✖✌✧✟✠★✘✙✩✛✪✫✬✟✭✗✮✯✙✰✌✧✝ ✁★✘✙✩✛✱✠✕✖✲✳✴✡✕✖✌ • ✵ xj (ξt) ✶✷✁ j ÿ✸✹ ξt ✗✘✙ ✵ x(ξt) ✶✷ J ✎✁ÿ✸✹ ξt ✗✘✙✺✻ ★✼ x(ξt) = (x1(ξt), . . . , xJ (ξt)) ✵ xjt ✶✷✁ j ÿ✽ ✂ t ✓✔✸✹ ξt ✗✘✙ xj (ξt) ✾✿✗✺✻❀ xjt = (xj (ξt) : ξt ∈ Ft) ✵ xt ✶✷✽ ✂ J ✎✁ÿ✽ ✂ t ✓✔✸✹✗✘✙✾✿✗✺✻ xt = (x1t, . . . , xJt) • ÿ ✓✔ 0 ❁✂✘✙★ • ✂❂❃❄✎✁❅ÿ❆ ✎✓✔✂❇❈✘✙✌✄❉❀ÿ ✓✔ t ✴✡✗★❊❋● 1 ✗❈✱✝✁★ÿ ✍✎✓✔ t ✸✹✗✘✙❍■ 1 ★❏ÿ❑✑ ✓✔✘✙● 0 ✌ • ✁ÿ▲▼◆❖✓✔ T P✗✽ ✂✓✔◗❘✌ • ✵ pj (ξt) ✶✷✁ j ÿ✸✹ ξt ✗❙❚★ t = 0, . . . , T ✵ p(ξt) ✶✷ J ✎✁ÿ✸✹ ξt ✗❙❚✺✻❀ p(ξt) = (p1(ξt), . . . , pJ (ξt)) • ❯■❱❲❳✗❨❩★❬❭✂✓✔ T ✗❙❚ p(ξT ), ❪❫◗❘ÿ ✓✔ T ❴❵❛❜❝❞❙❚❡● 0. ✵ pjt ✶✷✁ j ÿ✽ ✂ t ✓✔✸✹ ξt ✗❙❚ pj (ξt) ✾✿✗✺✻ pjt = (pj (ξt) : ξt ∈ Ft) ✵ pt ✶✷✽ ✂ J ✎✁ÿ✽ ✂ t ✓✔✸✹✗❙❚✾✿✗✺✻ pt = (p1t, . . . , pJt) • ✵ hj (ξt) ✶✷✁ j ÿ✸✹ ξt ✗✢✂✻ ❜ ✵ h(ξt) ✶✷ J ✎✁ÿ✸✹ ξt ✗✁❢❣★● ✺ ✻ h(ξt) = (h1(ξt), . . . , hJ (ξt)) September 6, 2005 8 c ❤✐❥
多期证券市场中的均衡 1.4资产生成空间 每个证券的持有量可以是正的,零,或负的(除非有卖空限制), 同样,出于符号上的原因,时刻T组合h()设为零。 h+表示在所有时刻t事件t的证券组合h(Et)构成的向量 ht=(h(t):st∈F) T+1元组h={ho,,hn}称为证券组合策略 个证券组合策略h在事件ξt的支付(现金流出),记为z(h,p)(5t),是该组合在父节点ξ-的 带红利的支付减去在该节点的价值(或者说在节点ξt交易前的价值减去交易后的价值),即 z(h,p)(5t)≡p(5)+x(5t)h()-p(5t)h(5t),t=1,…,T 这里两个向量相乘理解为对应分量相乘再相加 用z1(h,p)表示在所有时刻+事件Et的支付z(h,p)(5t)构成的向量 t(h, p)=((h, p)(Et): Et E Ft) 证券组合策略h在时刻0的价值为p(50)h(o) 例1.31一考虑证券组合策略h:在时刻t≥1,在事件ξt购买1股证券j,在的每一个 节点将其出售,则 (t) h()=0,V≠t;h1()=0,v,≠ (h,p)(t)=-pf(5t) 2(h,p)(5t+1)=p(+1)+x(5t+1),vt+1c5t z(h,p)()=0,Vg三\({5}U{+1:5+1c} 购买并持有策略:在事件树的每一个事件持有一股证券j h(t)=1,vt∈t,t=0,1 h(5r)=0 ha1(5)=0,V,i≠ z(h, P)(Et) r(5t),vt∈Ft,t=0.1,…,T (h,p)(o) ·时刻t的红利xt,价格pt组合h+,支付zt(h,p)都是F可测函数 §1.4资产生成空间 ·通过证券市场上的交易可获得的支付构成的集合称为资产生成空间,定义为 M(P)=((1,., T)ER: 2t=2t(h, p)for some h, t=1,.,T) 李仲飞 September 6, 2005
❦❧♠ ♥♦♣qrst✉✈✇ 1.4 ① ②③④⑤⑥ – ✍✎✁✗✢✂✻ ❂✲✛⑦✗★❈★⑧⑨✗ (▲ ❇✂⑩❶❷❸) ★ – ❹❺★❯■❱❲❳✗❨❩★✓✔ T ❢❣ h(ξt) ❡ ● ❈✌ ✵ ht ✶✷ÿ✽ ✂✓✔ t ✸✹ ξt ✗✁❢❣ h(ξt) ✾✿✗✺✻ ht = (h(ξt) : ξt ∈ Ft) T + 1 ❻❢ h = {h0, . . . , hT } ❼ ● ✁❢❣❽❾✌ • ❄✎✁❢❣❽❾ h ÿ✸✹ ξt ✗✕✖ (❿➀➁❯) ★ ➂● z(h, p)(ξt), ✛➃❢❣ÿ➄➅➆ ξ − ✗ ➇ ✘✙✗✕✖➈➉ÿ ➃ ➅➆✗❙❋ (⑧✣➊ÿ➅➆ ξt ◗❘➋✗❙❋ ➈➉◗❘➌✗❙❋ ) ★✼ z(h, p)(ξt) ≡ [p(ξt) + x(ξt)]h(ξ − t ) − p(ξt)h(ξt), t = 1, . . . , T ❝➍➎✎✺✻➏➐➑➒● ✧➓✪✻➏➐➔➏→✌ • ✵ zt(h, p) ✶✷ÿ✽ ✂✓✔ -t ✸✹ ξt ✗✕✖ z(h, p)(ξt) ✾✿✗✺✻ zt(h, p) = (z(h, p)(ξt) : ξt ∈ Ft) • ✁❢❣❽❾ h ÿ ✓✔ 0 ✗❙❋● p(ξ0)h(ξ0) • ➣ 1.3.1 – ↔↕➙➛➜➝➞➟ h ❀➠➡➢ t ≥ 1, ➠➤➥ ξt ➦➧ 1 ➨➙➛ j, ➠ ξt ➩➫➭➯ ➲➳➵➸➺➻ ★➼ hj (ξt) = 1, hj (ξ) = 0, ∀ξ 6= ξt; hi(ξ) = 0, ∀ξ, i 6= j z(h, p)(ξt) = −pj(ξt) z(h, p)(ξt+1) = pj(ξt+1) + xj (ξt+1), ∀ξt+1 ⊂ ξt z(h, p)(ξ) = 0, ∀ξ 6∈ Ξ \ ({ξt} ∪ {ξt+1 : ξt+1 ⊂ ξt} – ➽➾➚✢✂❽❾: ➠➤➥➪➩➫➭➯➤➥➶➹➭➨➙➛ j, hj (ξt) = 1, ∀ξt ∈ Ft, t = 0, 1, . . . , T − 1 hj (ξT ) = 0, ∀ξT ∈ FT hi(ξ) = 0, ∀ξ, i 6= j z(h, p)(ξt) = xj (ξt), ∀ξt ∈ Ft, t = 0, 1, . . . , T z(h, p)(ξ0) = −pj(ξ0) • ✓✔ t ✗✘✙ xjt, ❙❚ pjt, ❢❣ ht, ✕✖ zt(h, p) ➘✛ Ft ❂➴➷➬✌ §1.4 ➮➱✃❐❒❮ • ❰ÏÐÑÒÓ❳✗◗❘❂ÔÕ✗✕✖✾✿✗Ö❣❼● ×ØÙÚÛÜ ★ÝÞ● M(p) = {(z1, . . . , zT ) ∈ R k : zt = zt(h, p) for some h, t = 1, . . . , T } c ❤✐❥ 9 September 6, 2005
1.5代理人 第一章多期证券市场中的均衡 ·例131中证券组合策略的支付当然属于资产生成空间。特别,红利(x1…,x)∈M(),j= ·两期模型和多期模型的一个重要区别: 在两期模型中,资产生成空间是外生的,只依赖于指定的证券支付. 在多期模型中,资产生成空间是内生的,依赖于证券价格. ·证券市场称为是动态完备的(依价格p),如果任何将来时刻(时刻1到T)的消费计划可作为 某个证券组合策略的支会来获得,即 M(P)=R 证券市场称为是非完备的,如果M(p)是R的真子空间 815代理人 在1.2节中,已定义了消费的度量c(t),ct,c. 假设12代理人有定义在消费计划c=(co,c1,…,cr)之集合Rk+1上的效用函数,它们是连续 的、递增的 通常还假设消费是正的,此时,代理人的效用函数为 R 代理人i的禀赋为u2=(,,)∈R ·效用函数u在时刻t是递增的,如果对(co,c1,…,cr),只要q≥ct,就有 u(co,……,c1,…,cr)≥u(c0,…,cr,…,cr) u是递增的,如果u在每个时刻都是递增的 u在时刻t是严格递增的,如果对v(c,c1,…,cr),只要c>c,就有 u是严格递增的,如果u在每个时刻都是严格递增的。 §16证券组合选择与一阶条件 一个效用函数为u的代理人的消费-证券组合选择间题为 max u(c) (1.6.1) s.t. c(Eo) (50)-p(5o)h(5o) (1.6.2) c(Et) (t)+z(h,p)(),vst,t=1,,T (1.6.3) c≥0(如果有此限制的话 September 6, 2005 ⊙李仲飞
1.5 ßàá ❦❧♠ ♥♦♣qrst✉✈✇ • â 1.3.1 ãÐÑ❢❣❽❾✗✕✖äåæ■çè❛✿❶é✌êë★✘✙ (xj1, . . . , xjT ) ∈ M(p), j = 1, . . . , J, ∀p. • ➎ ✡ìíîï✡ìí✗❄✎ðñòë❀ ó➎ ✡ìíã★çè❛✿❶é✛P❛✗★ôõö■✜Ý✗ÐÑ✕✖❜ ó ï✡ìíã★çè❛✿❶é✛÷❛✗★õö■ÐÑ❙❚❜ • ÐÑÒÓ❼● ✛ øùúû ➩(õ❙❚ p) ★❉ü✥✦ýþ✓✔ (✓✔ 1 ✴ T) ✗ÿ✁✂❂✄ ● ☎ ✎ÐÑ❢❣❽❾✗✕✆þÔÕ★✼ M(p) = R k . ÐÑÒÓ❼● ✛ ✝ú û ➩ ★❉ü M(p) ✛ R k ✗✞✟❶é✌ §1.5 ✠✡☛ ó 1.2 ➅ ã★☞ÝÞ▼ ÿ✗✌ ✻ c(ξt), ct, c. ✍✎ 1.2 ✏✑✒➹✓✔➠ ✕✖✗✘ c = (c0, c1, . . . , cT ) ✙✚➝ R k+1 ✛ ➩✜✢✣✤★✥✦✧★✩ ➩✪✫✬➩✌ ❰✭✮✯❡ÿ✛⑦✗★✰✓★✱ ➑✲ ✗✳✵➷➬● u i : R k+1 + → R. ✱ ➑✲ i ✗✴✵● w i = (w i 0 , . . . , wi T ) ∈ R k+1 + . ✶❀ • ✳✵➷➬ u ó ✓✔ t ✛✷✸✗★❉ü✧ ∀(c0, c1, . . . , cT ), ôñ c 0 t ≥ ct ★✩✹ u(c0, . . . , c0 t , . . . , cT ) ≥ u(c0, . . . , ct, . . . , cT ). • u ✛✷✸✗★❉ü u ó ✍✎✓✔➘✛✷✸✗✌ • u ó ✓✔ t ✛✺❚✷✸✗★❉ü✧ ∀(c0, c1, . . . , cT ), ôñ c 0 t > ct ★✩✹ u(c0, . . . , c0 t , . . . , cT ) > u(c0, . . . , ct, . . . , cT ). • u ✛✺❚✷✸✗★❉ü u ó ✍✎✓✔➘✛✺❚✷✸✗✌ §1.6 ✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅ • ❄✎✳✵➷➬● u ✗✱ ➑✲ ✗ÿ - ÐÑ❢❣❆❇❈❉● max u(c) (1.6.1) s.t. c(ξ0) = w(ξ0) − p(ξ0)h(ξ0) (1.6.2) c(ξt) = w(ξt) + z(h, p)(ξt), ∀ξt, t = 1, . . . , T (1.6.3) c ≥ 0 (❉ü✹✰❷❸✗❊) September 6, 2005 10 c ❤✐❥